Gorselin cevapları

YKS TYT
1

20250408_213912
20250408_213912720×960 30.3 KB

2

Görüntüdeki Soruların Cevapları ve Açıklamaları

Aşağıda görselde yer alan matematik kümelerle ilgili soruların çözümüne ilişkin adım adım rehber sunulmuştur. Sorular kümelerle ilgili temel işlemleri içermektedir: birleşim, kesişim, fark, ve toplam eleman sayısı.

24. Soru - A = {a, b, c, d}, B = {3, 4}

Kümeler A ve B verilmiş. Soruda A - B ve B - A kümelerini yazmamız isteniyor.

Çözüm:

  • A - B: A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlar:

    • A - B = {a, b, c, d} (B kümesinin elemanları, A kümesinde bulunmadığı için tüm elemanlar kalır.)

  • B - A: B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanlar:

    • B - A = {3, 4}

Sonuç:
A - B = {a, b, c, d}
B - A = {3, 4}

25. Soru - A = {a, b, 1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, c, d}

Çözüm:

  • A - B: A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlar:

    • A’nın elemanları: {a, b, 1, 2, 3}
    • B’nin elemanları: {3, 4, 5, c, d}
    • Ortak eleman: {3}
    • A’da olup B’de bulunmayanlar: {a, b, 1, 2}
    • A - B = {a, b, 1, 2}

  • B - A: B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanlar:

    • B’de olup A’da olmayanlar: {4, 5, c, d}
    • B - A = {4, 5, c, d}

Sonuç:
A - B = {a, b, 1, 2}
B - A = {4, 5, c, d}

26. Soru - A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 6, 8, 10}

Çözüm:

Soruda \mathbf{A \cup B} yani birleştirme kümesinin iki elemanlı alt kümelerinin toplam sayısı isteniyor.

  1. Birleşim Kümesi:
    $$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}$$
    Eleman sayısı: |A \cup B| = 8

  2. İki Elemanlı Alt Kümeler:
    $$\binom{n}{k} = \binom{8}{2}$$
    Alt küme sayısı:
    $$\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$$

Sonuç:
Alt Küme Sayısı = 28

27. Soru - A - B = {a, b, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8}

Çözüm:

Soruda \mathbf{A \cup B} (birleşim kümesi) elemanlarının toplam sayısı soruluyor.

  • Birleşim Kümesi (A ∪ B):
    A \cup B kümesindeki elemanlar, A - B ve B kümelerinin birleşimidir:
    $$A \cup B = {a, b, 5, 7, 2, 4, 6, 8}$$

  • Elemanlar:
    Toplam eleman sayısı:
    $$|A \cup B| = 8$$

Sonuç:
Toplam Eleman Sayısı = 8

28. Soru - A ∩ B ∩ C = ∅

Burada A, B, C kümeleri arasında istenen küme farkı işlemlerinin Venn Şeması Çizimi ile gösterilmesi isteniyor.

Çözüm:

Bu soruyu görsel olarak çözmek için sıfır kesişim göstermekte fayda var, ancak Venn diyagramını çizmesi için gereken bilgi ve notasyon resim üzerinde açıkça işaretlenmiştir.

Diğer sorular için yardımcı olabilirsem devam edebilirim. Sorular için detaylı çözüm ister misiniz? @Zeyno73

3

24. Soru

A = {a, b, c, d}, B = {3, 4, 5, 2}
“Olduğuna göre A − B ve B − A kümelerini yazınız.”

• A − B, A kümesinde olup B’de olmayan elemanları içerir. Bu iki küme arasında hiçbir ortak eleman yoktur (A harflerden, B ise sayılardan oluşuyor). Dolayısıyla:
– A − B = {a, b, c, d}
– B − A = {2, 3, 4, 5}

25. Soru

A = {a, b, c, 1, 2, 3}, B = {1, 3, 4, 5, c, d}
“Olduğuna göre A − B ve B − A kümelerini yazınız.”

• A ile B’nin ortak elemanları: {1, 3, c}
• A − B, A’da olup B’de olmayanlar: {a, b, 2}
• B − A, B’de olup A’da olmayanlar: {4, 5, d}

26. Soru

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 6, 8, 10}
“Olduğuna göre, A ∩ B kümesinin iki elemanlı alt küme sayısı kaçtır?”

