Sorunun Çözümü
Sorunun Anlamı ve İpuçları:
Bize A, B ve C dişlilerinin birbirine bağlı olduğu bir sistem verilmekte. Sistemle ilgili verilen bilgiler şunlar:
- A dişlisi 12 tur döndüğünde, B dişlisi 4 tur döner.
- B dişlisi 4 tur döndüğünde, C dişlisi 6 tur döner.
- Bu üç dişlinin diş sayılarının toplamı 1440’tır.
- A, B ve C’nin diş sayıları, çevrim oranlarına orantılıdır.
Bu bilgiler ışığında dişlerin sayısını bulabiliriz.
1. Diş Sayılarının Oranları:
Dişli çarklarının çalışma prensibine göre:
- Dönüş sayıları ile diş sayıları ters orantılıdır.
A ve B arasındaki ilişki:
A dişlisi 12 tur döndüğünde B 4 tur dönüyorsa:
- Dönüş sayı oranı:
$$ \text{A’nın dönüş sayısı} : \text{B’nin dönüş sayısı} = 12 : 4 = 3 : 1 $$
Bu durumda B’nin diş sayısı, A’nın diş sayısının 3 katı olacaktır.
B ve C arasındaki ilişki:
B dişlisi 4 tur döndüğünde C 6 tur dönüyorsa:
- Dönüş sayı oranı:
$$ \text{B’nin dönüş sayısı} : \text{C’nin dönüş sayısı} = 4 : 6 = 2 : 3 $$
Bu durumda C’nin diş sayısı, B’nin diş sayısının \frac{3}{2} katı olacaktır.
2. Diş Sayılarının Orantılı İfade Edilmesi:
Diş sayıları arasında yukarıdaki oranlardan yola çıkarsak:
- A’nın diş sayısına x diyelim.
- B’nin diş sayısı, A’nın 3 katı olduğundan:
$$ \text{B’nin diş sayısı} = 3x $$ - C’nin diş sayısı, B’nin \frac{3}{2} katı olduğundan:
$$ \text{C’nin diş sayısı} = \frac{3}{2} \cdot 3x = \frac{9x}{2} $$
3. Diş Sayılarının Toplamı:
Soruda toplam diş sayısının 1440 olduğu belirtilmişti. Bu durumda:
$$ \text{A + B + C’nin diş sayısı} = 1440 $$
Yerine koyarsak:
$$ x + 3x + \frac{9x}{2} = 1440 $$
Bu denklemi çözmek için x terimlerini birleştirelim:
- x + 3x = 4x
- 4x + \frac{9x}{2} = \frac{8x}{2} + \frac{9x}{2} = \frac{17x}{2}
Yani:
$$ \frac{17x}{2} = 1440 $$
Her iki tarafı 2 ile çarparız:
$$ 17x = 2880 $$
x'i bulmak için:
$$ x = \frac{2880}{17} = 169 $$
4. Diş Sayılarını Bulma:
- A dişlisi: x = 169
- B dişlisi: 3x = 3 \cdot 169 = 507
- C dişlisi: \frac{9x}{2} = \frac{9 \cdot 169}{2} = 760.5
Ancak bu durumda hesap 760.5 olduğu için tam sayı olmadığından kontrol yapılması gerekebilir. Bunu yaparken soru eksik veya yanlış bilgisi olabilir.