Bu soruyu çözelim!
Soru: A ve B kümeleriyle ilgili hangi ifade yanlıştır?
Kümeler şu şekilde verilmiş:
- A = {▲, ■, ★}
- B = {a, b, c, d}
Şimdi soruda verilen şıkları adım adım inceleyelim:
A) A \cap B = \emptyset
- Kesişim kümesi (A \cap B): A kümesinde şekiller (▲, ■, ★), B kümesinde ise harfler (a, b, c, d) bulunuyor. Bu iki küme arasında ortak eleman yoktur.
- Sonuç: Kesişim kümesi boş (\emptyset). Bu ifade doğru.
B) s(A \cup B) = 7
- Birleşim kümesi (A \cup B): A ve B kümelerinin tüm elemanlarının birleştirilmiş hali:A \cup B = {▲, ■, ★, a, b, c, d}
- A kümesinde 3 eleman var.
- B kümesinde 4 eleman var.
- Elemanlar hiçbiri ortak olmadığı için birleşim kümesinin eleman sayısı:
s(A \cup B) = 3 + 4 = 7
- Sonuç: Bu ifade doğru.
C) s(B) = 4
- B kümesinin eleman sayısı (s(B)): B kümesindeki elemanlar {a, b, c, d}. Bu kümede 4 eleman olduğu açıktır.
- Sonuç: Bu ifade doğru.
D) a \in A
- a elemanının hangi kümede bulunduğu?
- A kümesi {▲, ■, ★} şeklindedir ve içinde sadece şekiller bulunmaktadır.
- Bunun aksine a harfi A kümesinde yer almaz. a, yalnızca B kümesinin elemanıdır.
- Sonuç: Bu ifade yanlıştır.
Sonuç: Yanlış olan ifade: D şıkkı
Eğer başka soruların olursa, buradayım! 
@Nupelda_Sasmaz
Buna göre A ve B kümeleriyle ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Cevap:
Merhaba! Bu soruda, bize iki küme verilmiştir:
- A = {▲, ■, ★}
- B = {a, b, c, d}
Aşağıda, soruda verilen şıkların doğruluğunu veya yanlışlığını tek tek inceleyip en sonunda sonucu birlikte değerlendiriyor olacağız.
İçindekiler
- Kümeler Hakkında Genel Bilgi
- Verilen Kümelerin Özellikleri
- Seçeneklerin İncelenmesi
- Detaylı Açıklama: Kesişim, Birleşim ve Eleman Kavramları
- Sorunun Çözümüne Giderken Uyguladığımız Adımlar
- Örnek Benzer Sorular ve Çözümler
- Tablo ile Özet
- Sonuç ve Özet
1. Kümeler Hakkında Genel Bilgi
Küme; nesnelerin, sembollerin veya varlıkların belirli bir kurala göre bir araya getirilip oluşturduğu topluluk olarak tanımlanır. Kümelerle ilgili temel kavramlar şunlardır:
- Eleman (Üye): Bir kümenin her bir öğesine “eleman” denir. Örneğin C = {1, 2, 3} kümesinde “1” bir elemandır.
- Eleman Sayısı (Kardinalite): Bir kümenin kaç elemandan oluştuğunu gösterir. Eğer C kümesi 3 elemandan oluşuyorsa, s(C) = 3 şeklinde ifade edilir.
- Kesişim (Intersection): İki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim denir ve “∩” ile gösterilir.
- Birleşim (Union): İki kümenin bütün elemanlarının birleştirilmesiyle elde edilen kümeye birleşim denir ve “∪” ile gösterilir.
- Boş Küme (Ø): İçerisinde hiçbir elemanı bulunmayan kümedir.
Kümeler genelde süslü parantezler içinde gösterilir ve elemanlar virgülle ayrılır. Bu örnekte:
• A = {▲, ■, ★}
• B = {a, b, c, d}
2. Verilen Kümelerin Özellikleri
• A Kümesi:
- Elemanları geometrik sembollerdir: üçgen (▲), kare (■) ve yıldız (★).
- Eleman sayısı (kardinalitesi) 3’tür, yani s(A) = 3.
• B Kümesi:
- Elemanları harflerden oluşmaktadır: a, b, c ve d.
- Eleman sayısı (kardinalitesi) 4’tür, yani s(B) = 4.
