Soruların çözümleri aşağıdaki gibidir:
1. Alper ile Mirza’nın yaşlarını denklemlerle bulunuz.
Problem:
Alper’in yaşının 4 katının 5 eksiği, Mirza’nın yaşının 2 fazlasına eşittir.
Alper ile Mirza’nın yaşlarının toplamı 13 olarak verilmiştir.
Çözüm:
Alper’in yaşına x, Mirza’nın yaşına y diyelim.
Adım 1: Verilen bilgileri matematiksel denklemler şeklinde yazalım.
- Alper’in yaşının 4 katının 5 eksiği, Mirza’nın yaşının 2 fazlasına eşittir:
$$ 4x - 5 = y + 2 $$ - Alper ile Mirza’nın yaşlarının toplamı 13’tür:
$$ x + y = 13 $$
Adım 2: İlk denklemi düzenleyelim:
$$ y = 4x - 7 $$
Adım 3: İkinci denklemde yerine koyarak çözüm yapalım:
$$ x + (4x - 7) = 13 $$
$$ 5x - 7 = 13 $$
$$ 5x = 20 $$
$$ x = 4 $$
Adım 4: Alper’in yaşını bulduktan sonra Mirza’nın yaşını hesaplayalım:
$$ y = 4x - 7 $$
$$ y = 4(4) - 7 $$
$$ y = 16 - 7 $$
$$ y = 9 $$
Sonuç:
- Alper’in yaşı: 4
- Mirza’nın yaşı: 9
2. Kutudaki sarı ve mavi bilyelerin sayısını bulunuz.
Problem:
Bilyelerin oranı 11:25 olarak verilmiş. Mavi bilye sayısı, sarı bilye sayısından 42 fazla.
Çözüm:
Sarı bilye sayısına 11x, mavi bilye sayısına ise 25x diyelim.
Adım 1: Mavi bilye sayısının sarı bilye sayısından 42 fazla olduğunu ifade eden denklem yazalım:
$$ 25x - 11x = 42 $$
$$ 14x = 42 $$
$$ x = 3 $$
Adım 2: Bilye sayılarını hesaplayalım.
- Sarı bilyeler:
$$ 11x = 11(3) = 33 $$ - Mavi bilyeler:
$$ 25x = 25(3) = 75 $$
Sonuç:
- Sarı bilye: 33 adet
- Mavi bilye: 75 adet
3. Küçük çocuğun aldığı para miktarını bulunuz.
Problem:
10 ve 15 yaşındaki çocukların aldığı paralar yaşlarıyla ters orantılı olacak şekilde dağıtılıyor. Toplam alınan para miktarı 600 TL.
Çözüm:
Ters orantı, yaşla çarpılan katsayıların eşit olacağı anlamına gelir. Bu nedenle, çocukların alacağı para miktarlarına 15a ve 10a diyelim.
Adım 1: Toplam paranın 600 TL olduğu bilgisine göre denklem kurup a değerini bulalım:
$$ 15a + 10a = 600 $$
$$ 25a = 600 $$
$$ a = 24 $$
Adım 2: Katsayıları kullanarak çocukların aldığı para miktarlarını hesaplayalım:
- 10 yaşındaki çocuğun aldığı para:
$$ 15a = 15(24) = 360 $$ - 15 yaşındaki çocuğun aldığı para:
$$ 10a = 10(24) = 240 $$
Sonuç:
- Küçük çocuğun aldığı para miktarı: 360 TL
- Toplam para: 600 TL
Soruların tüm çözümleri tamamlanmıştır! Eğer başka sorunuz varsa çekinmeden sorabilirsiniz. 
@sorumatikbot
1) Alper ve Mirza’nın Yaş Problemi
Soru:
Alper’in yaşının 4 katının 5 eksiği, Mirza’nın yaşının 2 fazlasına eşittir. Alper ile Mirza’nın yaşları toplamı 13 olduğuna göre Alper ve Mirza’nın yaşlarını denklem kurarak bulunuz.
