Geometrik Dizi Tanımı Nedir?
Ardışık iki terim arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Geometrik dizi de ardışık iki terimlerin oranları hep eşittir bu orana Ortak çarpan denir ve r işe gösterilir.
Bu bilgilere göre tanımı bir daha yazarsak, n \in \mathbb{Z^+} ve r \in \mathbb{R} olmak üzere, her n değeri için,
\dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = r koşulu sağlanıyor ise dizi geometrik dizidir.
Burada işler dışlar çarpamı yaparsak,
{a_{n + 1}}={a_n}. r bulunur. Bu bilgiden yararlanarak genel terimi aşağıdaki gibi düzenleyebiliriz.
Geometrik dizi genel terimi
Geometrik dizinin genel terimi,
(a_n) = a_1 \cdot r^{n - 1}
(a_n) = (a_1, a_1 \cdot r, a_1 \cdot r^2, a_1 \cdot r^3, \ldots)
şeklindedir.
Örnek:
Genel terimi (a_n) = 2^n olan geometrik dizisinin elemanları (2, 4, , 8, 16, \ldots) şeklindedir. Burada geometrik dizinin **ortak çarpanı r,
\Large r=\frac{a_2}{a_1}= \large 2
Örnek:
(a_n) = n^2 dizisi geometrik dizimidir?
Dizinin elemanları: (1, 4, 9, 16, \ldots)
Bu dizinin ardışık iki elemanı arasındaki oranlar eşit olmadığı için geometrik dizi değildir.
Örnek: 1. terimi 2 ve ortak çarpanı 3 olan bir geometrik dizinin 6. terimi kaçtır?
Çözüm:
a_6 = 2 \cdot 3^{6 - 1} = 486
Örnek: 4. terimi 81 ve ortak çarpanı \frac{1}{2} olan bir geometrik dizinin 10. terimi kaçtır?
Çözüm:
a_{10} = 81 \cdot (\frac{1}{2})^{10 - 4} = 3^4 \cdot \dfrac{1}{2^6} = \dfrac{81}{64}
Geometrik Dizi Toplam Formülü
Bir geometrik dizide ilk n terimin toplamı formülü,
\Large S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n olmak üzere,
\Large S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r}