Aşağıdaki şekilde ABCD karesinin içine çizilen EFGD dikdörtgeni gösterilmiştir. Buna göre, mavi bölgenin alanını veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Bu problemde, verilen şekil bir kare ve bu karenin içine bir dikdörtgen çizilmiş. Kareden dikdörtgenin alanını çıkardığınızda mavi bölgenin alanını elde edersiniz.
Adım 1: Karenin alanının hesaplanması
Karenin bir kenarı DC olduğuna göre kenar uzunluğu (x + 1) + 2x = 3x + 1 olacaktır. Karenin alanı, kenar uzunluğunun karesine eşittir, yani:
$$(3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1$$
Adım 2: Dikdörtgenin alanının hesaplanması
Dikdörtgenin kenarları DF ve EF’dir. DF’nin uzunluğu x + 1 ve EF’nin uzunluğu 2x olduğuna göre, dikdörtgenin alanı:
$$\text{Alan}_{EFGD} = (x + 1) \times 2x = 2x^2 + 2x$$
Adım 3: Mavi bölgenin alanının hesaplanması
Mavi bölgenin alanı, karenin alanından dikdörtgenin alanı çıkarılarak elde edilir:
Bu işlemi sadeleştirirsek:
Sonuç olarak, doğru cevap B seçeneğidir: (7x^2 + 4x + 1).