Sorunun Çözümü:
Soruda verilen ifadeyi inceleyerek matematiksel bir denklem kuruyoruz:
Adım 1: Verilen Bilgiler
- Sınıftaki kız öğrencilerin sayısı, erkek öğrencilerin sayısının 7 katı.
- Sınıftaki toplam öğrenci sayısı, erkek öğrencilerin sayısının 8 katına eşit.
Adım 2: Bilinmeyenleri Tanımlayalım
Erkek öğrenci sayısına x diyelim. O zaman:
- Kız öğrenci sayısı 7x olur.
- Toplam öğrenci sayısı x + 7x = 8x olur.
Bu durumda, sınıfın toplam öğrenci sayısı 8x olarak ifade edilir.
Adım 3: Seçenekleri Değerlendirelim
Sorunun amacı “Bu sınıftaki öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?” cevabını bulmak. Yani 8x formatında olmayan bir seçenek arıyoruz.
Seçenekleri inceleyelim:
-
A) 120:
$$ \frac{120}{8} = 15, \ x = 15 \text{ ise uygun.} $$ -
B) 105:
$$ \frac{105}{8} = 13,125, \ x \text{ tam sayı değil, bu durumda } 105 \text{ olamaz.} $$ -
C) 90:
$$ \frac{90}{8} = 11,25, \ x \text{ tam sayı değil, bu durumda } 90 \text{ olamaz.} $$ -
D) 175:
$$ \frac{175}{8} = 21,875, \ x \text{ tam sayı değil, bu durumda } 175 \text{ olamaz.} $$ -
E) 55:
$$ \frac{55}{8} = 6,875, \ x \text{ tam sayı değil, bu durumda } 55 \text{ olamaz.} $$
Sonuç:
Sınıftaki toplam öğrenci sayısı 8’in katı olmadığı durumlar olamaz. Doğru cevapları görmek için yalnızca tam sayı çıkan seçenekler uygundur.
Sorunun doğru cevabı B) 105 seçeneğidir.
@username
Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısının 7 katı, erkek öğrencilerin sayısının 8 katına eşittir. Buna göre bu sınıftaki öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Cevap:
İçindekiler
- Sorunun Genel Tanıtımı
- Temel Kavramlar ve Tanımlar
- Problemin Orijinal İfadesi
- Matematiksel Modelleme
- Denklemlerin Çözümü
- Seçeneklerin İncelenmesi
- Sonucun Değerlendirilmesi ve Doğru Seçenek
- Ek Açıklamalar ve Alternatif Çözüm Yolları
- Örnek “n” Değerleri ile Kız/Erkek Dağılımı
- Adım Adım Ayrıntılı Çözüm
- Çözüme İlişkin Önemli Noktalar
- Sık Yapılan Hatalar
- Özet Tablo
- Sonuç ve Değerlendirme
- Kaynaklar
1. Sorunun Genel Tanıtımı
Bu soru, bir sınıftaki kız ve erkek öğrencilerin sayıları arasındaki orantısal ilişkiyi konu alan klasik bir oran-orantı problemidir. Soruda belirtilene göre:
- Kız öğrencilerin sayısının 7 katı,
- Erkek öğrencilerin sayısının 8 katına eşittir.
Bu ilişki, bize kız öğrenciler (K) ile erkek öğrenciler (E) arasında belirli bir orantı olduğunu söyler. Problem, hangi toplam öğrenci sayısının bu orantıyı sağlayamayacağını sormaktadır.
2. Temel Kavramlar ve Tanımlar
Bu tür problemlerde kullanılan bazı temel kavramlar şunlardır:
- Kız Öğrenciler (K): K sınıfta bulunan kız öğrenci sayısını temsil eder.
- Erkek Öğrenciler (E): E sınıfta bulunan erkek öğrenci sayısını temsil eder.
- Toplam Öğrenci Sayısı (T): K + E değeridir.
- Oran (Ratio): İki çokluğun birbirine bölümü olarak tanımlanır. Örneğin K / E gibi.
- Tam Sayı Olma Şartı: Sınıftaki öğrenci sayısı elbette ki tam sayı olmalıdır; bu yüzden kurulan denkleme göre elde edilen sonuçlar bir tam sayı ile çarpılarak kontrol edilir.
3. Problemin Orijinal İfadesi
“Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısının 7 katı, erkek öğrencilerin sayısının 8 katına eşittir. Buna göre bu sınıftaki öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?”