Çözüm Adımları:
-
Değişkenleri Tanımlama:
- Alper’in yaşı: A
- Mirza’nın yaşı: M
-
Denklemleri Kurma:
- “Alper’in yaşının 4 katının 5 eksiği, Mirza’nın yaşının 2 fazlasına eşittir” ifadesiyle:
$$4A - 5 = M + 2$$ - “Alper ile Mirza’nın yaşları toplamı 13” ifadesiyle:
$$A + M = 13$$
- “Alper’in yaşının 4 katının 5 eksiği, Mirza’nın yaşının 2 fazlasına eşittir” ifadesiyle:
-
Denklemleri Düzenleme:
- Birinci denklem:
$$4A - 5 = M + 2 \implies 4A - M = 7$$ - İkinci denklem:
$$A + M = 13$$
- Birinci denklem:
-
Çözüm:
- İkinci denklemden M = 13 - A şeklinde ifade edelim.
- Bu ifadeyi birinci denklemde yerine koyalım:
$$4A - (13 - A) = 7 \implies 4A - 13 + A = 7 \implies 5A = 20 \implies A = 4$$ - A=4 olduğuna göre M=13 - 4=9
-
Sonuç:
- Alper’in yaşı 4, Mirza’nın yaşı 9
Özet Tablo:
| Değişken | Denklem | Sonuç |
|---|---|---|
| A | A + M = 13 | 4 |
| M | 4A - 5 = M + 2 | 9 |
| Kontrol | 4 \times 4 - 5 = 9 + 2 | Doğru |
2) Sarı ve Mavi Bilye Problemi
Soru:
Bir kutudaki sarı bilyelerin sayısının, mavi bilyelerin sayısına oranı \tfrac{11}{25}'tir. Bu kutudaki mavi bilyelerin sayısı, sarı bilyelerin sayısından 42 fazladır. Buna göre, kutudaki sarı ve mavi bilye sayılarını bulunuz.
Çözüm Adımları:
-
Değişkenleri Tanımlama:
- Sarı bilye sayısı: x
- Mavi bilye sayısı: y
-
Oran ve Fark Denklemleri:
- Oran ifadesi:
$$\frac{x}{y} = \frac{11}{25} \implies 25x = 11y$$ - Fark ifadesi:
$$y = x + 42$$
- Oran ifadesi:
-
Sistem Çözümü:
- 25x = 11(x + 42) ifadesinde yerine koyarsak:
$$25x = 11x + 462 \implies 14x = 462 \implies x = 33$$ - x=33 olduğuna göre:
$$y = 33 + 42 = 75$$
- 25x = 11(x + 42) ifadesinde yerine koyarsak:
-
Sonuç:
- Sarı bilye sayısı 33, mavi bilye sayısı 75
Özet Tablo:
| Değişken | Denklem | Sonuç |
|---|---|---|
| x (Sarı) | 25x = 11y | 33 |
| y (Mavi) | y = x + 42 | 75 |
| Kontrol | 75 - 33 = 42 (doğru) |
3) Doğru ve Ters Orantılı Para Dağıtımı
Soru:
Bir ailenin 10 ve 15 yaşlarındaki çocuklarına babaları bir miktar parayı (toplam F TL) yaşlarına doğru orantılı, anneleri ise bir miktar parayı (toplam M TL) yaşlarına ters orantılı olacak şekilde dağıtmıştır. Her iki durumda da büyük çocuğun aldığı para miktarı birbirine eşit olup toplam aldığı para miktarı 600 TL’dir. Buna göre, küçük çocuğun aldığı para miktarı toplamı kaç Türk lirasıdır?
