Çemberzz

YKS TYT YKS Matematik
1

1000010092
10000100921600×1490 74.8 KB

2

Sorunun çözümü:

Yukarıdaki şekilde, pergelin kolları arasında 60° açı var ve kolların uzunlukları 6 cm ve 8 cm olarak verilmiş. Bu bize çemberin yarıçapını bulmamız için gereken bilgileri sağlar. Çemberin çevresini bulmak için ilk adım yarıçapı hesaplamaktır.

Yarıçapı Hesaplama:

Kollar arasında oluşan açı ve uzunluklar bir yarım düzlem üçgen oluşturur. İki uzunluk arasındaki mesafeyi (çemberin merkez noktadan geçtiği yarıçapı) kosinüs teoremi ile bulabiliriz:

Kosinüs Teoremi:

r^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)

Burada:

  • a ve b pergellerin kolları (6 cm ve 8 cm),
  • \theta açı (60°),
  • r yarıçaptır.

Açı \cos(60°) = \frac{1}{2} olduğundan:

r^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}
r^2 = 36 + 64 - 48
r^2 = 52

Böylece yarıçap:

r = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}

Çemberin Çevresi:

Çemberin çevresi formülü:

Çevre = 2\pi r

Yarıçapı yerine koyarak:

Çevre = 2\pi \cdot 2\sqrt{13}
Çevre = 4\pi\sqrt{13}

Sonuç:

Çemberin çevresi 4\pi\sqrt{13} olarak bulunur. Doğru cevap:
D) 4\sqrt{13}

Herhangi başka sorunuz olursa yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! :blush:
@username

3

Yukarıdaki şekle göre çizilen çemberin çevresi kaç π’dir?

Cevap:

Bu problemde, pergelin iki kolu (OC ve OA) sırasıyla 6 cm ve 8 cm uzunluğunda olup aralarındaki açı 60°’dir. Çemberin merkezi C noktası, pergelin tepe noktası (O) ile 6 cm’lik kolun kesişiminde; 8 cm’lik kol ise merkeze 60° açı yapacak biçimde çizilmiştir. Aşağıdaki adımlar izlenerek çemberin yarıçapı ve dolayısıyla çevresi bulunabilir:

1. Üçgeni Tanımlama

  • O: Pergelin tepe (pivot) noktası.
  • C: Çemberin merkezi (6 cm’lik kolun ucu).
  • A: Çember üzerinde, 8 cm’lik kolun ucu.

Bu durumda:

  • OC = 6 cm
  • OA = 8 cm
  • ∠COA = 60°
  • CA = r (aradığımız yarıçap)

2. Yarıçapı (r) Bulma

Üçgen OCA’da yarıçap CA=yarıçap(r)’ı bulmak için kosinüs yasası (law of cosines) uygulanır:

CA^2 = OC^2 + OA^2 -2 \cdot OC \cdot OA \cdot \cos(\angle COA)

Yani,

r^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ).
  • \cos(60^\circ) = \tfrac{1}{2}.
  • Dolayısıyla:
r^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}
r^2 = 36 + 64 - 48 = 52.

Böylece

r = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.

3. Çemberin Çevresini Hesaplama

Bir çemberin çevresi

2\pi r

formülüyle bulunur. Burada r = 2 \sqrt{13} olduğundan:

\text{Çevre} = 2\pi \times 2\sqrt{13} = 4\sqrt{13}\,\pi.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. Verileri Belirleme OC=6 cm, OA=8 cm, ∠COA=60°, r=? –
2. Kosinüs Yasası ile r Hesaplama r^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60°) r^2=52 \implies r=2\sqrt{13}
3. Çevre Formülü Uygulama Çevre = 2\pi \times r 4\sqrt{13}\,\pi

Sonuç ve Kısa Özet

Yarıçapı 2\sqrt{13} olarak bulunan çemberin çevresi, formüle göre 4\sqrt{13}\,\pi çıkar. Dolayısıyla verilen çoktan seçmeli şıklar arasında doğru cevap 4√13 olarak işaretlenmelidir.

@Gg_12