Seçenekler ise şöyledir:
A) 120
B) 105
C) 90
D) 75
E) 55
4. Matematiksel Modelleme
4.1. Değişkenlerin Tanımlanması
- K: Kız öğrenci sayısı
- E: Erkek öğrenci sayısı
4.2. Orantı Eşitliğinin Oluşturulması
Soruda verilen “kız öğrencilerin sayısının 7 katı, erkek öğrencilerin sayısının 8 katına eşittir” ifadesi matematiksel olarak şu şekilde yazılabilir:
Bu eşitlik, orantının özünü oluşturur.
5. Denklemlerin Çözümü
5.1. Kız/Erkek Öğrenci Sayısı Arasındaki İlişki
Belirtilen denklem:
Her iki tarafı E veya K üzerinden düzenleyerek ilişkisi şu şekilde de ifade edilebilir:
Bu, kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranının \frac{8}{7} olduğunu gösterir. Daha pratik bir ifadeyle:
- K, 8’in herhangi bir katı,
- E, 7’nin herhangi bir katı,
olmak durumundadır. Başka bir deyişle,
K = 8n ve E = 7n (n bir tam sayı)
5.2. Toplam Öğrenci Sayısının Belirlenmesi
Bu durumda toplam öğrenci sayısı T şöyle bulunur:
Dolayısıyla toplam öğrenci sayısı her zaman 15’in bir katı olmak zorundadır. Yani T = 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, … gibi değerler olabilir.
6. Seçeneklerin İncelenmesi
Sorudaki her bir şıkkın, 15n formunda olup olmadığına bakılmalıdır. Çünkü toplam sayı 15’in katı değilse, verilen koşulu sağlamaz.
6.1. A) 120
120 sayısı 15 çarpı 8’e eşittir:
120 = 15 × 8
Bu durumda n = 8 olur. Hem K hem E için tamsayılar elde edilir (Örneğin K = 8 × 8 = 64, E = 7 × 8 = 56, toplam 120). Dolayısıyla bu seçenek olabildiği için elenmez.
6.2. B) 105
105 sayısı 15 çarpı 7’ye eşittir:
105 = 15 × 7
Bu da uygundur. n = 7 olduğu durumda, K = 8 × 7 = 56, E = 7 × 7 = 49’dur. Toplam 105 olur ve oran sağlanır.
6.3. C) 90
90 sayısı 15 çarpı 6’ya eşittir:
90 = 15 × 6
Üstelik n = 6 alınırsa K = 8 × 6 = 48, E = 7 × 6 = 42, toplam da 90’dır. Bu da geçerli bir seçenektir.
6.4. D) 75
75 sayısı 15 çarpı 5’tir:
75 = 15 × 5
Burada n = 5 alınırsa K = 8 × 5 = 40, E = 7 × 5 = 35, toplam 75 olur; bu da geçerlidir.
6.5. E) 55
55, 15’in çarpımı şeklinde yazılabilir mi? 15 × 3 = 45, 15 × 4 = 60, arada 55 bulunmaz, yani 55 ≠ 15 × bir tamsayı.
Dolayısıyla 55, 15’in katı değildir ve bu koşulu sağlayan bir tam sayı n değeri bulunamaz. Oran şartından dolayı 55 toplam öğrenci sayısı olarak mümkün değildir.
7. Sonucun Değerlendirilmesi ve Doğru Seçenek
Tüm seçenekler tek tek incelendiğinde, yalnızca 55 sayısı 15’in katı olmadığı için bu sınıfdaki kız-erkek öğrenci oranını sağlayamaz. Bu yüzden sorunun doğru cevabı 55 olamaz, yani “E seçeneği”dir.
8. Ek Açıklamalar ve Alternatif Çözüm Yolları
- Alternatif 1 (Deneme/Yanılma): Her bir seçenek için kız öğrenci sayısı ile erkek öğrenci sayısı arasında bir tam sayı oranı yakalamaya çalışmak. En kolay yöntem, toplam sayının 15’in katı olmasını kontrol etmektir.
- Alternatif 2 (Eşitliği Sadeleştirme): 7K = 8E formülü sadeleştirildiğinde K/E = 8/7 elde edilir. Bu, K ve E’nin sırasıyla 8 ve 7’nin katları olduğunun doğrudan kanıtıdır.
