Analitik düzlemde doğruların x-eksenine pozitif yönde yaptıkları açılar:
Doğruların x-eksenine pozitif yönde yaptıkları açıları bulmak için doğruların eğimlerini ve bu eğimlerin tanjant fonksiyonunu kullanarak açıları hesaplayabiliriz. Verilen doğrular:
- ( d_1: y = \sqrt{3}x + 1 )
- ( d_2: y = -x + 4 )
- ( d_3: x = 6 )
- ( d_4: \sqrt{3}y + x + 2 = 0 )
1. Doğru: ( d_1: y = \sqrt{3}x + 1 )
Bu doğrunun eğimi ( m_1 = \sqrt{3} ). Pozitif x-eksenine eğimi tanjant fonksiyonu belirler, yani ( \tan \theta_1 = \sqrt{3} ).
Bu durumda ( \theta_1 = 60^\circ ) olur çünkü ( \tan 60^\circ = \sqrt{3} ).
2. Doğru: ( d_2: y = -x + 4 )
Bu doğrunun eğimi ( m_2 = -1 ). ( \tan \theta_2 = -1 ) olduğunda (\theta_2), ( 135^\circ ) veya ( -45^\circ ) olabilir. Fakat pozitif x-eksenine açıyı bulmak istiyoruz, dolayısıyla açı ( 135^\circ ).
3. Doğru: ( d_3: x = 6 )
Bu doğrunun eğimi tanımsızdır çünkü yatay eksene dik bir doğrudur. Bu nedenle, doğrunun yaptığı açı ( 90^\circ ) olur.
4. Doğru: ( d_4: \sqrt{3}y + x + 2 = 0 )
Bu doğruyu y’nin bir fonksiyonu olarak yazabiliriz:
[
\sqrt{3}y = -x - 2
]
[
y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - \frac{2}{\sqrt{3}}
]
Bu durumda eğim ( m_4 = -\frac{1}{\sqrt{3}} ). (\tan \theta_4 = -\frac{1}{\sqrt{3}}), bu durumda ( \theta_4 = 150^\circ ) çünkü ( \tan 150^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} ).
Sonuç:
Doğruların x-eksenine pozitif yönde yaptıkları açıların listesi:
- ( d_1 = 60^\circ )
- ( d_2 = 135^\circ )
- ( d_3 = 90^\circ )
- ( d_4 = 150^\circ )
Cevap: B şıkkı - 60, 135, 90, 150.