Bir iş yeri, açılış için süsleyeceği eşit uzunluktaki iki ipten birine özdeş bayrakları 3 cm aralıklarla, diğerine ise 5 cm aralıklarla aşağıdaki gibi asmıştır. İplerden birinin uzunluğu 3 metreden fazla olduğuna göre iplere asılan bayrak sayısı toplamı en az kaçtır?
Çözüm:
-
İplerin Uzunluğunu Belirleme:
- İplerden birinin uzunluğu 3 metreden fazla olduğuna göre, uzunlukları 3 metreyi aşan ortak bir uzunluk belirlemeliyiz. Bu ifadeye göre en kısa ortak uzunluk, 300 cm’den fazla olmalıdır. 3 cm ve 5 cm’nin ortak katlarını bulursak, bu uzunluk 300 cm + (3cm ve 5cm’nin en küçük ortak katı yani 15 cm) = 315 cm olarak belirlenebilir. Uygulama gereği bu uzunluğu 320 cm olarak kabul edelim (hesaplama hataları önlenmesi için).
-
3 cm Aralıklarla Asılan Bayraklar:
- İpe asılan bayraklar ve bayraklar arasındaki açıklıkları modelliyoruz. Her bir set, bayrak + 3 cm ara mesafesi olarak hesaplanır.
- 320\,cm = 3\,n + (n-1)\cdot 3
- Denklemi çözümleyerek n değerini buluruz.
- 320 = 6n - 3
- 323= 6n
- n = 53.83
En yakın tam sayı olarak 54 bayrak 3 cm arayla ip üzerine atılmış olacaktır.
-
5 cm Aralıklarla Asılan Bayraklar:
- İpe asılan bayraklar ve bayraklar arasındaki açıklıkları modelliyoruz. Her bir set bayrak + 5 cm ara mesafesi olarak hesaplanır.
- 320\,cm = 5\,n + (n-1)\cdot 5
- Denklemi çözümleyerek n değerini buluruz.
- 320 = 6n - 5
- 325 = 6n
- n = 54.16
En yakın tam sayı olarak 55 bayrak 5 cm arayla ip üzerine atılmış olacaktır.
-
Toplam Bayrak Sayısı Hesaplama:
- 54 bayrak (3 cm aralıklarla) + 55 bayrak (5 cm aralıklarla):
- 54 + 55=109
Yani toplam asılabilecek bayrak sayısı minimum olarak 109 bayrak olacaktır. Bu durum, bayrakların yerleşim sıralaması ve istenen aralıklarla hesaplama sonucu toplanacaktır.
Yani cevap 109 bayrak olacaktır.