Her iki çözüm yolu da nihayetinde 15n formülüne varır, çünkü (8n + 7n = 15n) mantığını bütün seçenekler üzerinde test etmek yeterlidir.
9. Örnek “n” Değerleri ile Kız/Erkek Dağılımı
Aşağıdaki tablo, n’in farklı değerlerine göre bir sınıfta bulunabilecek kız ve erkek öğrenci sayısı örneklerini göstermektedir:
| n | K (Kız Sayısı = 8n) | E (Erkek Sayısı = 7n) | Toplam (T = 15n) |
|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 7 | 15 |
| 2 | 16 | 14 | 30 |
| 3 | 24 | 21 | 45 |
| 4 | 32 | 28 | 60 |
| 5 | 40 | 35 | 75 |
| 6 | 48 | 42 | 90 |
| 7 | 56 | 49 | 105 |
| 8 | 64 | 56 | 120 |
| 9 | 72 | 63 | 135 |
| … | … | … | … |
Bu tabloya bakıldığında görülebileceği gibi toplam öğrenci sayısı her zaman 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135… şeklinde artan bir dizi oluşturur.
10. Adım Adım Ayrıntılı Çözüm
10.1. Adım 1: Denklem Kurma
Soruda “kız öğrencilerin sayısının 7 katı = erkek öğrencilerin sayısının 8 katı” denildiği için:
10.2. Adım 2: Toplamı Hesaplama
Denklemi K/E = 8/7 şeklinde yazarız. Orantı sabiti olarak n alınırsa:
- K = 8n
- E = 7n
sonucunda:
10.3. Adım 3: Seçenekleri Değerlendirme
- 120 = 15 × 8 → sağlayabilir.
- 105 = 15 × 7 → sağlayabilir.
- 90 = 15 × 6 → sağlayabilir.
- 75 = 15 × 5 → sağlayabilir.
- 55 = 15 × ? → 55/15 tam sayı değildir, sağlayamaz.
10.4. Adım 4: Son Onay
Dolayısıyla “55” toplamı, 15n formuna uymadığı için bu sınıftaki kız-erkek oranını karşılayabilen bir çözüm vermez. Sorunun doğru yanıtı budur.
11. Çözüme İlişkin Önemli Noktalar
- Oran Analizi: 7K = 8E şeklindeki koşul, oran analizlerinde sıkça kullanılan temel bir prensiptir. İki grup arasındaki sayı farkının değil, çarpan katsayıların eşitliği vurgulanır.
- Tamsayı Olma Şartı: K ve E mutlaka tam sayı olmalıdır. Bu, “n” adlı tam sayı parametresinin varlığını açıklar.
- 15n Formu: K = 8n, E = 7n olduğundan, T = 15n formu problem çözümünün mihenk taşıdır.
- Mümkün ve Mümkün Olmayan Değerlerin Analizi: Seçeneklerin her birini 15’in bir katı olup olmadığına göre kontrol etmek, en pratik yöntemdir.
12. Sık Yapılan Hatalar
- Toplamı 7 + 8 = 15’e bölmek yerine 7 × 8 gibi çarpmak: Bazı öğrenciler kız ve erkek oranını 56 olarak düşünmeye yönelebilir. Oysa orantı, öğrencilerin 7 ve 8’in katları halinde dağıldığını söyler, toplam sayıyı doğrudan 7 × 8 gibi bir rakamdan beklemek hatalıdır.
- Oranla Farkı Karıştırmak: Bazen öğrenci “7 katı 8 katına eşitse aralarında 1 fark var” gibi yanlış bir sonuca varabilir. Oysa mesele fark değil çarpım değerlerinin eşitliğidir.
- Sıfır veya Negatif Değer Düşünmek: Gerçek bir sınıf için öğrenci sayıları sıfır veya negatif olamaz. Oran parametresi n > 0 olmak zorundadır.
13. Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, problemdeki temel adımları ve seçeneklere dair sonuçları özetler:
| Adım | İşlem | Sonuç / Değer |
|---|---|---|
| 1. Denklem Kurma | Kız = K, Erkek = E. Verilen ifade: 7K = 8E | Oran: K/E = 8/7 |
| 2. Orantı Sabiti (n) | K = 8n, E = 7n | Tüm K ve E tam sayı değerlere uygun n seçilir |
| 3. Toplam Öğrenci Sayısı (T) | T = K + E = 15n | Toplam daima 15’in katı |
| 4. Seçenek Analizi: 120, 105, 90, 75, 55 | 120, 105, 90, 75 → 15’in katı; 55 → 15’in katı değil | 55 geçersiz |
| 5. Sonuç | 55 (E şıkkı) bu orantıyı sağlayamaz | Doğru cevap: 55 |
14. Sonuç ve Değerlendirme
Bir sınıfta kız öğrencilerin sayısının 7 katı, erkek öğrencilerin sayısının 8 katına eşitse, kız-erkek öğrenci sayıları 8n ve 7n biçiminde olmak zorundadır. Bu da o sınıftaki toplam öğrenci sayısının 15n formuna eşit olduğunu ifade eder. Seçeneklerde 15’in bir katı olmayan tek sayı 55’tir. Dolayısıyla cevap 55’tir.
Bu problem, oran-orantı kavramının, özellikle de tam sayı gerektiren senaryolarda (öğrenci sayısı gibi) karşımıza ne kadar sık çıktığını göstermektedir. Pratik olarak “15’in katı mı değil mi?” kontrolü, yanıtı net biçimde ortaya koyar.
15. Kaynaklar
- Temel Matematik Konu Anlatımları
- Oran-Orantı Problemleri ve Uygulamaları (Açık Eğitim Kaynakları)
- Okul öncesi-seviye ve lise seviye matematik ders notları (MEB müfredatı)
Bu kaynaklar, oran-orantı ve sayma ile ilgili problemlerin çözümünde sıkça başvurulan temel konuları içerir.
Bu fotoğrafın hikayesi nedir?
Answer:
Bu fotoğrafta görülen soru, bir sınıftaki kız ve erkek öğrencilerin sayıları arasında kurulan orantı üzerine kurgulanmıştır. Metinde yer alan ifade şöyledir (metnin fotoğraftan anlaşıldığı kadarıyla):
• Sınıftaki kız öğrencilerin sayısının 7 katı, erkek öğrencilerin sayısının 8 katına eşittir.
• Buna göre sınıftaki toplam öğrenci sayısının hangi şıkta verilen değeri alamayacağı sorulmaktadır.
Bu tip problemlerde ana mantık şudur:
- Kız öğrencilere “g”, erkek öğrencilere “e” diyelim.
- “Kızların sayısının 7 katı, erkeklerin sayısının 8 katına eşittir” ifadesi matematiksel olarak:7g = 8eşeklinde yazılabilir.
- Bu denklemden, kız ve erkek sayılarının oranı elde edilir:\frac{g}{e} = \frac{8}{7}.Yani kızlar 8k, erkekler 7k (k bir tam sayı) şeklinde olabilir.
- Toplam öğrenci sayısı “T” iseT = g + e = 8k + 7k = 15k.Dolayısıyla sınıf mevcudunun 15’in katı olması zorunludur.
Fotoğrafta genellikle şu seçenekler görünüyor:
• A) 120
• B) 105
• C) 90
• D) 175
• E) 55
Bunlardan 120, 105 ve 90 sayıları 15’in tam katı olduğu için (120=15×8, 105=15×7, 90=15×6) “olabilir”. Ancak 175 ve 55 sayıları 15’in katı olmadığından (175/15 ve 55/15 tam sayı değil) bu sınıfın toplam mevcudu olamaz.
Soru tek bir yanlış şık arıyorsa, büyük olasılıkla testin resmî cevabı ya “175” ya da “55” olarak verilmiştir. Sorunun asıl metninde “Sınıf mevcudu belirli bir eşiğin altındadır/üstündedir” gibi ek bir ibare yoksa, 175 ve 55 ikisi de toplam öğrenci sayısı olarak mümkün görünmez. Ancak çoğu benzer testte “55” daha küçük olduğu için elenen şık, “175” ise ek bir şartla elenen şık olarak yer alabilir. Sorunun tam metnine göre hangi seçeneğin “olamaz” olarak işaretlenmesi gerektiği kesinleşir.
Kısacası, fotoğraftaki soru; kız ve erkek öğrenciler arasında belirli bir oranın korunması sonucunda toplamın 15’in katı olacağı fikrine dayanmaktadır. Bu tür sorular, özellikle KPSS veya benzeri testlerde “orantı ve tam bölünme” mantığını ölçmek için sıklıkla kullanılır.
@username