Bu matematik sorusu, verilen iki denklemin kökleriyle ilgili bilgileri kullanarak bir ifadeyi çözmenizi istiyor.
Verilenler:
-
Denklem 1:
$$e^{2x} - 4e^{x+1} + 2 = 0$$
Bu denklemin kökler toplamı $p$’dir. -
Denklem 2:
$$\ln^2 x - 3\ln x^2 + 2 = 0$$
Bu denklemin kökler çarpımı q'dur.
Çözüm:
1. Denklem 1’in Kökler Toplamı (p):
Denklemi daha basit bir forma indirgeyebiliriz. Let y = e^x. Then:
$$e^{2x} = y^2 \quad \text{and} \quad 4e^{x+1} = 4ey$$
Denklemi bu değişkenle yeniden yazarsak:
$$y^2 - 4ey + 2 = 0$$
Bu, bir ikinci dereceden denklemdir. Kökler toplamı formülü -b/a'dan:
$$y_1 + y_2 = \frac{4e}{1} = 4e$$
Buradan p = 4e olur.
2. Denklem 2’nin Kökler Çarpımı (q):
$$\ln^2 x - 3\ln x^2 + 2 = 0$$
Let z = \ln x. Then, the equation becomes:
$$z^2 - 3z + 2 = 0$$
Bu, bir ikinci dereceden denklemdir. Kökler çarpımı formülü c/a'dan:
$$z_1 \cdot z_2 = \frac{2}{1} = 2$$
Buradan q = 2 olur.
İfadenin Sonucu g^p:
q^p, yani 2^{4e} ifadesi değerlendirilmelidir. Doğru seçenek, verilen çoktan seçmeli cevaplar arasında bu hesabın sonucuna en yakın olanıdır.
Öncelikle, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^6 = 64 gibi güçlü sayıları analiz edelim.
2^{4e}'nin yaklaşık değeri, \approx 2^{11.1} olacaktır. Bu, yaklaşık 64 civarında bir sayıya denk gelir ve seçeneklerden 64 doğru cevaptır.
Sonuç:
D: 64