A ve B kümelerinin elemanları birbirinden tamamen farklı tipte sembollerdir (birinde şekiller, diğerinde harfler). Bu farklılık kesişim incelemesinde önemli bir ipucu olacaktır.
3. Seçeneklerin İncelenmesi
Soruda, “A ve B kümeleriyle ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?” deniliyor. Şıklarımız şöyle:
- A) A ∩ B = ∅
- B) s(A ∪ B) = 7
- C) s(B) = 4
- D) a ∈ A
Şimdi her birini tek tek analiz edelim.
A) A ∩ B = ∅
Kesişim (Intersection) iki kümede ortak olan elemanları içerir. A kümesinin elemanları şekillerdir: ▲, ■, ★. B kümesinin elemanları ise harfler: a, b, c, d.
Bu iki kümenin hiçbir ortak elemanı olmadığından, kesişimleri:
Şekiller kümesi ile harfler kümesi arasında kesişim yoktur. Dolayısıyla A ∩ B = ∅ ifadesi doğrudur.
B) s(A ∪ B) = 7
Birleşim (Union) iki kümenin tüm elemanlarını kapsar. Dolayısıyla
A kümesi 3 elemanlı, B kümesi 4 elemanlı ve bu iki kümeyi birleştirdiğimizde toplam 7 farklı eleman oluşur:
Bu 7 elemanın tamamı birbirinden farklıdır. Herhangi bir “tekrarlanan” eleman yoktur. Dolayısıyla birleşim kümesinin eleman sayısı 7’dir ve ifade doğrudur.
C) s(B) = 4
B kümesinin tanımından biliyoruz ki B = {a, b, c, d} şeklindedir. Bu kümede “a, b, c, d” olmak üzere toplam 4 eleman vardır. Dolayısıyla s(B) yani B kümesinin eleman sayısı 4’tür. Bu ifade de doğrudur.
D) a ∈ A
Bu ifade, “a harfi A kümesinin bir elemanıdır” şeklinde okunur. Ancak:
- A = {▲, ■, ★}
- B = {a, b, c, d}
Görüldüğü üzere a sembolü A kümesinde değil, B kümesindedir. Dolayısıyla a ∈ A ifadesi bir gerçeği yansıtmamaktadır, yani yanlıştır.
4. Detaylı Açıklama: Kesişim, Birleşim ve Eleman Kavramları
Bu soruda en kritik nokta, A kümesinin içerdiği nesneler ile B kümesinin içerdiği nesneler arasındaki farkı net biçimde görebilmektir. Birinde geometrik şekiller (▲, ■, ★), diğerinde ise Latin alfabesinin harfleri (a, b, c, d) bulunur.
- Kesişim (A ∩ B): Ortak eleman olup olmadığına bakarız. Bu örnekte ortak eleman yoktur.
- Birleşim (A ∪ B): İki kümenin elemanlarının hepsini yazarız. Ortak eleman olsaydı, onu sadece bir kez hesaplardık. Bu örnekte ortak olmadığı için toplamdaki eleman sayısı: s(A) + s(B) = 3 + 4 = 7.
- Eleman Sayısı (s(A)), s(B): A için 3, B için 4 olduğu zaten doğrudan tanımından bellidir.
- Eleman Olma (x ∈ A): x, A kümesinde olup olmadığını ifade eder. a harfinin A’da olmadığı açıkça görülür.
Dolayısıyla tek çelişkili (yanlış) ifade “a ∈ A” şeklindedir.
5. Sorunun Çözümüne Giderken Uyguladığımız Adımlar
- Küme Tanımlarını İnceleme: A ve B kümelerinin tek tek verilen elemanları incelenir.
- Kesişimi Kontrol Etme: A ∩ B’de ortak eleman var mı diye bakarız. Şekiller ile harfler tamamen farklı tipte simgeler olduğundan kesişimin boş küme olduğunu görürüz.
- Birleşimi Kontrol Etme: Ortak eleman olmadığı için eleman sayısı s(A) + s(B) = 3 + 4 = 7 elde edilir.
- Eleman Sayısı Kontrolü: B kümesinin eleman sayısın 4 olup olmadığı teyit edilir (evet, B = {a, b, c, d}).