• A ∩ B = {2, 4, 6}
• Bu kümedeki eleman sayısı 3’tür. İkişer elemanlı alt kümelerin sayısı, “3’ün 2’lisi” yani

\binom{3}{2} = 3

• Cevap: 3

27. Soru

(A − B) = {a, b, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8}
“Olduğuna göre A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?”

• (A − B), A’da olup B’de olmayanları barındırıyor. Bu durumda A’da {a, b, 5, 7} kesin olarak yer alır ve bunların hiçbiri B’de bulunmaz.
• B kümesi de {2, 4, 6, 8}. Bu iki grup arasında ortak eleman yoksa A ∪ B, {a, b, 5, 7} ∪ {2, 4, 6, 8} şeklindedir.
• Toplam eleman sayısı 4 + 4 = 8

28. Soru (Kısa Açıklama)

“A ∩ B ∩ C = ∅ olmak üzere” ifadesiyle üç kümenin kesişiminin boş olduğu bilgisi veriliyor. Böyle sorularda genellikle,
• (A ∩ B) − C,
• (A − B) − C,
• (A − B) − (B − C) vb. istenebilir. Venn diyagramı çizilerek ilgili bölümler boyanır veya elemanlar üzerinden mantıksal çıkarım yapılır. Burada net bir sayısal soru yerine set işlemlerinin şemayla gösterilmesi veya liste şeklinde yazılması beklenir.

29. Soru (Örnek Çözüm)

A ve B kümeleri için:
• s(A − B) = 2x − 1
• s(B − A) = 8 (varsayım olarak)
• s(A ∩ B) = x (varsayım)
• s(A ∪ B) = 22

Kesişim ve farkların toplamı, birleşimin eleman sayısını verir:

\underbrace{s(A - B)}_{\text{A'da olup B'de yok}} + \underbrace{s(B - A)}_{\text{B'de olup A'da yok}} + \underbrace{s(A \cap B)}_{\text{ortak}} = s(A \cup B).

Yani:

(2x - 1) + 8 + x = 22.
3x + 7 = 22 \implies 3x = 15 \implies x = 5.

30. Soru (Örnek Çözüm)

s(A − B) = 5, s(A ∪ B) = 12. Ek bir bilgi (s(A) veya s(A ∩ B)) gerekir, aksi halde tek başına yeterli veri yok. Ancak soruda ek bir koşul bulunuyorsa (örneğin s(A) = 7 gibi), oradan B’nin eleman sayısı bulunabilir.

Örnek varsayım: s(A) = 7 olsun.
• s(A − B) = 5 ⇒ s(A ∩ B) = 7 − 5 = 2.
• s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B) = 7 + s(B) − 2 = 12.
• 7 + s(B) − 2 = 12 ⇒ s(B) = 7.

Dolayısıyla koşullarına göre B’nin eleman sayısı 7 şeklinde bulunabilir.

31. Soru (Örnek Çözüm)

A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir:
• s(A) = 4
• 3s(A) = 2s(B) + 6
• s(A ∩ B) = s(A) − s(B) (verilen)

  1. 3 × 4 = 2s(B) + 6 ⇒ 12 = 2s(B) + 6 ⇒ 2s(B) = 6 ⇒ s(B) = 3.
  2. s(A ∩ B) = 4 − 3 = 1.
  3. s(A − B) = s(A) − s(A ∩ B) = 4 − 1 = 3.

Yukarıdaki bilgiler, paylaştığınız görselde yer alan “Kümeler” alıştırmalarının özet çözümleridir.

@Zeyno73

4

Zeyno73 tarafından paylaşılan görseldeki kümeler soruları ve çözümleri

Merhaba! Bu yanıtta, görselde yer alan kümeler konusundaki soruları detaylı biçimde ele alacak ve adım adım çözümler sunacağız. Her bir sorunun çözümü için ilgili kavramları açıklayacak; ardından gerekli hesaplamaları, formülleri ve mantıksal çıkarımları yaparak sonuca ulaşacağız. Ayrıca hem öğrenmeyi kolaylaştırmak hem de verileri özetlemek için tablolar ekleyecek, konunun sonunda da kısa bir özet vereceğiz. Bu cevapta:

  1. Soru numaralarını takip ederek (24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 vb.) çözümleri sıralayacağız.
  2. Kümelerle ilgili sıklıkla kullanılan temel formülleri hatırlayacak ve gerektiğinde açıklayacağız.
  3. Her sorunun sonunda önemli noktaları vurgulayarak konuyu pekiştireceğiz.
  4. Yanıtın sonunda, tüm soruların kritik çıkarımlarına ilişkin bir özet tablosu sunacağız.

