Cehirsel ifadeee

Kankartal · Nisan 2, 2025, 1:34ös

@sorumatikbot

Yardimci_yapay_zeka · Nisan 2, 2025, 1:37ös

Cehirsel ifadeyi sorunuzun çözümüne dair açıklamalarla birlikte yanıtlıyorum:

Sorunuzdaki iki denklem aşağıdaki gibidir:

1. Denklem:

5 \cdot (2x - 11) = 7x + 8

2. Denklem:

2y + 15 = 5y + 45

Bu denklemlerin çözümüne adım adım bakalım:

Birinci Denklem: Kullanılarak (x)'In Çözümü

İlk olarak parantezi açalım:
5 \cdot (2x - 11) \implies 10x - 55

Denklem şöyle olur:

10x - 55 = 7x + 8
(x)'leri bir tarafa alalım:

10x - 7x = 8 + 55

3x = 63
Her iki tarafı (3)'e bölelim:

x = \frac{63}{3} = 21

İkinci Denklem: Kullanılarak (y)'nin Çözümü

Öncelikle denklemi düzenleyelim:

2y + 15 = 5y + 45
(y)'leri bir tarafa, sabit sayıları diğer tarafa alalım:

15 - 45 = 5y - 2y

-30 = 3y
Her iki tarafı (3)'e bölelim:

y = \frac{-30}{3} = -10

Toplama İşlemi

(x + y) toplamı:

x + y = 21 + (-10) = 11

Sonuç:

Sorunun doğru cevabı D) 11 olarak işaretlenmiştir.

Sorunuzun çözümünde herhangi bir aşamada anlamadığınız bir nokta varsa, lütfen sormaktan çekinmeyin!

@sorumatikbot

Uzman_Cevap · Nisan 2, 2025, 1:38ös

Soru:
Aşağıdaki iki denklem verilmiştir:

5·(2x - 11) = 7x + 8
2y + 15 = 5y + 45

Buna göre, x + y toplamı kaçtır?

Çözüm:

Birinci denklemden başlayalım:
5·(2x - 11) = 7x + 8
Dağıtma kuralını uygulayalım:
10x - 55 = 7x + 8
Sol taraftaki terimler üzerinden basit işlemleri yapalım:
10x - 7x = 8 + 55
3x = 63 → x = 21
İkinci denklem:
2y + 15 = 5y + 45
y’li terimleri toplayıp sadeleştirelim:
2y - 5y = 45 - 15
-3y = 30 → y = -10
Sonuç olarak x + y = 21 + (-10) = 11.

@Kankartal

sorumatikbot · Nisan 2, 2025, 2:33ös

Aşağıda verilen iki denklemde x + y toplamı nedir?

Cevap:

Merhaba! Bu soruda elimizde iki adet doğrusal denklem (linear denklem) var ve bizden x + y toplamını bulmamız isteniyor. Sorunun görselinde denklemler şu şekilde verilmişti:

5 (2x - 11) = 7x + 8
2y + 15 = 5y + 45

Bu yanıtımızda sizlere bu iki denklemin adım adım nasıl çözüleceğini, doğrusal denklemlerin mantığını, konuya dair temel kavramları ve x + y değerini nasıl bulduğumuzu detaylı bir şekilde aktaracağız. Ayrıca çözüme ek olarak doğrusal denklemler hakkında kapsamlı bilgiler, çeşitli yöntemler ve benzer örnekler sunacağız. Metnin sonunda ise hem bir özet hem de konuyu kavrayabilmenize yardımcı olacak bir tablo yer alacak.

Aşağıdaki içerikte:

Doğrusal denklem nedir?
İki bilinmeyenli doğrusal denklemlerin çözüm yöntemleri
Verilen denklem örneklerimize adım adım çözümler
Doğrusal denklemlerin gerçek hayattaki uygulamaları
Konuyla ilgili önemli ipuçları ve özet tablolar

… gibi başlıklar altında kapsamlı bir açıklama yer almaktadır.

Bu kapsamlı anlatım sayesinde, bu iki denklemi çözmenin yanı sıra doğrusal denklem çözümlerine dair sağlam bir temel bilgi de edinebilirsiniz.

Doğrusal Denklemleri Tanıma ve Temel Kavramlar

1. Doğrusal Denklem Nedir?

Doğrusal denklem, genellikle bir veya daha fazla bilinmeyen içeren ve bu bilinmeyenlerin yalnızca birinci dereceden (kuvveti 1) göründüğü cebirsel ifadelerdir. Tek bilinmeyenli veya iki bilinmeyenli doğrusal denklemler lise düzeyinde matematiğin temel yapı taşları arasında yer alır.

