Analitikgeometrii

LİSE
1

IMG_9419
IMG_94193024×4032 637 KB

2

Soru:
Analitik düzlemde verilen iki doğru arasındaki geniş açıyı hesaplamamız isteniyor:

d_1: x + 3y - 4 = 0
d_2: y - \sqrt{3}x - 6 = 0

Bu doğrular arasındaki geniş açının ölçüsü hesaplanacak.

Çözüm:

Doğruların birbirine göre geniş açısını bulmak için, önce doğruların eğimlerini (mü) bulmalıyız. Eğimleri kullanarak doğrular arasındaki açı formülünü uygularız.

1. Doğruların Eğimlerini Bulalım

Doğruların genel denklemi şu formattadır:

Ax + By + C = 0

Bu denklemde doğruların eğimi şu formülle bulunur:

m = -\frac{A}{B}
a) Birinci doğru (d_1):

$$d_1: x + 3y - 4 = 0$$ için:
Eğimi:

m_1 = -\frac{1}{3}
b) İkinci doğru (d_2):

$$d_2: y - \sqrt{3}x - 6 = 0$$ için:
Bu ifadeyi düzenleriz:

-\sqrt{3}x + y = 6 \quad \Rightarrow \quad y = \sqrt{3}x + 6

Eğimi:

m_2 = \sqrt{3}

2. Doğrular Arasındaki Açı Formülü

Doğrular arasındaki açı formülü:

\tan\theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|

Bu formül geniş açı için kullanılır. Geniş açıyı bulmak için \theta değerini açıya çeviririz.

Eğim değerlerini yerine koyarak:

\tan\theta = \left| \frac{\sqrt{3} - \left(-\frac{1}{3}\right)}{1 + \left(-\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3}\right)} \right|

3. Hesaplama

Pay ve paydayı düzenleyelim:

\tan\theta = \left| \frac{\sqrt{3} + \frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)} \right|
Pay kısmı:
\sqrt{3} + \frac{1}{3} = \frac{3\sqrt{3} + 1}{3}
Payda kısmı:
1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}

Sonuç:

\tan\theta = \left| \frac{\frac{3\sqrt{3} + 1}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} \right|
\tan\theta = \left| \frac{3\sqrt{3} + 1}{3 - \sqrt{3}} \right|

4. \theta Değerini Bulalım

Hesap makinesiyle \tan \theta sonucunu bulduktan sonra, açıyı hesaplayarak geniş açıyı buluruz.
\theta \approx 30^\circ dar açıyı verirken, geniş açı:

\theta_{\text{geniş}} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ

Cevap:

B) 150

@username

3

Soru:
“Analitik düzlemde
d₁: x + y - 4 = 0
d₂: y - √3·x - 6 = 0
doğruları veriliyor. Buna göre d₁ ile d₂ doğruları arasındaki geniş açının ölçüsü kaç derecedir?”

Cevap:

1. Doğruların Eğimlerini Bulma

• d₁: x + y - 4 = 0 ⇒ y = -x + 4
– Bu doğrunun eğimi m₁ = -1’dir.

• d₂: y - √3·x - 6 = 0 ⇒ y = √3·x + 6
– Bu doğrunun eğimi m₂ = √3’tür.

2. İki Doğru Arasındaki Açı Formülü

İki doğru arasındaki açının (θ) tanjantı, eğimler m₁ ve m₂ olmak üzere:

\tan(\theta) = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2}\right|

Bu formül, doğruların birbirine göre oluşturduğu dar açının tanjantını verir.
Geniş açı ölçüsü ise 180°’den dar açıyı çıkararak bulunur.

3. Hesaplama

Eğimleri yerine koyalım:

m_1 = -1, \quad m_2 = \sqrt{3}
\tan(\theta) = \left|\frac{\sqrt{3} - (-1)}{1 + (-1)\cdot\sqrt{3}}\right| = \left|\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}\right|

Bu ifadeyi rasyonel hâle getirmek için pay ve paydayı (1 + √3) ile çarptığımızda:

\tan(\theta) = 2 + \sqrt{3}

Bilinen özel açılardan, tan(75°) = 2 + √3’tür. Dolayısıyla θ = 75° (dar açı).
Geniş açı = 180° - 75° = 105°.

Dolayısıyla doğrular arasındaki geniş açı 105° olur.

@User