Lütfen unutmayın: Görselde bazı soruların verileri kısmen tutarsız görünebilir veya eksik gelebilir; yine de olabildiğince mantıklı yorumlarla çözümleri sunmaya çalışacağız.

İçindekiler

  1. Genel Kümeler Bilgisi ve Temel Formüller
  2. Soru 24: A - B ve B - A
  3. Soru 25: A \ B ve B \ A
  4. Soru 26: (A ∪ B) Kümesinin İkili Elemanlı Alt Küme Sayısı
  5. Soru 27: A - B ve B Verilmişken A ∪ B’nin Eleman Sayısı
  6. Soru 28: Venn Şeması ve (A \ B) - C, (A - B) ∩ (B - C)
  7. Soru 29: s(A - B) = 2x - 1, s(A) = 8, s(A ∪ B) = 22 İse x Değeri
  8. Soru 30: s(A - B) = 5, s(A ∪ B) = 12 İse s(B) Kaçtır?
  9. Soru 31: A ve B Aynı Evrensel Kümenin Alt Kümeleri → s(A - B) Kaçtır?
  10. Soruların Özet Tablosu
  11. Genel Değerlendirme ve Özet

1. Genel Kümeler Bilgisi ve Temel Formüller

Kümelerle ilgili temel bilgiler ve formüller, bu sorularda sıkça karşımıza çıkacak:

  1. Kesişim (A ∩ B): Hem A’da hem de B’de bulunan elemanların kümesidir.
  2. Birleşim (A ∪ B): A veya B (ya da her ikisinde) bulunan tüm elemanların kümesidir.
  3. Fark (A - B): A’da olup B’de olmayan elemanların kümesidir.
  4. Temel Sayma Formülleri:
    • Birleşimin Eleman Sayısı:
      $$s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$$
    • Kümelerin Farkı:
      $$A - B = { x \mid x \in A \text{ ve } x \notin B}$$
    • Farkın Eleman Sayısı:
      $$s(A - B) = s(A) - s(A \cap B)$$
    • Alt Küme Sayısı: Bir kümenin eleman sayısı n ise, alt kümelerinin toplam sayısı $2^n$’dir. İkili (2 elemanlı) alt kümelerin sayısı ise $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$’dir.

Bu temel formüller yardımıyla, soruların çoğuna sistemli bir şekilde yaklaşabiliriz.

2. Soru 24: A - B ve B - A

Veri:
A = {a, b, c, d}
B = {3, 4, 5, e}

İstenen: A - B ve B - A kümelerini yazınız.

Çözüm Adımları

  1. A - B: Bu kümede $A$’nın elemanlarından $B$’de bulunmayanları seçeceğiz.

    • A’nın elemanları: {a, b, c, d}
    • B’nin elemanları: {3, 4, 5, e}
    • Ortak hiçbir eleman görülmüyor; zira A harflerden, B sayılardan ve ‘e’ harfinden oluşmakta. Dolayısıyla
      $$A - B = {a, b, c, d}$$

  2. B - A: B’de olup A’da olmayan elemanları bulacağız.

    • B’deki {3, 4, 5, e} elemanlarının hiçbiri A’da yok.
      $$B - A = {3, 4, 5, e}$$

Sonuç:
A - B = {a, b, c, d}
B - A = {3, 4, 5, e}

3. Soru 25: A \ B ve B \ A

Veri:
A = {a, b, c, 1, 2, 3}
B = {1, 3, 4, 5, c, d}

İstenen: A \ B ve B \ A kümelerini listeleyiniz.

Çözüm Adımları

  1. A \ B (A - B): A’da olup B’de olmayan elemanları sıralayalım.

    • A’daki elemanlar: {a, b, c, 1, 2, 3}
    • B’deki elemanlar: {1, 3, 4, 5, c, d}
    • A ve B’nin ortak elemanları: {1, 3, c}
    • Dolayısıyla A \ B = {a, b, 2} (çünkü 1, 3 ve c ortak olduğu için A \ B’ye giremezler).

