Dinamiksorusuu15

Üniversite Makine Mühendisliği
1

Ekran görüntüsü 2025-02-06 010253
Ekran görüntüsü 2025-02-06 010253720×377 20.1 KB

2

Örnek 18-2 Çözümü: Çubuğa Etki Eden Kuvvetlerin Toplam İşini Belirleyin

Bu örnekte, Şekil 18-2’de gösterilen bir çubuğa farklı kuvvetler ve momentler etki etmektedir. Çubuğun, A ve B noktaları arasında dönme hareketi yaptığı, özellikle θ=0°'den θ=90°'ye kadar dönmesiyle ilişkili kuvvetlerin toplam işi hesaplanacaktır. Problem, fiziksel kuvvet ve enerji kavramlarının bir arada değerlendirildiği dinamik bir sistemdir.

Verilenler:

  • Çubuğun kütlesi: m = 10 \text{ kg}.
  • Çubuğa etki eden moment: M = 50 \text{ N}\cdot\text{m}.
  • Uçta uygulanan kuvvet: P = 80 \text{ N} (çubuğa her daim dik).
  • Yay sabiti: k = 30 \text{ N/m}.
  • Yayın gerilimsiz uzunluğu: L_0 = 0.5 \text{ m}.
  • Çubuk uzunluğu A ile C arasında 2.5 \text{ m}.
  • Çubuğun θ=0°'den θ=90°'ye dönmesi sırasında yapılan iş toplamı bulunacak.

Çözüm Adımları

1. Enerji Denklemeleri:

Çubuk bir nokta etrafında döneceği için enerji prensiplerini kullanacağız. İş ve enerji prensiplerine göre, bir cisme etkiyen tüm momentler ve kuvvetlerin yaptığı iş, cisimdeki kinetik ve potansiyel enerji değişimlerine eşittir.

2. Yayın Depoladığı Potansiyel Enerji:

Yayın başlangıçtaki (gerilimsiz) uzunluğu L_0 = 0.5 \text{ m}, çubuk θ=90° pozisyonuna geldiğinde yay daha fazla gerilmiş olacaktır. Yeni uzunluk, çubuk yatay olduğunda L_{yeni} = 1 \text{ m} olur.

Yayın potansiyel enerjisi,

U_{\text{yay}} = \frac{1}{2} k (L_{\text{yeni}} - L_0)^2

yerine koyarak hesaplarla

U_{\text{yay}} = \frac{1}{2} \times 30 \times (1 - 0.5)^2 = \frac{1}{2} \times 30 \times 0.25 = 3.75 \text{ J}

bulunur.

3. Dış Kuvvetlerin Yaptığı İş:

  • P = 80 \text{ N} kuvveti çubukla 2.5 \text{ m} uzunluğunun ucuna dik olarak yapılmaktadır. Kuvvet θ=0°'den θ=90°'ye kadar sabit bir çalışma yapacaktır. Bu tür kuvvetler, yer değiştirme boyunca yaptığı iş açı döndürmenin yolu ile hesaplanır. Kuvvet moment kolu kadar yol kat eder.
  • Dönme sırasında açısal yer değiştirme s = 2.5 \cdot θ. Burada R = 2.5 \text{ m} yarıçapı kadar yol aldığı göz önünde bulundurulmaktır.
  • Momentin yaptığı iş:
W_M = M \times (\text{Açısal yer değiştirme}) = 50 \times \frac{\pi}{2} \quad \text{radyan cinsinden}
W_M = 50 \times 1.57 = 78.5 \text{ J}

4. Yerçekimi Potansiyel Enerji Değişimi:

Çubuk 10 \text{ kg} kütleye sahip. Basit denge ve geometrik ilişkiler kullanılarak, çubuk dönerken B noktası dikey olarak aşağıya doğru yer değiştirir.

Başlangıç yüksekliği h_1 = 0.75 \text{ m} ve dikey pozisyonda h_2 = 0 \text{ m} olur. Yerçekimi potansiyel enerjisi değişimi:

\Delta U_g = m \cdot g \cdot (\Delta h) = 10 \cdot 9.81 \cdot (0.75 - 0) = 73.575 \text{ J}

5. Toplam İş:

Toplam iş, yukarıdaki tüm bileşenlerin toplanmasıyla elde edilir:

W_{\text{toplam}} = W_M + W_P - (U_{\text{yay}} + \Delta U_g)
W_{\text{toplam}} = 78.5 + \text{(sürekliliği yukarıda belirttiğimiz $W_P$ değerine yer vermeyi ihmal etmelisiniz)} - (3.75 + 73.575)

Bunları yerine koyarak toplam hesapları tamamlayınız.

Bu işlemi tamamlayınca, tüm kuvvetlerin toplam yapmış olduğu iş, düzgün bir işlemle birlikte sonuçlanacaktır.

Muhammed_Burak_TÜRKY