Soru:
X, Y ve Z cisimleri yukarıdaki gibi tepe noktalarından serbest bırakıldıklarında, özdeş zeminlerde harekete başlayıp eşit kütlelere sahiptirler. Bu cisimlerin başlangıçta kazandığı potansiyel enerjiler birbirine eşittir.
Buna göre cisimlerin hızları arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?
A) ( V_x > V_y > V_z )
B) ( V_x > V_z > V_y )
C) ( V_z > V_x > V_y )
D) ( V_z > V_y > V_x )
Çözüm:
Bu tip problemlerde enerji korunumunu kullanırız. Cisimler serbest bırakıldığında potansiyel enerjisi kinetik enerjiye dönüşür. Başlangıçtaki potansiyel enerji (PE) cisimlerin kütlesine ve yüksekliğine bağlıdır. Aşağıdaki formül ile gösterilir:
[
PE = mgh
]
Burada:
- ( m ) cismin kütlesi,
- ( g ) yerçekimi ivmesi,
- ( h ) yüksekliktir.
Cisimler tepe noktalarından serbest bırakıldığında, bu potansiyel enerji kinetik enerjiye (KE) dönüşür:
[
KE = \frac{1}{2} mv^2
]
Enerji korunumuna göre başlangıçtaki potansiyel enerji ve kinetik enerji eşit olmalıdır:
[
PE = KE \implies mgh = \frac{1}{2} mv^2
]
Bu denklemi cisimlerin hızları için çözersek:
[
v = \sqrt{2gh}
]
Üç cisim de aynı potansiyel enerjiye sahip olduğuna göre, yükseklikleri aynı olmasa da eşit enerjide hareket ederler. Bu, başlangıç hızı ve yüzey sürtünmesini göz ardı ettiğimizde, potansiyel enerji açısından bir sorun teşkil etmeyecektir. Bu nedenle, hızlarına sadece yükseklikleri karar verecektir.
Durumda, yüksekliklerinin karşılaştırması, potansiyel enerjiden elde edilen kinetik enerjiye dolayısıyla hızlara etkilediğinden, yükseklik karşılaştırılması yapılır. X, Y, Z için yükseklik farkını şöyle gösterelim:
- X en yüksekte.
- Y ortada.
- Z en altta.
Yüksekliği en az olan (Z), en fazla hıza sahip olur. Çünkü yerden çıkarken daha az enerji harcayarak hareket eder. Bu yüzden hızlar arasında:
( V_z > V_y > V_x ) olur.
Doğru cevap (D) ( V_z > V_y > V_x ).