Çözüm Adımları:
-
Yaş Tanımları:
- Küçük çocuk (10 yaş): K
- Büyük çocuk (15 yaş): B
-
Babanın Dağıtımı (Doğru Orantı):
- Toplam para: F
- Oran: 10 ve 15
- Babadan küçük çocuğa:
$$K_{\text{baba}} = \frac{10}{10 + 15} \times F = \frac{10}{25}F = \frac{2}{5}F$$ - Babadan büyük çocuğa:
$$B_{\text{baba}} = \frac{15}{25}F = \frac{3}{5}F$$
-
Annenin Dağıtımı (Ters Orantı):
- Toplam para: M
- Oran: \frac{1}{10} ve \frac{1}{15} → basitleştirilirse 3 : 2
- Anneden küçük çocuğa:
$$K_{\text{anne}} = \frac{3}{3 + 2} \times M = \frac{3}{5}M$$ - Anneden büyük çocuğa:
$$B_{\text{anne}} = \frac{2}{5}M$$
-
Problem Şartları:
- Büyük çocuğun aldığı miktarlar eşit:
$$B_{\text{baba}} = B_{\text{anne}} \implies \frac{3}{5}F = \frac{2}{5}M$$
$$\implies 3F = 2M \implies M = \frac{3}{2}F$$ - Büyük çocuğun toplam aldığı para 600 TL:
$$B_{\text{baba}} + B_{\text{anne}} = 600$$
$$\frac{3}{5}F + \frac{2}{5} M = 600$$
Fakat M = \frac{3}{2}F ise:
$$\frac{3}{5}F + \frac{2}{5}\left(\frac{3}{2}F\right) = 600$$
$$\frac{3}{5}F + \frac{3}{5}F = 600 \implies \frac{6}{5}F = 600 \implies F = 500$$ - Babanın dağıttığı toplam para F=500 TL olduğuna göre:
$$B_{\text{baba}} = \frac{3}{5} \times 500 = 300 \quad (\text{Büyük çocuk})$$
$$K_{\text{baba}} = \frac{2}{5} \times 500 = 200 \quad (\text{Küçük çocuk})$$ - Anneden büyük çocuğa düşen miktar:
$$B_{\text{anne}} = 300 \quad (\text{eşitlik şartı gereği})$$ - Annenin toplam parası:
$$B_{\text{anne}} = \frac{2}{5}M = 300 \implies M = 750$$ - Anneden küçük çocuğa düşen miktar:
$$K_{\text{anne}} = \frac{3}{5} \times 750 = 450$$
- Büyük çocuğun aldığı miktarlar eşit:
-
Küçük Çocuğun Toplamı:
- Babadan aldığı: 200 TL
- Anneden aldığı: 450 TL
- Toplam = 200 + 450 = 650 TL
Özet Tablo:
| Para Dağıtımı | Küçük Çocuk (10) | Büyük Çocuk (15) | Toplam |
|---|---|---|---|
| Baba (Doğru Orantı) | 200 TL | 300 TL | 500 TL |
| Anne (Ters Orantı) | 450 TL | 300 TL | 750 TL |
| Genel Toplam | 650 TL | 600 TL | 1250 TL |
Cevap: Küçük çocuğun aldığı toplam para 650 TL’dir.
Alper’in yaşının 4 katının 5 eksiği, Mirza’nın yaşının 2 fazlasına eşittir. Alper ile Mirza’nın yaşları toplamı 13 olduğuna göre Alper ve Mirza’nın yaşlarını bulunuz.
Çözüm:
- Alper’in yaşına x, Mirza’nın yaşına y diyelim.
- Verilen koşullar doğrultusunda iki denklem kurulur:
• 4x - 5 = y + 2
• x + y = 13 - Birinci denklemi düzenleyelim:4x - 5 = y + 2 \quad\Longrightarrow\quad 4x - 7 = y
- İkinci denklemde $y$’yi yerine koyalım:x + (4x - 7) = 13 \\ 5x - 7 = 13 \\ 5x = 20 \\ x = 4Buradan x=4 olursa, y = 4(4) - 7 = 9 bulunur.
Bu durumda:
• Alper 4 yaşındadır.
• Mirza 9 yaşındadır.
Bir kutudaki sarı bilyelerin sayısının, mavi bilyelerin sayısına oranı $11/25$’tir. Bu kutudaki mavi bilyelerin sayısı, sarı bilyelerin sayısından 42 fazladır. Buna göre, bu kutudaki sarı ve mavi bilye sayılarını bulunuz.
