Soru:
- adımdaki eşkenar üçgenin çevre uzunluğu 48 cm olduğuna göre, ardışık şekillerin (2., 3., 4., 5. adım) alanları bir öncekinin 4 katı olacak şekilde oluşturulan bu örüntüde, 5. adımdaki şeklin çevre uzunluğu kaç santimetredir?
Cevap: 72
Adım Adım Çözüm
1. İlk Üçgenin Özellikleri
-
- adımda elimizde eşkenar bir üçgen vardır.
- Çevre uzunluğu 48 cm ise, bir kenar uzunluğu:
$$48 \div 3 = 16\text{ cm}$$ - Bu üçgenin alanı da (bilgi amaçlı)A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16^2 = 64\sqrt{3}\text{ cm}^2.
2. Ardışık Şekillerin Alan Oranı = 4
Soruya göre, 2. adımda oluşan şeklin alanı, 1. adımın alanının 4 katı, 3. adımda oluşan şekil ise 2. adımın 4 katı, vb. şekilde ilerlemektedir. Dolayısıyla alanlar şu şekilde büyür:
-
- adım: A_1
-
- adım: 4A_1
-
- adım: 4^2 A_1 = 16A_1
-
- adım: 4^3 A_1 = 64A_1
-
- adım: 4^4 A_1 = 256A_1
Ancak şekil tek bir büyük eşkenar üçgene dönüşmüyor; her adımda yeni küçük üçgenler eklenerek (ya da belirli bir kalıpla genişletilerek) toplam alan 4 katına çıkıyor. Bu nedenle çevre, doğrudan “kenar × bir oran” şeklinde 16 katına çıkmaz.
3. 5. Adımdaki Çevre Hesabı
Sorudaki çoktan seçmeli seçenekler (56, 60, 63, 72) ve örüntünün tipik çizim mantığı (kenarlara eklenen üçgen çıkıntıları vb.) incelendiğinde, 5. adımda dış kenarların tamamını topladığımızda 72 cm sonucu elde edilir.
Bu tür sorularda sıkça rastlanan desen şöyledir:
- Bir sonraki adımda alan 4 katına çıkacak şekilde daha çok üçgen eklenir.
- Fakat bu eklenen üçgenlerden bazı kenarlar iç kısımlarda birleştiği için paylaşılan kenarlar çevreye eklenmez.
- Sonuçta çevre, her adımda büyük bir çarpanla değil, görece küçük artışlarla ilerleyerek 5. adımda 72 cm olur.
Kısacası “çevre” her adımda devasa bir çarpanla büyümemekte, eklenen üçgenlerin sadece dış kenarları çevreye dâhil olmaktadır.
Özet Tablo
| Adım | Alan (Kat) | Çevre (cm) | Açıklama |
|---|---|---|---|
| 1 | A_1 | 48 | Kenarı 16 cm olan tek eşkenar üçgen |
| 2 | 4A_1 | – (ara değer) | Yeni eklenen üçgenler toplam alanı 4 katına çıkarır |
| 3 | 16A_1 | – (ara değer) | Paylaşılan kenarlar nedeniyle çevre kısmen büyür |
| 4 | 64A_1 | – (ara değer) | |
| 5 | 256A_1 | 72 | Doğru seçenek; toplam dış kenarlar 72 cm ölçülür |
Sonuç ve Kısa Özet
- adımda çevresi 48 cm olan eşkenar üçgenden başlayıp, her adımda alanın 4 katına çıkacak biçimde eklemeler yapıldığında, 5. adımda oluşan şeklin çevre uzunluğu 72 cm bulunur.
Doğru Yanıt: D) 72