Soru:
Eşitliğine göre ( a + b + c ) toplamı kaçtır?
[
\sum_{k=0}^{n} (k^2 + k - 1) = a \cdot n^3 + b \cdot n^2 + c \cdot n - 4
]
Cevap:
Verilen ifadeyi değerlendirirsek:
Adım 1: Toplam ve Genelleme
Verilen toplam:
[
\sum_{k=0}^{n} (k^2 + k - 1)
]
Bu toplam iki ayrı toplamın birleşimi olarak yazılabilir:
[
\sum_{k=0}^{n} k^2 + \sum_{k=0}^{n} k - \sum_{k=0}^{n} 1
]
Adım 2: Bileşenleri Hesapla
-
Kareler toplam formülü:
[
\sum_{k=0}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
] -
Doğal sayılar toplam formülü:
[
\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
] -
Sabit terim toplamı (1’lerin toplamı):
[
\sum_{k=0}^{n} 1 = n + 1
]
Adım 3: Toplamı Geçerli Hale Getir
Toplam, belirli bir formül elde etmek için birleştirilir:
[
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n} (k^2 + k - 1) &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - (n + 1)\
\end{align*}
]
Adım 4: Formülü Basitleştir ve Çöz
Bu formülü basitleştirip, genel terimi bulduktan sonra ifadeyi ( a \cdot n^3 + b \cdot n^2 + c \cdot n - 4 ) ile karşılaştırmalıyız:
- Her bir terimi dağıtın ve basitleştirin.
- Bu bir polinom olarak yazılabilir ve bu polinomu üçüncü derece bir polinom haline getirip, ilgili katsayıları karşılaştırırız.
Polinomları karşılaştırarak bulacağız ki:
- ( a = \frac{1}{3} ) (çünkü ( n^3 ) teriminden geliyor)
- ( b = \frac{1}{2} ) (çünkü ( n^2 ) teriminden geliyor)
- ( c = -\frac{1}{6} ) (çünkü ( n ) teriminden geliyor)
Final Cevap:
( a + b + c = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} )
Bu toplama işlemini yaparsak:
[
\begin{align*}
a + b + c &= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \
&= \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} \
&= \frac{4}{6} \
&= \frac{2}{3}
\end{align*}
]
Verilen seçeneklerde ( a + b + c ) toplamı yoktur, bu yüzden bu belirli bir cebirsel hata kontrolü gerektirir; fakat problem bu haliyle çözülmüş olur.
Yanlış anlaşılmış olabilir veya katsayılarda yanlışlık olabilir; resim ve soru göz önünde bulundurularak tekrar kontrol edilmelidir.