Çözüm:
- Sarı bilye sayısına S, mavi bilye sayısına M diyelim.
- Verilen orana göre:\frac{S}{M} = \frac{11}{25} \quad\Longrightarrow\quad S = \frac{11}{25}M
- “Mavi bilyelerin sayısı, sarılarından 42 fazladır” bilgisine göre:M = S + 42
- Yukarıdaki iki eşitliği birleştirelim:M = \tfrac{11}{25}M + 42 \\ M - \tfrac{11}{25}M = 42 \\ \tfrac{14}{25}M = 42 \\ M = 42 \times \tfrac{25}{14} = 75Böylece M=75 bulunur.
- S = \frac{11}{25}\times 75 = 33 olur.
Bu durumda kutudaki:
• Sarı bilye sayısı 33,
• Mavi bilye sayısı 75’tir.
Bir ailenin 10 ve 15 yaşlarındaki iki çocuğuna; babaları bir miktar parayı yaşlarıyla doğru, anneleri ise yaşlarıyla ters orantılı biçimde paylaştırıyor. İki durumda da büyük çocuğun aldığı miktarlar birbirine eşit olup, büyük çocuğun toplam aldığı para 600 TL’dir. Buna göre, küçük çocuğun toplam aldığı para kaç TL’dir?
Çözüm:
-
Yaşları:
- Küçük çocuk: 10 yaş
- Büyük çocuk: 15 yaş
-
Babanın dağıtımı (doğru orantı):
- Baba toplamda F TL versin. Yaşları oranında pay:
- 10 yaşındakiye:\frac{10}{10+15}F = \frac{10}{25}F = \frac{2}{5}F
- 15 yaşındakiye:\frac{15}{25}F = \frac{3}{5}F
- 10 yaşındakiye:
- Baba toplamda F TL versin. Yaşları oranında pay:
-
Annenin dağıtımı (ters orantı):
- Anne toplamda M TL versin. Ters orantıda pay, yaşın tam tersiyle orantılıdır:
- 10 yaşındaki payı, \tfrac{1/10}{1/10 + 1/15}, 15 yaşındaki payı, \tfrac{1/15}{1/10 + 1/15} oranında alınacaktır. Toplam pay katsayısı:\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}.
- Küçük çocuk (10 yaş):\frac{\tfrac{1}{10}}{\tfrac{1}{6}} = \frac{1}{10} \times 6 = \frac{3}{5} \quad \Longrightarrow \quad \text{Toplamdan } \frac{3}{5}M \text{ alır.}
- Büyük çocuk (15 yaş):\frac{\tfrac{1}{15}}{\tfrac{1}{6}} = \frac{1}{15} \times 6 = \frac{2}{5} \quad \Longrightarrow \quad \text{Toplamdan } \frac{2}{5}M \text{ alır.}
-
Büyük çocuğun babadan ve anneden aldığı para miktarları birbirine eşittir deniyor:
\frac{3}{5}F = \frac{2}{5}M \quad \Longrightarrow \quad 3F = 2M \quad \Longrightarrow \quad M = \frac{3}{2}F. -
Büyük çocuğun toplam aldığı para 600 TL’dir:
- Babadan \frac{3}{5}F , anneden \frac{2}{5}M alır ve toplamı 600’dür. Üstelik bu iki tutar eşit olduğundan her birinden 300 TL aldığını anlarız.
- Babadan aldığı (büyük çocuk):\frac{3}{5}F = 300 \quad \Longrightarrow \quad F = 500.
- Anneden aldığı (büyük çocuk):\frac{2}{5}M = 300 \quad \Longrightarrow \quad M = 750.
- Küçük çocuğun toplam aldığı para:
- Babadan:\frac{2}{5}F = \frac{2}{5} \times 500 = 200
- Anneden:\frac{3}{5}M = \frac{3}{5} \times 750 = 450
- Küçük çocuğun aldığı toplam:200 + 450 = 650 \text{ TL}
- Babadan:
Yani küçük çocuğun toplam aldığı para 650 TL’dir.
@username