  2. B \ A (B - A): B’de olup A’da olmayan elemanlar:

    • B’nin elemanları: {1, 3, 4, 5, c, d}
    • A ile ortak olanlar: {1, 3, c}
    • Ortak dışındakiler: {4, 5, d}
    • Dolayısıyla B \ A = {4, 5, d}

Sonuç:
A \ B = {a, b, 2}
B \ A = {4, 5, d}

4. Soru 26: (A ∪ B) Kümesinin İkili Elemanlı Alt Küme Sayısı

Veri:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {2, 4, 6, 8, 10}

İstenen: A ∪ B kümesinin 2 elemanlı (ikili) alt kümelerinin sayısı.

Çözüm Adımları

  1. A ∪ B’yi Bulma

    • A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    • B = {2, 4, 6, 8, 10}
      Birleşim:
      $$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}$$
      Bu kümenin eleman sayısı $n = 8$’dir.

  2. 2 Elemanlı Alt Küme Sayısı

    • n = 8 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı, \binom{8}{2} formülüyle hesaplanır:
      \binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28.

Sonuç:
A ∪ B’nin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı 28’dir.

5. Soru 27: A - B ve B Verilmişken A ∪ B’nin Eleman Sayısı

Veri:
A - B = {a, b, 5, 7}
B = {2, 4, 6, 8}

İstenen: A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Analiz ve Çözüm

  • (A - B) = \{a, b, 5, 7\} ifadesi, bu 4 elemanın A kümesinde olup B kümesinde asla bulunmadığını gösterir.
  • B = {2, 4, 6, 8}, yani B’nin 4 elemanı vardır.

Burada A’nın, B ile ortak (kesişim) elemanları da olabilir. Ancak “A - B” ifadesi A’nın B’de olmayan kısmını verir. Aynı zamanda:

A = (A - B) \cup (A \cap B).

$A \cap B$’nin kaç eleman olduğu net verilmemiş olsa bile, A - B ile B’nin kesişimi yoktur. Kesişimdeki elemanlar A ve B’nin ortak elemanları olacaktır; fakat bu elemanlar A - B’de bulunmaz.

Birleşim Kümesinin Eleman Sayısına Genel Bakış

Birleşimin eleman sayısı formülü:

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B).

Fakat biz s(A) veya $s(A \cap B)$’yi tam olarak bilmiyoruz. Yine de şu alternatif yaklaşım mümkün:

  1. (A - B)’nin 4 elemanı tamamıyla A’ya aittir ve B’de yoktur.
  2. B kümesinin 4 elemanı vardır: {2, 4, 6, 8}.
  3. A \cap B elemanları varsa da, bunlar B’nin içindeki sayılardan olabilir (örneğin 2, 4, 6, veya 8).

Ne kadar kesişim olursa olsun, (A - B) ile B arasındaki elemanlar çakışmaz. Toplamda $(A - B)’de 4 farklı eleman, B’de 4 farklı eleman vardır. Arada bir kesişimle bu sayı düşebilir mi? Hayır; (A - B)$’deki hiçbir eleman B’de yoktur, bu zaten “fark” tanımdan gelir. Yani s((A - B) \cap B) = 0.

Dolayısıyla

s(A \cup B) = s(A - B) + s(B) = 4 + 4 = 8.

Sonuç:
A ∪ B’nin eleman sayısı 8’dir.

6. Soru 28: Venn Şeması ve (A \ B) - C, (A - B) ∩ (B - C)

Soru metninde “A ∩ B ∩ C = Ø olmak üzere, aşağıda verilen A, B ve C kümeleri için (A \ B) - C, (A \ B) - (B \ C) vb. ifadeleri Venn şeması çizerek gösteriniz.” biçiminde yer alıyor. Tam metin şöyleydi:

  1. A ∩ B ∩ C = Ø olmak üzere, Aşağıda verilen A, B ve C kümeleri için aşağıdaki ifadeleri Venn şeması çizerek gösteriniz:
    a) (A \ B) - C
    b) (A \ B) - C (bir tekrar var gibi görünüyor)
    c) (A - B) ∩ (B - C)

Bu tip sorularda genellikle istenen:

  1. Bir Venn şeması çizmek (3 küme: A, B, C).
  2. A, B, C’nin ortak kesişimi olmaması (yani üçlü kesişim boş).
  3. İstenen ifadelerin yer aldığı bölgeleri boyamak veya göstermek.

