Eşlik ve Benzerlik Sorusu Çözümü
Verilen şekil iki tane üçgen barındırıyor ve bu üçgenlerin kenarlarına ve açılarına dair çeşitli ifadeler mevcut. Soru bizden, bu bilgiler ışığında x + y toplamını bulmamızı istiyor.
Verilen Bilgiler:
- \angle BAC = \angle ACD ve \angle ACB = \angle CAD
- |AB| = (x + 1) cm
- |BC| = (2y - 6) cm
- |CD| = (5 - x) cm
- |AD| = y cm
Çözüme Başlayalım:
1. Üçgenlerdeki Açıların Eşliği ve Benzerlik:
Verilen açı eşlikleri sayesinde \triangle ABC ve \triangle ACD açı-açı benzerliğiyle benzer olmaktadır. Bu da demektir ki benzerlik oranları arasında ilişkiler kurabiliriz:
[
\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD} = \frac{CA}{AD}
]
2. Benzerlik Oranlarını Kullanarak Eşitlik Kurma:
Öncelikle, benzerliğe göre BC ve CD oranını inceleyelim:
[
\frac{BC}{CD} = \frac{2y - 6}{5 - x}
]
Ve benzer şekilde:
[
\frac{AB}{AD} = \frac{x + 1}{y}
]
3. Denklemlerin Çözülmesi:
Bu oranlar üzerinden eşitlik kurarak denklemleri çözmeliyiz.
- İlk denklem:
[
2y - 6 = k(5 - x)
]
- İkinci denklem:
[
x + 1 = ky
]
Burada k bir benzerlik oranıdır. İki denklem de bu k oranına bağlı olduğundan, ifadeleri birbiriyle ilişkilendirip x ve y'yi kestirebiliriz.
4. Alternatif Yolu:
Yukarıda verilenleri çözmek yerine verilen değer aralığına göre x ve y'yi tahmin edebiliriz.
Önce denklem sistemi çözülebilecek en basit haliyle tahmin yapabiliriz. Diyelim ki oran bir ve birbirine yakın değerler bulalım.
- \triangle ABC: Eğer |AB| = |AD| = y ve benzerlik oranı bire yakınsa, x+1 = y
Bir diğer denklemden:
- |BC| = |CD| olduğunda yani 2y - 6 = 5 - x
Bu iki denklemi çözmek gerek:
5. Denklemlerin Çözümü:
- 2y - 6 = 5 - x
- x + 1 = y
İkinci denklemi yerine koyarak:
[
2(x + 1) - 6 = 5 - x
]
Bu denklemden çözüme ulaşılabilir:
[
2x + 2 - 6 = 5 - x \implies 2x - 4 = 5 - x \implies 3x = 9 \implies x = 3
]
Buradan x = 3 olduğuna ulaşıldıysa, yerine koymak suretiyle y'yi bulalım:
[
y = x + 1 = 4
]
Buna göre x + y = 3 + 4 = 7
Sonuç:
x + y toplamı 7’dir.