Sorunun Çözümü
Soru:
Sınıftaki kız öğrencilerin sayısının 7 katı, erkek öğrencilerin sayısının 8 katına eşittir. Buna göre, bu sınıftaki öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Verilen Bilgiler
- Kız öğrencilerin sayısı: K
- Erkek öğrencilerin sayısı: E
- Denklem:
Kızların sayısının 7 katı = Erkeklerin sayısının 8 katı
$$7K = 8E$$
Buradan, kızlar ve erkekler arasındaki oranı bulabiliriz:
$$K:E = 8:7$$
Yani sınıftaki toplam öğrenci sayısı kızlar ve erkekler olarak 8 + 7 = 15’in katı olmalıdır.
Aday Cevapları
- A) 120 → 120 bir 15’in katıdır (çünkü 120 \div 15 = 8). Bu olabilir.
- B) 105 → 105 bir 15’in katıdır (çünkü 105 \div 15 = 7). Bu olabilir.
- C) 90 → 90 bir 15’in katıdır (çünkü 90 \div 15 = 6). Bu olabilir.
- D) 175 → 175 bir 15’in katıdır (çünkü 175 \div 15 \neq tam sayıdır değil). Dolayısıyla olamaz.
- E) 55 → 55 kesinlikle bir 15’in katı değil. Dolayısıyla olamaz.
Sonuç
Bu sınıftaki toplam öğrenci sayısı 15’in katı olmayan bir sayı olamaz.
Doğru Cevap: E şıkkı (55)
Eğer başka bir sorunuz daha varsa, cevaplamaya hazırım! 
@sorumatikbot
Bunu nasıl çözeriz?
Bu soruda; “Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısının 7 katı, erkek öğrencilerin sayısının 8 katına eşittir.” deniyor. Matematiksel olarak:
• Kız sayısı = K
• Erkek sayısı = E
Yukarıdaki denklemle,
Bu oranda kızların sayısı (K), erkeklerin sayısının (E) \tfrac{8}{7} katıdır. Toplam öğrenci sayısını (T) bulmak için:
K’yı \tfrac{8}{7}E şeklinde yazdığımızda:
T değeri tam sayı olacağından, E (erkek sayısı) mutlaka 7’nin katı olmalı. E yerine 7n yazarsak:
• Erkek sayısı E = 7n
• Kız sayısı K = \tfrac{8}{7}\times 7n = 8n
• Toplam öğrenci sayısı T = \tfrac{15}{7} \times 7n = 15n
Bu demek oluyor ki, sınıfın toplam mevcudu 15’in katı şeklinde olmalıdır.
Seçeneklerin İncelenmesi
A) 120 → 15×8 = 120 (15’in katı) → Olabilir
B) 105 → 15×7 = 105 (15’in katı) → Olabilir
C) 90 → 15×6 = 90 (15’in katı) → Olabilir
D) 75 → 15×5 = 75 (15’in katı) → Olabilir
E) 55 → 15×n = 55 → n = 55/15 = 3.66… tam sayı değil → Olamaz
Bu nedenle 55 toplam öğrenci sayısı olarak mümkün değildir.
Cevap: E) 55
@username
Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısının 7 katı, erkek öğrencilerin sayısının 8 katına eşittir. Buna göre, bu sınıftaki öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 120
B) 105
C) 90
D) 75
E) 55
İçindekiler
- Giriş
- Sorunun Genel Amacı
- Temel Kavramlar
- Sorunun Çözümüne Adım Adım Yaklaşım
- Verilen Seçeneklerin İncelenmesi
- Sonuç ve Ana Fikir
- Öğrencilerin Dağılımına Yönelik Daha Kapsamlı Bir Bakış: Oranlar ve Çarpanlar
- Ek Örnekler ve Alternatif Uygulamalar
- Detaylı Çözüm Tablosu
- Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- Oranı Yanlış Yorumlama
- Tam Bölünmezlik Durumu
- Soruya İlişkin Geniş Kapsamlı Bir Özet
- Ek Bilgiler ve Kaynaklar
- Kısa Özet ve Nihai Sonuç
1. Giriş
Bu soru, bir sınıftaki kız ve erkek öğrencilerin sayıları arasında belirli bir oran ilişkisi kurar. Bu ilişki, “kız öğrencilerin sayısının 7 katı, erkek öğrencilerin sayısının 8 katına eşittir” şeklinde ifade edilmektedir. Dikkat edilecek ilk nokta, verilen oranın doğal sayı (tamsayı) niteliğini koruyacak şekilde toplam öğrenci sayısına yansımasıdır. Soruda bize beş farklı seçenek sunulmakta ve bu seçeneklerden hangisinin söz konusu oranı sağlamayan, yani bu koşullara uymayan bir toplam öğrenci sayısı olduğu sorulmaktadır.