Örneğin:

Tek bilinmeyenli doğrusal denklem: 3x + 7 = 10.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem: 2x + 3y = 5.

Bu soruda, her bir denklem farklı bir değişken hakkında bilgi verir (biri x üzerine, diğeri y üzerine odaklanır). Bazen aynı denklem seti içinde iki değişken de bulunur; bu durumda her iki değişkeni birlikte çözüme kavuşturarak buluruz.

2. İki Bilinmeyenli Doğrusal Denklemlerde Temel Yöntemler

İki bilinmeyenli doğrusal denklemler sıklıkla şu genel formda yazılır:

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Burada a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ sabit sayılardır. Bu iki denklem sisteminin çözümünde kullanılan yaygın yöntemler:

Yerine Koyma (Substitution) Yöntemi: Bir denklemi x veya y açısından yalnız bırakıp, bulduğumuz ifadeyi diğer denklemde yerine koyarak çözüm yaparız.
Eliminasyon Yöntemi (Toplama-Çıkarma Yöntemi): Denklem çiftlerini, değişkenlerden birini yok edecek şekilde toplar veya çıkarırız. Böylece tek bilinmeyenli bir denklem elde eder ve bu bilinmeyeni buluruz.
Grafik Yöntemi: Her iki denklem de, koordinat düzleminde bir doğru olarak temsil edilir. İki doğrunun kesişim noktasının (x , y) koordinatları, denklem sisteminin çözümünü verir.

Bizim örneğimizde denklemler doğrudan x ve y cinsinden ayrıldığı için, en basit (hızlı) yaklaşım çoğu zaman eliminasyona ya da doğrudan her denklemi tek bilinmeyende çözüp değerleri elde etmeye yöneliktir.

3. Adım Adım Çözüm Stratejisi

Verilen soru için:

İlk denklem x’i içeren eşitliktir:
5 (2x - 11) = 7x + 8
İkinci denklem y’yi içeren başka bir eşitliktir:
2y + 15 = 5y + 45

Bu iki denklemden x ve y değerlerini bulmak oldukça kolaydır. Ardından x + y toplamı sorulduğunda, sadece bulunan x ve y değerlerini toplayacağız.

Aşağıda ilgili denklemleri nasıl çözdüğümüzü sırasıyla görebilirsiniz.

Birinci Denklemin Çözümü: 5 (2x - 11) = 7x + 8

Adım 1: Dağıtma İşlemi

Denklemin sol tarafında bir parantez vardır. Parantezin önündeki 5 sayısını içeriye dağıtalım:

5 (2x - 11) = 10x - 55

Bu nedenle denklem artık:

10x - 55 = 7x + 8

Adım 2: Değişkenleri Bir Tarafa Toplama

Şimdi x terimlerini bir tarafta, sabit terimleri diğer tarafta toplayalım. Önce 7x’i soldaki 10x’in yanına taşıyoruz:

10x - 7x = 8 + 55

Sağ tarafta -55 soldan sağa geçince +55 olur. Soldaki x terimlerini sadeleştirelim:

10x - 7x = 3x
8 + 55 = 63

Böylece elimizde:

3x = 63

Adım 3: Bölme İşlemiyle x Değerini Bulma

3x = 63 ifadesinde her iki tarafı 3’e bölerek:

x = 63 / 3 = 21

Bu şekilde x = 21 sonucuna ulaşırız.

İkinci Denklemin Çözümü: 2y + 15 = 5y + 45

Adım 1: Y’li Terimleri Birleştirme

2y + 15 = 5y + 45 denkleminde y terimli ifadeleri aynı taraf veya sabit ifadeleri diğer tarafa toplayabiliriz. Örneğin, y’li terimleri sağa veya sola taşımayı seçmemizde bir sakınca yoktur. Kolaylık olsun diye 2y’yi sağ tarafa, sabit terimleri sol tarafa aktaralım:

15 - 45 = 5y - 2y

Sol tarafta 15 - 45 = -30, sağ tarafta 5y - 2y = 3y. Dolayısıyla:

-30 = 3y

Adım 2: y’yi Bulma

Artık y’yi elde etmek için her iki tarafı 3’e bölüyoruz:

3y = -30
y = -30 / 3 = -10

Sonuçta y = -10 değerine ulaşırız.

x + y Toplamının Hesaplanması

Yukarıdaki adımlarda:

x = 21
y = -10

olarak bulunmuştur. İstenen x + y toplamı:

x + y = 21 + (-10) = 21 - 10 = 11

Dolayısıyla, bize sorulan “Buna göre x + y toplamı kaçtır?” sorusunun cevabı:

11

Doğrusal Denklemlerle İlgili Kapsamlı Bilgiler (Detaylı Anlatım)

Doorusal (lineer) denklemler, gerek okul matematiğinde gerekse ileri düzey bilimsel çalışmalarda sıkça karşımıza çıkar. İster finansal hesaplamalarda ister fizik veya kimya gibi fen bilimlerinde, sistem davranışlarını modellemek amacıyla lineer denklemler (veya lineer denklem sistemleri) kullanılır. Bu bölümde doğrusal denklemlerle ilgili kavram, özellik ve yöntemlere daha derinlemesine bakacağız.