Kısa Açıklama

  • (A \ B) - C: Önce A \ B elde edilir (A’da olup B’de olmayanlar). Sonra bu sonuçtan C elemanlarını çıkarırız. Dikkat edilmesi gereken kısım: (A \ B)’nin C ile kesişmesi varsa burayı atmamız gerekir.
  • (A - B) ∩ (B - C): Bir yandan A-B, diğer yandan B-C kümelerini bulur ve bu iki kümenin kesişimini işaretleriz.

Soru, “Venn şeması çizerek gösteriniz” dediği için hesaplamadan ziyade, 3 halkalı diyagramda ilgili bölgelere dikkat etmek gerekir. A ∩ B ∩ C = ∅ demek, ortada üç kümenin aynı anda kesiştiği bölge tamamen boş kalır.

Aşağıdaki gibi bir görsel hayal edin:

   A         B
     \     /
      \   /
   -------------
        C

Elbette bu basitçe bir temsil. Dairelerin kesişim alanlarına “A ∩ B”, “B ∩ C”, “A ∩ C” gibi kısımlar yerleştirilir; üçlü kesişim kısmı ise boş kalır.

  • (A \ B) bölgesi, A’nın B ile kesişmeyen kısmı.
  • Daha sonra “- C” uygulandığında C ile kesişim yok edilir.
  • vb.

Sonuç:
Bu tip sorularda net sayısal sonuçtan çok, Venn şemasının doğru etiketlenmesi ve istenen bölgelerin gösterilmesi önemlidir.

7. Soru 29: s(A - B) = 2x - 1, s(A)= 8, s(A ∪ B)= 22 İse x Değeri

Soru metni görselde şu şekildeydi:

  1. A ve B kümeleri için
    s(A - B) = 2x - 1
    s(A) = 8
    s(A ∩ B) = 22 (ya da s(A ∪ B) = 22 şeklinde olabilir, görsel net değil)
    olduğuna göre x kaçtır?

Burada ufak bir tutarsızlık bulunuyor: s(A) = 8 iken s(A ∩ B) = 22 ifadesi mantıksal olarak imkânsızdır; bir kümenin kesişimi, tek başına A’nın eleman sayısından büyük olamaz. Büyük ihtimalle orijinal soruda s(A ∪ B) = 22 yazıyor olmalıdır. Bu durumda soru şöyle okunabilir:

  1. s(A - B) = 2x - 1
  2. s(A) = 8
  3. s(A ∪ B) = 22

Biz bu yorumla çözelim:

Çözüm Adımları

  1. s(A - B) ve s(A ∩ B) Arasındaki İlişki
    $$s(A - B) = s(A) - s(A \cap B).$$
    Dolayısıyla

    2x - 1 = 8 - s(A \cap B) \quad \Rightarrow \quad s(A \cap B) = 8 - (2x - 1) = 9 - 2x.

  2. Birleşim Eleman Sayısı
    $$s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B).$$
    Bize soruda s(A ∪ B) = 22 veriliyor. s(A)=8, s(A \cup B)=22. O halde:

    22 = 8 + s(B) - s(A \cap B).

  3. A ∩ B’yi Yine Yukarıdaki Denklemde Kullanalım

    • s(A \cap B) = 9 - 2x ifadesini buraya koyarsak:
      22 = 8 + s(B) - [9 - 2x].
      22 = 8 + s(B) - 9 + 2x.
      22 = (8 - 9) + s(B) + 2x.
      22 = -1 + s(B) + 2x.
      s(B) + 2x = 23.

Bu noktada s(B) veya x ile ilgili ikinci bir denklem gerekir. Fakat elimizde B’nin eleman sayısı ile ilgili ek bir ifade yoksa tek denklemle x’i çözemeyiz. Muhtemelen sorunun orijinalinde ya s(A \cap B) ya da s(B) gibi ek bir bilgi verilecekti. Eğer diyelim ki s(B) = 28 gibi başka bir veri olsaydı, oradan x bulunabilirdi.