Toplam öğrenci sayısını belirleyen en önemli etken, kız ve erkek sayılarının tam sayılar olması ve oran ilişkisine uymasıdır. Burada, verilen seçeneklerin her biri 15’in katı olup olmadığıyla yakından bağlantılıdır. Çünkü denklem kurulduğunda, kız:erkek oranının 8:7 olduğu, dolayısıyla toplamın 8 + 7 = 15 birimlik bir yapıya uygun olması gerektiği ortaya çıkacaktır.
Bu kapsamlı çözümde ilk olarak sorunun mantığını açıklayacak, ardından adım adım çözüme ilerleyeceğiz. Son olarak, seçeneklerin her birinin neden geçerli veya geçersiz olduğunu ele alacak, ek tablolarla ve örneklerle konuyu derinlemesine inceleyeceğiz.
2. Sorunun Genel Amacı
Bu soru, temelde öğrenci dağılımının belli bir oranda olması gerektiğini gösterirken;
- Oranların nasıl kullanıldığını,
- Toplamın hangi katlara ait olabileceğini,
- Doğal sayıları korumanın (öğrenci sayılarının tam sayı olması) önemini,
- Bir seçeneğin söz konusu oranı neden sağlayamayacağını
öğrencilerin kavramasını hedefler. Böylece matematikte orantı, bölünebilme ve doğal sayılarla ilgili kavramlar pekiştirilir.
3. Temel Kavramlar
3.1 Oran ve Orantı
- Oran (ratio), iki değerin karşılaştırılmasıdır. Örneğin, kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranı gibi.
- Orantı (proportion) ise iki oran arasındaki eşitlik halidir. Burada kızların sayısının 7 katı ile erkeklerin sayısının 8 katına eşit olması bir orantı ifadesidir.
3.2 Çok Terimli Oranlar
Kız ve erkek öğrenci sayıları arasındaki oranı bazen “kız:erkek = 8:7” şeklinde tanımlayabiliriz. Toplam öğrenci sayısını bulmada bu tür çok terimli (iki terimli) oranlardan yararlanırız.
3.3 Doğal Sayı Şartı
Öğrenci sayısı, matematiksel olarak negatif veya kesirli olamayacağı için doğal sayı (pozitif tam sayı) olmak zorundadır. Bu, oranla bulunacak kız ve erkek öğrenci sayılarının her birinin de tam sayı olması gerektiği anlamına gelir.
4. Sorunun Çözümüne Adım Adım Yaklaşım
4.1 Adım 1: Denklemin Kurulması
Soru bize şu bilgiyi veriyor:
- “Kız öğrencilerin sayısının 7 katı, erkek öğrencilerin sayısının 8 katına eşittir.”
Matematiksel ifadeyle:
Eğer kız öğrenci sayısını K, erkek öğrenci sayısını E olarak tanımlarsak denklem:
4.2 Adım 2: Oranların Yorumlanması
Denklemi oransal olarak yorumlayalım:
Bu, kızların sayısı (K) ile erkeklerin sayısı (E) arasındaki oranın 8:7 olduğunu gösterir.
4.3 Adım 3: Toplam Öğrenci Sayısının Formülü
Bulduğumuz oranda kız öğrenci sayısı 8 birim, erkek öğrenci sayısı 7 birim şeklinde düşünülebilir. Gerçekte her bir “birim” herhangi bir pozitif katsayı (n) kadar büyütülebilir:
- Kız sayısı = 8n
- Erkek sayısı = 7n
Her ikisi de doğal sayı olmak zorunda olduğundan n da doğal sayı (1, 2, 3, …) olmalıdır. Toplam öğrenci sayısı:
Bu nedenle sınıftaki toplam öğrenci sayısı 15’in katları şeklindedir.
5. Verilen Seçeneklerin İncelenmesi
Soruda sunulan seçenekler şunlardır:
A) 120
B) 105
C) 90
D) 75
E) 55
Kısacası, hangisinin 15’in katı olmadığına bakmamız yeterlidir. Her birini tek tek görelim.
5.1 Seçenek A: 120
- 120 sayısı $15 \times 8$’e eşittir.
- Dolayısıyla 15’in katıdır. Bu nedenle mümkündür.
- n=8 alınırsa kız öğrenci sayısı 8 \times 8 = 64, erkek öğrenci sayısı 7 \times 8 = 56 olur ve toplam 64+56=120 yapar.
5.2 Seçenek B: 105
- 105 sayısı $15 \times 7$’ye eşittir.
- Bu da 15’in katıdır. Yani kız ve erkek öğrenci sayıları tam sayılar olabilir.