1. Doğrusal Denklemlerin Genel Formu

İki bilinmeyenli doğrusal denklem genel olarak şöyle ifade edilir:
a₁x + b₁y = c₁

Örnek: 2x + 3y = 6.

Bu denklem geometrik olarak bir doğruyu temsil eder. x ve y değeri, bu doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları olabilir.

Eğer iki ayrı denklem olursa:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Bu iki doğru, düzlemde tek bir noktada kesişirse, o kesişim koordinatları (x, y) bizim denklem sistemimizin tek çözümünü verir.

Tek çözüm: İki doğru farklı eğimlerde kesişir.
Sonsuz çözüm: İki doğru aslında aynı doğruyu temsil eder (çakışık doğrular).
Çözüm yok: İki doğru birbirine paraleldir, kesişmezler.

2. İki Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümüne Dair Ayrıntılar

Eliminasyon (çıkarma veya toplama) yönteminde, denklemdeki x veya y terimlerinden birini yok etmeyi amaçlarız. Örneğin:

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Eğer a₁ ≠ 0 ve a₂ ≠ 0 ise, denklem çiftlerini uygun katsayılarla çarparak x veya y’yi yok edebiliriz. Burada:

Birinci denklemi k₁ ile,
İkinci denklemi k₂ ile çarptıktan sonra,

k₁a₁x + k₁b₁y = k₁c₁
k₂a₂x + k₂b₂y = k₂c₂

toplayarak veya çıkararak x (ya da y) terimini yok eder, ardından tek bilinmeyen ile çözüme ulaşırız.

Bu yöntem hem sistematik hem de basit kurallara dayanır. Buna karşın, çok sayıda bilinmeyen (örneğin üç bilinmeyen x, y, z) söz konusu olduğunda, benzer şekilde üç bilinmeyenli veya n bilinmeyenli denklem sistemlerini matematiksel yaklaşımlarla çözebiliriz (matris ve determinant yöntemleri gibi).

3. Doğrusal Denklemlerin Geometrik Yorumu

İki bilinmeyenli düzlemde (x, y)

Bir denklem: düzlemde bir doğruyu ifade eder.
İki denklem sistemi: düzlemi temsil eden iki doğrunun kesişimini ifade eder.

Bu kesişim noktası, sayısal olarak x ve y değerlerini verir.
Örneğin, 10x - 55 = 7x + 8 denklemindeki x değeri, y = -10 ile bir araya geldiğinde, sistemin kesişim noktasını tanımlar.

4. Örnekler ve Ek Alıştırmalar

Örnek A

3x - 2y = 10
x + 4y = 2

Bu sistemde, x ve y nasıl bulunur?

Birinci denklemden x’i çekebilir, ikinci denklemde yerine koyabilir ya da eliminasyon uygulanabilir. Tekniğe göre hızlıca çözerseniz, sistemin kesişim noktası bulunur.

Örnek B

x - y = 3
2x + 3y = 1

Benzer şekilde iki bilinmeyenli lineer denklem sistemini çözerek x ve y değerlerini bulabiliriz.

5. Gerçek Hayatta Kullanımı

İki bilinmeyenli doğrusal denklemlerin gerçek hayatta birçok kullanım alanı vardır:

Ekonomi ve Finans: Arz-talep dengesi, mal ve hizmetlerin fiyatlandırılması, gelir-gider hesaplamaları gibi konularda denklemler kullanılır.
Fizik: Basit hareket problemleri (örneğin sabit hızla giden araçların konum denklemleri) doğrusal denklemlerle ifade edilebilir.
Kimya: Çözeltilerin karışım oranlarını hesaplarken veya tepkime denkliği kurarken basit lineer ilişkiler kullanılabilir.
İnşaat ve Mühendislik: Yapısal hesaplamalar (kirişlere etki eden kuvvetlerin hesaplanması vb.) sıklıkla lineer varsayımlar içerir.

6. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler

Dağıtma hataları: Parantez açarken hatalı çarpma yapmak.
Negatif değerler: Özellikle - işaretlerini sağa sola taşırken işaret değişikliğine dikkat etmemek.
Eksik toplama-çıkarma: Bir tarafı sadeleştirip diğer tarafı unutmak.
Kontrol etmeden geçmek: Bulunan çözümün asıl denkleme geri konulduğunda geçerli olup olmadığını kontrol etmek her zaman iyidir.

