Yarıçapı (2,5 , \text{m}) olan dairesel bir yörüngede saat yönünde dönen bir parçacığın ivme ve hız büyüklüğünü bulmamız gerekiyor. Verilenler:
- Yarıçap ( r = 2,5 , \text{m} )
- Açısal konum ( \theta = 30^\circ )
- İvme büyüklüğü ( a = 15 , \text{m/s}^2 )
Dairesel hareketin toplam ivmesi iki bileşene ayrılır:
- Tanjantial İvme ((a_t)): Dışa doğru ivme, hız değişiminden kaynaklanır.
- Merkezcil İvme ((a_c)): Yörüngede kalmak için gerekli olan, belirli bir hızla dönen her cisimde var olan ivme.
Toplam ivme ( a ) şu şekilde ifade edilir:
[ a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} ]
Teta açısına dayanan tanjantial ve merkezcil ivme bileşenleri arasında trigonometrik bir ilişki mevcuttur:
[ \tan \theta = \frac{a_t}{a_c} ]
Bize ( \theta = 30^\circ ) verildiğine göre:
[ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} ]
Bu durum:
[ \frac{a_t}{a_c} = \frac{1}{\sqrt{3}} ]
O halde:
[ a_t = \frac{a_c}{\sqrt{3}} ]
Merkezcil ivme (a_c) aynı zamanda:
[ a_c = \frac{v^2}{r} ]
Şimdi toplam ivmeyi kullanarak (a_c) ve (a_t)’yi yazalım:
[ a^2 = a_t^2 + a_c^2 ]
[ 15^2 = \left(\frac{a_c}{\sqrt{3}}\right)^2 + a_c^2 ]
Bunu çözelim:
[ 225 = \frac{a_c^2}{3} + a_c^2 ]
[ 225 = \frac{4a_c^2}{3} ]
[ 675 = 4a_c^2 ]
[ a_c^2 = \frac{675}{4} ]
[ a_c = \sqrt{\frac{675}{4}} ]
Bu durumda:
[ a_c = \frac{\sqrt{675}}{2} ]
Şimdi (v) hızını bulmak için:
[ a_c = \frac{v^2}{r} ]
[ v^2 = a_c \cdot r ]
[ v = \sqrt{a_c \cdot 2.5} ]
Uygulama sonucunda, ivme ve geometrik verilerle hız büyüklüğünü elde edebilirsiniz.