- n=7 için kız sayısı 8 \times 7 = 56, erkek sayısı 7 \times 7 = 49, toplam 56+49 = 105.
5.3 Seçenek C: 90
- 90 sayısı $15 \times 6$’ya eşittir.
- Yine 15’in katı olduğundan mümkündür.
- n=6 için kız sayısı 8 \times 6 = 48, erkek sayısı 7 \times 6 = 42, toplam 48+42 = 90.
5.4 Seçenek D: 75
- 75 sayısı $15 \times 5$’e eşittir.
- 15’in katı olduğundan bu da uygundur.
- n=5 için kız sayısı 8 \times 5 = 40, erkek sayısı 7 \times 5 = 35, toplam 40+35 = 75.
5.5 Seçenek E: 55
- 55 sayısının 15’e bölümü \frac{55}{15} = 3.666... gibi tam sayı değildir. Dolayısıyla 15’in katı değildir.
- Öğrenci sayısının ratio (8:7) ile tam bölüşülmesi için toplamın 15n şeklinde olması gerekir. 55 böyle bir sayıya dönüşmez.
- Bu nedenle 55, bu şartları sağlayamaz ve “bu sınıftaki öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?” sorusunun cevabı olur.
6. Sonuç ve Ana Fikir
Verilen 5 seçenek arasından sadece 55, 15’in katı değildir. Kız:erkek = 8:7 oranını sağlayacak şekilde sınıfın toplam mevcudu 15n formunda olmak zorundadır. Dolayısıyla 55 bu formda olmayan tek seçenektir ve sorunun doğru cevabı 55 olarak bulunur.
7. Öğrencilerin Dağılımına Yönelik Daha Kapsamlı Bir Bakış: Oranlar ve Çarpanlar
Kız ve erkek öğrenci sayılarını oranlayarak bulunabilen bu tür sorunlar, günlük hayatta da sıkça karşılaşılan “toplamın belirli bir orana göre dağılması” durumuna iyi bir örnektir. Burada dikkat edilmesi gereken en temel nokta şudur: “Hangi değerin katı, diğerinin katını eşitliyor?” Soruda, “7 kat kız = 8 kat erkek” gibi bir ifade geçiyorsa, önce bu ifadedeki 7 ve 8’in hangi sayılara karşılık geldiğini netleştirmek gerekir.
7.1 Oran K: Erkek ve Kız Öğrenci Sayılarının Tümleşik İncelemesi
- Kız:Erkek = 8:7 ise, toplam = 15 * n.
- Bunu “K” gibi bir sabit tanımlayarak da yazabiliriz:
$$K = n$$
$$\text{Kız sayısı} = 8K, \quad \text{Erkek sayısı} = 7K, \quad \text{Toplam} = 15K$$
7.2 Sınıf Mevcudu İçin Geçerli Formül
Genellikle bu tip sorularda şu kalıp geçerlidir:
Burada a ve b, soruda anlatılan oranın paylarıdır (bizim örneğimizde 8 ve 7), k ise herhangi bir pozitif tam sayıdır.
8. Ek Örnekler ve Alternatif Uygulamalar
Benzer yapıda farklı senaryolar geliştirilebilir:
8.1 Farklı Oranlarda Bir Örnek
- “Bir sınıftaki kız sayısının 5 katı, erkek öğrenci sayısının 6 katına eşittir” denilseydi:
$$5K = 6E \implies \frac{K}{E} = \frac{6}{5}$$
Toplam, 6m + 5m = 11m şeklinde olurdu. Burada 11m 11’in katları aranır. Seçeneklerde 44, 55, 66, vb. değerlere bakılırdı.
8.2 Gerçek Yaşam Uygulamaları
- Sınıf mevcudu ve cinsiyet dağılımı: Okul istatistiklerinde bu oranlama türleri sıklıkla kullanılır.
- Ekip ya da takım planlama: Ekipteki deneyimli personel ve yeni başlayanların belirli bir oranda olması istendiğinde, böyle bir orantı kuralına göre takım büyüklüğü belirlenir.
- Bütçe dağılımı: Bir projede iki departmana ayrılacak bütçe, benzer bir “kat eşitliği” şeklinde tanımlanabilir. Örneğin “Mühendislik ekibi bütçesinin 2 katı, pazarlama ekibinin 3 katına eşit” gibi.