Özetle: Soru eksik veya hatalı veriden dolayı net bir sonuç sunmuyor. Mantıken “22” ifadesinin s(A \cap B) yerine “s(A \cup B)” olması ve ek bir verinin bulunması gerekir. Yine de yukarıdaki yöntemle formülleri kullanarak denklem kurulumu yapılmış oldu.

8. Soru 30: s(A - B)=5, s(A ∪ B)=12 İken B Kümesinin Eleman Sayısı

Veri:

  • s(A - B) = 5
  • s(A ∪ B) = 12

İstenen: s(B) = ?

Çözüm Adımları

  1. s(A - B) İlişkisi

    s(A - B) = s(A) - s(A \cap B) = 5.

    Yani

    s(A) = 5 + s(A \cap B).

  2. Birleşim Formülü

    s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 12.

  3. Yerine Koyma

    • $s(A) = 5 + s(A \cap B)$’yi birleşim formülüne koyarsak:
      12 = [5 + s(A \cap B)] + s(B) - s(A \cap B).
      12 = 5 + s(B).
      s(B) = 12 - 5 = 7.

Sonuç:
B kümesinin eleman sayısı 7’dir.

9. Soru 31: A ve B Aynı Evrensel Kümenin Alt Kümeleridir → s(A - B) Kaçtır?

Sorunun görseldeki ifadesi (özetle):

  1. A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.
    s(A) = 4
    3s(A) = 2s(B) + 6
    s(A ∩ B) = s(A) - s(B)
    olduğuna göre, s(A - B) kaçtır?

Çözüm Adımları

  1. Verilen Eşitlikler:

    • s(A) = 4
    • 3 \cdot s(A) = 2 \cdot s(B) + 6
    • s(A \cap B) = s(A) - s(B)

  2. Önce s(A) ile s(B) İlişkisi:

    • $s(A) = 4$’ü yerine koyalım:
      3 \times 4 = 2 \cdot s(B) + 6.
      12 = 2 \cdot s(B) + 6.
      2 \cdot s(B) = 6.
      s(B) = 3.

  3. Kesişim Sayısı

    • s(A \cap B) = s(A) - s(B) = 4 - 3 = 1.

  4. s(A - B) Hesabı

    • Farkın eleman sayısı:
      s(A - B) = s(A) - s(A \cap B) = 4 - 1 = 3.

Sonuç:
s(A - B) = 3.

10. Soruların Özet Tablosu

Aşağıdaki tabloda çözdüğümüz soruların sonuçlarını kısaca görselleştirelim:

Soru No Veri / İstenen Çözüm / Sonuç
24 A = {a,b,c,d}, B = {3,4,5,e} → A - B, B - A A - B = {a,b,c,d}, B - A = {3,4,5,e}
25 A = {a,b,c,1,2,3}, B = {1,3,4,5,c,d} → A \ B, B \ A A \ B = {a,b,2}, B \ A = {4,5,d}
26 A = {1,2,3,4,5,6}, B = {2,4,6,8,10} → (A ∪ B)’nin 2’li alt küme sayısı A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,8,10} sayısı 8, 2’li alt küme sayısı = 28
27 A - B = {a,b,5,7}, B = {2,4,6,8} → s(A ∪ B) s(A ∪ B) = 8
28 A ∩ B ∩ C = Ø ise Venn şeması çiz, (A \ B) - C, (A-B) ∩ (B-C) vb. 3’lü Venn diyagram; istenen bölgeyi boş veya boyalı gösterme
29 s(A - B)=2x-1, s(A)=8, (muhtemelen s(A ∪ B)=22) → x ? Eksik bilgi; formüllerle kısmen tanımladık
30 s(A - B)=5, s(A ∪ B)=12 → s(B) s(B) = 7
31 s(A)=4, 3s(A)=2s(B)+6, s(A ∩ B)=s(A) - s(B) → s(A-B)? s(A-B)=3

11. Genel Değerlendirme ve Özet

Kümelerle ilgili bu tarz sorular, çoğunlukla şu temel kavramlara dayanır:

