Soru: A, B ve C birbirinden farklı birer rakam olmak üzere, ABC, CAB ve BBA üç basamaklı doğal sayılarıyla ilgili şu bilgiler veriliyor:
- Yalnız bir tanesi 2’ye tam bölünüyor.
- Yalnız iki tanesi 9’a bölündüğünde 2 kalanını veriyor.
- Yalnız bir tanesi 9’a bölündüğünde 3 kalanını veriyor.
Buna göre kaç farklı A rakamı vardır?
Cevap:
Bu soruyu çözmek için önce verilen şartları tek tek inceleyelim:
1) Yalnız bir tanesi 2’ye tam bölünüyor
Üç basamaklı sayılarımız şunlar:
• ABC \quad (\text{yüzler basamağı } A,\text{ onlar } B,\text{ birler } C)
• CAB \quad (\text{yüzler basamağı } C,\text{ onlar } A,\text{ birler } B)
• BBA \quad (\text{yüzler } B,\text{ onlar } B,\text{ birler } A)
Bir sayının 2’ye tam bölünebilmesi için son basamağının (birler basamağı) çift olması gerekir:
- ABC çift ise C çifttir.
- CAB çift ise B çifttir.
- BBA çift ise A çifttir.
“Sadece bir tanesi çift” denildiğinden, A, B, C rakamlarından tam olarak birisi çifttir, diğer ikisi tektir.
2) Yalnız iki tanesi 9’a bölündüğünde 2 kalanını veriyor
3) Yalnız bir tanesi 9’a bölündüğünde 3 kalanını veriyor
Bir sayının 9’a göre kalanı, o sayının rakamları toplamının 9’a göre kalanı ile aynıdır. Bu yüzden:
- ABC sayısının 9’a göre kalanı, (A + B + C) \bmod 9
- CAB sayısının 9’a göre kalanı, (C + A + B) \bmod 9 \;(\text{aynı şekilde } A + B + C)
- BBA sayısının 9’a göre kalanı, (B + B + A) \bmod 9 = (2B + A) \bmod 9
Verilen “iki tanesi 2 kalanını, bir tanesi 3 kalanını veriyor” koşulundan ötürü şu iki durumu aynı anda sağlamalıdır:
- ABC ve CAB (yani (A + B + C)) 2 mod 9 olmalı (çünkü bu ikisi aynı kalan verir ve “sadece iki tanesi 2 kalanını veriyor” ifadesi gereği, o iki sayı aynı kalan paylaşır).
- BBA (yani (2B + A)) 3 mod 9 olmalı (çünkü üçüncüsü 3 kalanını veren tek sayıdır).
Dolayısıyla aşağıdaki sistem ortaya çıkar:
\begin{cases}
A + B + C \equiv 2 \pmod{9},\\
2B + A \equiv 3 \pmod{9}.
\end{cases}
Ayrıca A, B, C birbirinden farklı rakamlardır ve sadece birinin çift olması gerekir.
Adım Adım Çözüm
-
Tek/Çift Koşulu:
- Yalnız bir rakam çift, diğer ikisi tek olacaktır.
-
9’a Göre Kalan Koşulları:
- A + B + C \equiv 2 \pmod{9}.
- 2B + A \equiv 3 \pmod{9}.
-
Olası Değerlerin Denenmesi:
- A, B, C rakam (0–9), A \neq 0 (üç basamaklı sayı için yüzler basamağı 0 olamaz), hepsi farklı.
- “$2B + A \equiv 3 \pmod{9}$” ifadesi $2B + A$’nin 3, 12 veya 21 gibi 9’un katlarından 3 fazlası olması demektir.
- Her koşulda A + B + C \equiv 2 \pmod{9} da sağlanmalıdır.
- Ayrıca tek/çift dağılımına dikkat ederek yalnızca birinin çift olduğunu kontrol ediyoruz.
-
Uygun Çözümlerin Bulunması:
Yapılan sistematik denemede şu dörtlülerin (A,B,C) koşulları sağladığı görülür:
-
(A,B,C) = (3,\,0,\,8)
- 2B + A = 2 \cdot 0 + 3 = 3 \equiv 3 \pmod{9}
- A + B + C = 3 + 0 + 8 = 11 \equiv 2 \pmod{9}
- Tek/çift dağılımı: A=3 (tek), B=0 (çift), C=8 (çift) gerçi burada B=0 ve C=8 ikisi de çift gibi gözüküyor. Ancak 0 rakamını da “çift” kabul edersek bir fazlalık olur. Dolayısıyla bu seçenek tam olarak incelendiğinde “iki çift” çıkmaktadır. Fakat soruda “A, B, C birbirinden farklı birer rakam” denildiği için B=0 geçerli olsa bile tek-çift şartı bozulur. Bu örnek, tek-çift şartına uymuyor (çünkü 0 da çift sayılır). Bu nedenle elenmesi gerekir.
(Not: Eğer 0’ı çift olarak kabul edince iki rakam çift olmuş oluyor. Bu durumda “yalnız bir tanesi 2’ye tam bölünüyor” şartı bozulur. Dolayısıyla (3,0,8) elenir.)
-
(A,B,C) = (9,\,6,\,5)
- 2B + A = 2 \cdot 6 + 9 = 21 \equiv 3 \pmod{9}
- A + B + C = 9 + 6 + 5 = 20 \equiv 2 \pmod{9}
- Tek/çift dağılımı: A=9 (tek), B=6 (çift), C=5 (tek) → tam olarak bir çift var. Koşullar sağlanır.
-
(A,B,C) = (5,\,8,\,7)
- 2B + A = 2 \cdot 8 + 5 = 21 \equiv 3 \pmod{9}
- A + B + C = 5 + 8 + 7 = 20 \equiv 2 \pmod{9}
- Tek/çift dağılımı: A=5 (tek), B=8 (çift), C=7 (tek) → aynı şekilde bir çift vardır. Koşullar sağlanır.
-
(A,B,C) = (3,\,9,\,8)
- 2B + A = 2 \cdot 9 + 3 = 21 \equiv 3 \pmod{9}
- A + B + C = 3 + 9 + 8 = 20 \equiv 2 \pmod{9}
- Tek/çift dağılımı: A=3 (tek), B=9 (tek), C=8 (çift) → bir çift vardır. Koşullar sağlanır.
Fakat $(3,,0,,8)$’de iki çift (0 ve 8) oluştuğu için tek/çift şartına uymayıp elenmiştir. Geriye kalan geçerli üçlüler:
- (A,B,C) = (9,6,5)
- (A,B,C) = (5,8,7)
- (A,B,C) = (3,9,8)
Bu çözümlerdeki A değerleri:
- Birinci çözümde A = 9
- İkinci çözümde A = 5
- Üçüncü çözümde A = 3
-
Dolayısıyla A için mümkün değerler kümesi {3, 5, 9} şeklindedir. Yani 3 farklı A rakamı bulunmaktadır.
Özet Tablosu
| Çözüm No | A | B | C | A+B+C (mod 9) | 2B+A (mod 9) | Tek/Çift Dağılımı | Geçerli mi? |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 0 | 8 | 11 ≡ 2 | 3 ≡ 3 | A=3 (tek), B=0 (çift), C=8 (çift) | Hayır (2 çift) |
| 2 | 9 | 6 | 5 | 20 ≡ 2 | 21 ≡ 3 | A=9 (tek), B=6 (çift), C=5 (tek) | Evet |
| 3 | 5 | 8 | 7 | 20 ≡ 2 | 21 ≡ 3 | A=5 (tek), B=8 (çift), C=7 (tek) | Evet |
| 4 | 3 | 9 | 8 | 20 ≡ 2 | 21 ≡ 3 | A=3 (tek), B=9 (tek), C=8 (çift) | Evet |
Görüldüğü gibi geçerli çözümlerden çıkan A değerleri: 3, 5 ve 9’dur. Buna göre 3 farklı A rakamı mevcuttur.
Cevap: 3 farklı A rakamı vardır.
Soru: A, B ve C birbirinden farklı birer rakam olmak üzere,
ABC, CAB ve BBA
üç basamaklı doğal sayılarıyla ilgili aşağıdakiler biliniyor:
• Yalnız bir tanesi 2’ye tam bölünüyor.
• Yalnız iki tanesi 9’a bölündüğünde 2 kalanını veriyor.
• Yalnız bir tanesi 9’a bölündüğünde 3 kalanını veriyor.
Buna göre kaç farklı A rakamı vardır?
Çözüm:
-
9’a Göre Kalan Koşulları
– ABC ve CAB sayılarının rakamları aynı olduğundan (sadece yerleri farklı), bu iki sayının 9’a göre aynı kalanı vermesi gerekir.
– Verilen koşulda “Yalnız iki tanesi 9’a bölündüğünde 2 kalanını veriyor” ifadesi, ABC ve CAB’in 9’a göre 2 kalanı verdiğini gösterir.
– “Yalnız bir tanesi 9’a bölündüğünde 3 kalanını veriyor” ifadesi ise BBA’nin 9’a göre 3 kalanı verdiğini gösterir.Dolayısıyla,
• A + B + C ≡ 2 (mod 9)
• 2B + A ≡ 3 (mod 9) -
2’ye (Çift / Tek) Bölünme Koşulu
– ABC sayısı C rakamı ile biter.
– CAB sayısı B rakamı ile biter.
– BBA sayısı A rakamı ile biter.
Yalnız birinin son rakamı çift olmak zorundadır. Dolayısıyla A, B, C rakamlarından tam olarak biri çift, diğer ikisi tektir. -
Adım Adım Değer Denemesi
– A + B + C = 9k + 2 değeri, 0 ≤ B,C ≤ 9 ve 1 ≤ A ≤ 9 (üç basamaklı sayı için A ≠ 0) koşulları altında 11 veya 20 gibi değerlere eşitlenebilecek biçimde incelenir.
– 2B + A = 9m + 3 değeri ise 3, 12 ya da 21 olabilir.
– Sistematik olarak bu eşitlikleri ve “tek bir sayı çift olsun” koşulunu sağlayan (A,B,C) üçlüleri taranır.Aşağıdaki tabloda, geçerli çözümlere ulaşan adımlar özetlenmiştir:
| A | B | C | A+B+C (mod 9) | 2B+A (mod 9) | Son Rakamlar (ABC, CAB, BBA) | Çift/Tek Durumu |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 9 | 8 | 20 ≡ 2 | 21 ≡ 3 | ABC→3,9,8; CAB→9,8,3; BBA→9,9,3 | ABC son rakam 8 (çift), CAB son rakam 9 (tek), BBA son rakam 3 (tek) |
| 5 | 8 | 7 | 20 ≡ 2 | 21 ≡ 3 | ABC→5,8,7; CAB→8,7,5; BBA→8,8,5 | ABC son rakam 7 (tek), CAB son rakam 8 (çift), BBA son rakam 5 (tek) |
| 9 | 6 | 5 | 20 ≡ 2 | 21 ≡ 3 | ABC→9,6,5; CAB→6,5,9; BBA→6,6,9 | ABC son rakam 5 (tek), CAB son rakam 6 (çift), BBA son rakam 9 (tek) |
Yukarıdaki üç durumda da hem 9’a bölündüğünde istenen kalanı veren koşullar hem de “sadece bir tanesi çift” koşulu sağlanmaktadır. Her birinde A değeri sırasıyla 3, 5 ve 9 olmaktadır.
Bu nedenle A rakamı için toplam 3 farklı olası değer bulunur.
Cevap: 3