Denklem sistemini sağlayan y gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevap:
Verilen sistemdeki denklemler şunlardır:
x^2 + x + y^2 = 18
x - y = -3 \quad \text{(1)}
Öncelikle, birinci denklemi y cinsinden çözmek için ikinci denklemi yeniden yazalım:
x = y - 3
Bu ifadeyi birinci denklemde yerine koyalım:
(y - 3)^2 + (y - 3) + y^2 = 18
Bu denklemi açalım:
(y - 3)^2 = y^2 - 6y + 9
Denklemi genişletelim ve terimlerini bir araya toplayalım:
y^2 - 6y + 9 + y - 3 + y^2 = 18
2y^2 - 5y + 6 = 18
Denklemi düzenleyelim:
2y^2 - 5y + 6 - 18 = 0
2y^2 - 5y - 12 = 0
Bu denklemi çözmek için, çarpanlara ayıralım veya köklerini bulmak için \mathbf{\text{quadratic formula}} kullanabiliriz. Çarpanlara ayıralım:
2y^2 - 5y - 12 = (2y + 3)(y - 4) = 0
Buradan, y köklerini bulabiliriz:
2y + 3 = 0 \quad \text{veya} \quad y - 4 = 0
2y = -3 \quad \text{veya} \quad y = 4
y = -\frac{3}{2} \quad \text{veya} \quad y = 4
Bu iki kökü bulduktan sonra, gerçel sayıların toplamını alabiliriz:
-\frac{3}{2} + 4 = \frac{-3 + 8}{2} = \frac{5}{2}
Sonuç:
Denklem sistemini sağlayan y gerçel sayılarının toplamı \mathbf{\frac{5}{2}}'dir.