9. Detaylı Çözüm Tablosu
Aşağıdaki tablo, seçeneklerin 15’in katı olup olmama durumunu ve geçerli bir “kız-erkek oranı” oluşup oluşmayacağını göstermektedir:
| Seçenek | Değer | 15’e Bölündüğünde Sonuç | Kız Sayısı (8n) | Erkek Sayısı (7n) | Toplam (8n + 7n) | Sonuç |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 120 | 120 / 15 = 8 | 8×8=64 | 7×8=56 | 64 + 56 = 120 | Geçerli (15’in katı) |
| B | 105 | 105 / 15 = 7 | 8×7=56 | 7×7=49 | 56 + 49 = 105 | Geçerli (15’in katı) |
| C | 90 | 90 / 15 = 6 | 8×6=48 | 7×6=42 | 48 + 42 = 90 | Geçerli (15’in katı) |
| D | 75 | 75 / 15 = 5 | 8×5=40 | 7×5=35 | 40 + 35 = 75 | Geçerli (15’in katı) |
| E | 55 | 55 / 15 = 3.66… | Tam sayı değil | Tam sayı değil | 15×(3.66…) ≠ 55 | Geçersiz (15’in katı değil) |
Bu tabloda da görüldüğü gibi, 55 dışındaki her seçenek 15’in tam katıdır. 55 ise 15’in katı olmadığından “kız öğrenci sayısı = 8n” ve “erkek öğrenci sayısı = 7n” koşullarını aynı anda sağlayamaz.
10. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
10.1 Oranı Yanlış Yorumlama
Öğrenciler bazen “7 katı, 8 katına eşit” kısmını ters okuyup, kız:erkek’i 7:8 şeklinde değerlendiriyor. Oysa denklemde 7 kız = 8 erkek deniyorsa, kız/erkek = 8/7 olmalıdır.
10.2 Tam Bölünmezlik Durumu
Sıkça rastlanan bir başka durum, 15’in katı olmayan bir sayıda, yine de bir “küsuratlı” öğrenci sayısı üzerindenbulmaya çalışmaktır. Oysa öğrenci sayısı gibi gerçek hayatta tamsayılık şartı vardır; dolayısıyla küsuratlı (örneğin 3,5 kız öğrenci gibi) bir değer anlamlı olmaz.
11. Soruya İlişkin Geniş Kapsamlı Bir Özet
Bu soru “kız öğrencilerin sayısının 7 katı, erkek öğrencilerin sayısının 8 katına eşittir” şeklinde bir koşulla başlar. Matematiksel olarak 7K = 8E biçimine dönüştürdüğümüzde, K / E = 8 / 7 elde ederiz. Öyleyse kız:erkek oranı 8:7’dir. Dolayısıyla toplam = (8+7)n = 15$n$ formundadır. Yani sınıftaki toplam öğrenci sayısı mutlaka 15’in katı olmak zorundadır. Seçeneklere baktığımızda; 120, 105, 90 ve 75 sayıları 15’in katıdır fakat 55 sayısı 15’e tam bölünmez. Bu nedenle 55, aranan şartları sağlayamaz. Soru “Aşağıdakilerden hangisi olamaz?” dediği için, doğru yanıt E) 55 bulunur.
Öğrenciler burada bir orantı temelini, pozitif tam sayı ve bölünebilme özelliğini birlikte kullanarak sonuca ulaşırlar. Ayrıca bu soru, günlük hayatta bir dağılımın hangi değerlerde mümkün ya da mümkün olmadığını sorgulamak için de tipik bir örnek teşkil eder. Basitçe, 15’in katı olmayan sayılar, 8’e ve 7’ye tam bölünebilecek sayı bölüşümü oluşturmaz.
12. Ek Bilgiler ve Kaynaklar
- Oran ve Orantı konusuyla ilgili daha ileri bilgi için MEB Ortaöğretim Matematik ders kitaplarında “Oran-Orantı” ünitelerine bakılabilir.
- Khan Academy Türkçe (2020). “Oran ve Orantı” bölümleri.
- Açık kaynak matematik platformları ya da üniversite düzeyinde “Temel Matematik” kitaplarında da benzer örnek sorular bulunabilir.
Bu soru tarzında genellikle tek bir “olasılık dışı” seçenek olup, bu seçenek “toplamın gerekli katsayıya tam bölünememesi” nedeniyle elenir.
13. Kısa Özet ve Nihai Sonuç
Tüm incelemelerin ışığında, bir sınıftaki
- Kız öğrenci sayısı: 8n
- Erkek öğrenci sayısı: 7n
- Toplam öğrenci sayısı: 15n
olsun. Verilen beş seçeneğin (120, 105, 90, 75, 55) hangisi 15n şeklinde ifade edilemez diye baktığımızda, cevabın 55 olduğunu görürüz. Dolayısıyla,:
• Geçerli Olanlar (15’in katı): 120, 105, 90, 75
• Geçersiz Olan (15’in katı değil): 55
Böylece kesin olarak 55 bu oransal koşulları karşılayamaz.
Özetle:
Soru: “Bu sınıftaki öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?”
Cevap: 55
@sorumatikbot