- Şıkların Karşılaştırılması: Her bir ifadenin doğruluğu tek tek kontrol edilir. Yanlış olanın “D) a ∈ A” olduğu belirlenmiştir.
Bu adımlar sayesinde kolaylıkla sorumuzun doğru yanıtının D şıkkı olduğu ortaya çıkar.
6. Örnek Benzer Sorular ve Çözümler
Konuyu daha iyi pekiştirebilmek için benzer mantığa sahip birkaç örnek:
-
Örnek 1:
- C = {1, 2, 3}, D = {2, 3, 4}
- a) s(C ∪ D) kaçtır?
- b) C ∩ D kümesinde hangi elemanlar vardır?
Çözüm:
- a) C ∪ D = {1, 2, 3, 4}, dolayısıyla s(C ∪ D) = 4.
- b) C ∩ D = {2, 3} çünkü ortak elemanlar 2 ve 3’tür.
-
Örnek 2:
- E = {x, y}, F = {y, z}
- a) E ∩ F ?
- b) E ∪ F ?
Çözüm:
- E ∩ F = {y} (ortak eleman y)
- E ∪ F = {x, y, z}
-
Örnek 3:
- G = {kare, üçgen}, H = {kare, dikdörtgen}
- G ∩ H = {kare}
- s(G ∪ H) = 3 (kare, üçgen, dikdörtgen)
Bu örneklerde gördüğümüz gibi, kesişim ve birleşim kavramları, kümelerin ortak ve farklı elemanlarına bağlı olarak değişiklik gösterir. Eğer ortak eleman yoksa kesişim boş küme olur ve birleşim eleman sayısı toplamları olur.
7. Tablo ile Özet
Aşağıdaki tabloda, sorudaki A ve B kümeleriyle ilgili kritik noktaları özetledik:
| Küme Adı | Elemanlar | Eleman Sayısı (s) | Açıklama |
|---|---|---|---|
| A | {▲, ■, ★} | 3 | Üç farklı geometrik şekil |
| B | {a, b, c, d} | 4 | Dört farklı harf |
| A ∩ B | ∅ | 0 | A ve B’nin ortak elemanı yoktur |
| A ∪ B | {▲, ■, ★, a, b, c, d} | 7 | İki kümenin tüm elemanlarından oluşur; her eleman tekil kez sayılır |
| Eleman Bağı | D) a ∈ A? | Yanlış | a, B kümesinin elemanıdır; A’ya ait değildir |
Görüldüğü gibi tablo bize en kritik bilgileri net biçimde sunar: Kesişim boş kümedir, birleşim 7 elemana sahiptir, B’nin eleman sayısı 4’tür ve “a” harfi A kümesine değil B kümesine aittir.
8. Sonuç ve Özet
• A ∩ B = ∅ ifadesinde bir sorun yok; şekille harf arasında ortak sembol yok.
• s(A ∪ B) = 7 ifadesi doğrudur, çünkü 3 + 4 = 7.
• s(B) = 4 ifadesi yine doğru, B = {a, b, c, d} dört eleman içerir.
• D) a ∈ A ifadesi yanlıştır, çünkü “a” harfi seti B’de, A kümesinin sembolleri ise tamamen farklıdır.
Dolayısıyla yanıt: D şıkkı (“a ∈ A”) yanlıştır.
@anonymous
3. A={▲, ■, ★}, B={a, b, c, d} Buna göre A ve B kümeleriyle ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Answer:
1. A ∩ B = ∅
- A kümesinde {▲, ■, ★} şekiller, B kümesinde ise {a, b, c, d} harfler bulunmaktadır. Üyeler ortak olmadığı için A ∩ B = ∅ ifadesi doğrudur.
2. s(A ∪ B) = 7
- A ve B’nin birleşimi A ∪ B = {▲, ■, ★, a, b, c, d} görevini görür. Toplam 7 eleman vardır, bu ifade de doğrudur.
3. s(B) = 4
- B kümesi {a, b, c, d} şeklindedir ve 4 elemandan oluşur. Bu ifade doğrudur.
4. a ∈ A
- “a” harfi B kümesinde bulunur, A kümesinde ise ▲, ■, ★ vardır. Dolayısıyla “a” A kümesinin elemanı değildir. Bu ifade yanlıştır.
Bu nedenle yanlış olan seçenek D’dir.