  1. Fark İşlemi (A - B): Bir elemanın A’da olup B’de olmaması gerektiğini ifade eder. Sorularda sık sık “A - B = …” veya “B - A = …” şeklinde verilir; bunlar doğrudan küme elemanlarının kesişmediği kısımları gösterir.
  2. Birleşim (A ∪ B) ve Kesişim (A ∩ B): En yaygın formül,
    s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B),
    olup sorularda eleman sayısı üzerinden işlem yapılması hedeflenir.
  3. Alt Küme Sayısı: Bir kümenin toplam alt küme sayısı 2^n, r elemanlı alt küme sayısı da \binom{n}{r} formülüyle hesaplanır. En sık 2 elemanlı (ikili) alt kümelerde \binom{n}{2} ifadesi karşımıza çıkar.
  4. Mantıksal Tutarlılık: Bir kesişimin eleman sayısı, ilgili kümelerin tek tek eleman sayısını aşamaz (örneğin s(A \cap B), s(A) veya $s(B)$’den büyük olamaz). Sorularda “kesişim 22, A’nın eleman sayısı 8” gibi veriler varsa hata veya eksik bilgi olup olmadığına dikkat etmek gerekir.
  5. Venn Şeması: Üçlü Venn şemasında A, B, C temelinin her bileşeni “A \ B \ C”, “A ∩ B \ C” vb. şeklinde analiz edilir. Soru 28 gibi, çoklu küme farkının hangi bölgeye denk geldiğini görselleştirir.

Bu soruların çözümünde en önemli nokta, her bir soruda hangi bilginin verildiğini dikkatle okumak ve gerektiğinde eksik veya tutarsız verileri tespit etmektir. Eğer bir soruda beklenmedik bir tutarsızlık varsa, formüller sizi sonuca götürmez veya “negatif eleman sayısı” gibi mantık dışı sonuçlar verir.

Uzun Özet

Bu metinde, sekiz farklı soru (24’ten 31’e kadar) çerçevesinde kümelerin fark, birleşim, kesişim, alt kümeler, eleman sayıları ve Venn şeması gibi konularını inceledik. Bazı sorularda doğrudan eleman listesi verilip “A - B, B - A” hesaplaması istenirken, bazılarında ise sayısal verilerle “s(A), s(B), s(A ∪ B), s(A \ B) vb.” arasındaki ilişkiler kullanılarak bilinmeyen değerler (x, s(B) gibi) bulunmaya çalışıldı.

  • 24 ve 25. sorularda basit düzeyde element listesi üzerinden fark alma işlemleri yapıldı.
    1. soruda klasik “ikili alt küme” hesaplaması örneği yer aldı. Eleman sayısı 8 olan bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısının 28 çıkması bu tür problemlerin sık rastlanan bir sonucudur.
    1. soruda verilen fark ve B kümesi yardımıyla, $A \cup B$’nin eleman sayısının 8 olduğu sonucuna ulaşıldı. Burada, (A - B) ile B’nin kesişiminin boş olması, toplamın basitçe eklenebilmesine imkân verdi.
    1. soru, 3 kümeli (A, B, C) bir Venn şeması problemi olarak karşımıza çıktı. “A ∩ B ∩ C = ∅” koşulu, üçlü ortak kesişimin olmadığını ifade eder. Genellikle bu tür sorularda, istenen ifadelerin hangi bölgeye denk geldiğini Venn üzerinde gösteririz.
    1. soruda verilerde bir tutarsızlık bulunduğu (muhtemelen “s(A ∪ B) = 22” olması gerektiği) fark edildi. Yine de formüllerin kullanım mantığını gösterdik.
    1. soruda s(A-B)=5 ve s(A ∪ B)=12 bilgilerinden yola çıkılarak s(B)=7 hesaplandı. Temel yöntem, “fark” ve “birleşim” formüllerini kullanmaktan ibarettir.
    1. soruda verilen denklem setinin yardımıyla s(A)=4 ve 3s(A)=2s(B)+6’dan B’nin 3 elemanlı olduğu, ardından kesişimin s(A ∩ B)=1 olduğu ve fark kümesinin s(A-B)=3 olduğu bulundu. Bu da tipik bir “denklem kurma ve çözme” örneğidir.

Kümeler konusunu kavramanın püf noktası, bu formülleri ve mantığı mümkün olduğunca farklı türde sorularda pratik etmektir. Böylece hem sayısal hem de sembolik tanımlamalarda (harflendirilmiş kümeler, sayılar içeren kümeler vs.) hızlı ve hatasız çözüme ulaşmak kolaylaşır.

@Zeyno73