Verilen Örnek Üzerinde Derinlemesine Analiz

Bu soruda dikkati çeken nokta, her denklemin kendi bilinmeyenini basit ve tek adımda çözülebilecek bir şekle dönüştürdüğüdür. İlk denklem sadece x içeren bir ifade gibi davranır (yoktur). İkinci denklem de y cinsinden hızlıca çözülebilir. Böylece iki bilinmeyeni aynı anda çözmemiz istenir. Sadece bulduğumuz x ve y değerlerini birlikte kullanıp istenen x + y toplamını hesaplarız.

Neden x = 21 ve y = -10 Oldu?

Birinci denklemde: 5(2x - 11) = 7x + 8
- Dağıtma sonucu 10x - 55 = 7x + 8
- 10x - 7x = 55 + 8 => 3x = 63 => x = 21
İkinci denklemde: 2y + 15 = 5y + 45
- y terimlerini birleştirirken: 2y - 5y = 45 - 15 => -3y = 30 (veya eşdeğer şekilde 15 - 45 = 5y - 2y)
- Dikkat edersek 2y + 15 = 5y + 45, 2y’yi sağ tarafa atıp 15’i sol tarafta bırakırsak:
  15 - 45 = 5y - 2y => -30 = 3y => y = -10

Bu iki sonuç oldukça mantıklı: x = 21, y = -10. Kontrol etmek için denklemlere geri yazabiliriz:

Birinci denklem kontrolü:
5(2 · 21 - 11) = 7 · 21 + 8
Sol taraf: 5(42 - 11) = 5 · 31 = 155
Sağ taraf: 7 · 21 + 8 = 147 + 8 = 155
Görüldüğü gibi eşit, doğru.
İkinci denklem kontrolü:
2( -10 ) + 15 = 5( -10 ) + 45
Sol taraf: -20 + 15 = -5
Sağ taraf: -50 + 45 = -5
Bu da eşit, doğru.

Dolayısıyla bulduğumuz x = 21 ve y = -10 değerleri iki denklemi de sağlıyor.

Sonuç Olarak x + y

Çözümden elde ettik ki:

x + y = 21 + (-10) = 11

Bu tür sorularda genellikle problem yalnızca x veya y’yi değil, bu iki değişkenin toplamını da sorabilir. Sınavlarda ya da alıştırmalarda bu tarz varyasyonlar sık görülür.

Cevap: 11

Konuyla İlgili Derin Kavramlar ve Bazı İleri Notlar

Parametrik Denklem Sistemleri: Eğer iki denklem birbiriyle çakışık ise, sonsuz çözüm seti ortaya çıkar ve x, y değerleri belli bir parametreye bağlı olur. Fakat burada, tek kesin çözüme ulaştık.
Determinant ve Matris Yöntemi: Daha ileri seviyede, 2 × 2 matrisle bu sistem hızla çözülebilir.

\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}

Determinant sıfır olmadığı sürece tek çözüm vardır.
Uygulama Zenginliği: İki bilinmeyenli denklemler, sadece matematiksel bir alıştırma değil, aynı zamanda lojistik, ekonomi, mühendislik gibi birçok alanda çözüm sağlama aracıdır.

Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda, sorudaki denklemleri ve çözüm aşamalarını şematik olarak görebilirsiniz.

Denklem	Uygulanan İşlem	Sonuç
5(2x - 11) = 7x + 8	Dağıtma: 10x - 55 = 7x + 8, ardından x’leri aynı tarafa toplama	x = 21
2y + 15 = 5y + 45	y’leri bir tarafta toplama: 2y - 5y, sabitler: 15 - 45	y = -10
x + y	21 + (-10)	11

Tablodan da görebileceğiniz gibi, ilk denklemden x = 21, ikinci denklemden y = -10 bulunur. Soru, x + y değerini istediğinden toplam 11 olarak elde edilir.

Kısa Bir Özet

Birinci denklem: 10x - 55 = 7x + 8 ⇒ 3x = 63 ⇒ x = 21
İkinci denklem: 2y + 15 = 5y + 45 ⇒ -30 = 3y ⇒ y = -10
Sonuç: x + y = 21 - 10 = 11

Bu, sorumuzun nihai çözümüdür.

Cevap (x + y) = 11.

Umarım bu ayrıntılı açıklamalar ve tablolar yardımıyla hem denklemleri çözme sürecini hem de doğrusal denklem mantığını net bir şekilde kavramış oldunuz. Başarılar diler, başka sorularınızda da yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım!