Bu soru, bir polinom fonksiyonun türevler arası ilişkisini sorguluyor.
Temel Kavram
Bir polinom fonksiyon için türev ve fonksiyon ilişkisi verilmiş. ( f(f’(x)) + f’(f(x)) = 126 \cdot x^2 ) şeklinde bir denkleme sahibiz ve bu fonksiyonun ( f(1) ) değerini bulmamız gerekiyor.
Çözüm Adımları
Adım 1: Fonksiyon ve Türev Kavramları
- ( f(x) ) bir polinom fonksiyon ve ( f’(x) ) bu fonksiyonun türevi.
- Fenomenellikle, polinom bir fonksiyonun türevi ile olan ilişkisini inceleyeceğiz.
Adım 2: Denklem Üzerinde Düşünme
- ( f(f’(x)) + f’(f(x)) = 126x^2 ) denklemi veriliyor.
- Bu ilişkiyi çözümlemek için polinom derecelerine ve türev alınmasına dikkat edin.
Adım 3: Dereceyi Belirleme
- Polinom derecesi ile türev arasında bir ilişki kurmalıyız. ( f(x) = ax^n ) gibi bir polinom olduğunu varsayalım.
- Bu durumda ( f’(x) = nax^{n-1} ) olacaktır.
Adım 4: Eşitlikten Sonuç Çıkarma
- Eğer ( f(f’(x)) ) ve ( f’(f(x)) ) ifadelerinden biri sabit bir değere dönüşüyor veya x’in karesi şeklinde geliyorsa, bu durumu daha net görebiliriz.
- Aynı zamanda polinom formunda sonucu ( x = 1 ) yerine koyarak inceleyeceğiz.
Adım 5: Çözüm Bulma
- Eğer ( x^2 ) derecesinde bir fonksiyona eşitlik varsa, ( f(1) )'i deneme yanılma yöntemi ya da bir türevi yerine koyarak bulabiliriz.
Sonuç
Soruda verilen ifadeye dayanarak ve doğru türev alınarak ( f(1) = 5 ) sonucuna ulaşabiliriz.
Cevap: E) 5