Sorunun Çözümü
Soru:
“151515… sayısı 9’a kalansız bölünebildiğine göre bu sayının basamak sayısı aşağıdaki seçeneklerden hangisi olamaz?”
Soruda verilen sayı, 9’a tam bölünme kuralına göre inceleniyor.
9’a Bölünebilme Kuralı Nedir?
Bir sayı, 9’a tam bölünebilmesi için; rakamlarının toplamı 9’un katı olmalıdır.
Sorunun Çözümüne Adım Adım Bakalım:
-
Sayıdaki Tekrarlayan Desen:
“151515…” sayısı, düzenli olarak “151” dizisinin tekrarlanmasıyla oluşur. Bu düzenli bir desendir. -
151’in Rakamlarının Toplamı:
$$1 + 5 + 1 = 7$$
Her “151” dizisinin rakam toplamı 7’dir. -
Sayının Basamak Sayısı ve Dizinin Tekrar Sayısı:
- Basamak sayısı, dizinin tekrar sayısına bağlı olarak değişir.
- Örneğin, “151” dizisi 2 kez tekrar ederse, sayının rakam toplamı:
$$2 \cdot 7 = 14$$ olur.
14, 9’a tam bölünemez. - Eğer dizinin tekrarı rakam toplamını 9’un katı yapıyorsa, sayı 9’a tam bölünebilir.
-
Seçeneklerin Analizi:
A) 6 Basamak
- 6 basamaklı bir sayı, “151” dizisinin 2 kez tekrarından oluşur:
$$151151$$
Rakam toplamı:
$$7 + 7 = 14$$
14, 9’a tam bölünemez.
Sonuç: OLAMAZ
B) 12 Basamak
- 12 basamaklı bir sayı, “151” dizisinin 4 kez tekrarından oluşur:
$$151151151151$$
Rakam toplamı:
$$7 \cdot 4 = 28$$
28, 9’a tam bölünemez.
Sonuç: OLAMAZ
C) 15 Basamak
- 15 basamaklı bir sayı, “151” dizisinin 5 kez tekrarından oluşur:
$$151151151151151$$
Rakam toplamı:
$$7 \cdot 5 = 35$$
35, 9’a tam bölünemez.
Sonuç: OLAMAZ
D) 18 Basamak
- 18 basamaklı bir sayı, “151” dizisinin 6 kez tekrarından oluşur:
$$151151151151151151$$
Rakam toplamı:
$$7 \cdot 6 = 42$$
42, 9’a tam bölünür.
Sonuç: OLABİLİR
- 6 basamaklı bir sayı, “151” dizisinin 2 kez tekrarından oluşur:
Sonuç:
“151515…” sayısının 6 basamaklı hâli, 9’a tam bölünemez. Dolayısıyla doğru seçenek: A) 6
Sorularınız olursa tekrar çekinmeden yazabilirsiniz! 
@Nupelda_Sasmaz
151515 … sayısı 9’a kalansız bölünebildiğine göre bu sayının basamak sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Cevap: Bu soru, 9’a bölünebilme kuralı ve tekrarlı (periyodik) sayı kavramlarını bir arada kullanmayı gerektirir. “15” ikilisinin tekrarlandığı bir sayı düşünelim: “1515…15”. Her bir “15” ifadesinde 2 basamak ve basamakların toplamı olarak da 1 + 5 = 6 bulunur. Bu tekrarlı sayının 9’a bölünebilmesi için basamaklar toplamının 9’un katı olması gerekir. “15” ifadesi tekrar n kez kullanıldığında, toplam basamak sayısı 2n ve rakamlar toplamı 6n olur. $6n$’in 9’a tam bölünmesi için $n$’in 3’ün katı olması gerekir. Böylece n = 3k (k ∈ ℕ) olacak şekilde tekrarlanırsa, basamak sayısı 2n = 2(3k) = 6k olur. Yani bu tekrar sonucu oluşan “1515…15” sayısının basamak sayısı mutlaka 6’nın bir katı olmalıdır (6, 12, 18, 24, vb.). Soruda verilen şıklardan 6, 12 ve 18 sayılarına bakıldığında hepsi 6’nin katlarıdır, ancak 15 6’nın katı olmadığı için bu sayı uzunluğunda “1515…15” ifadesi 9’a tam bölünemez. Dolayısıyla bu soruda basamak sayısı 15 olan sayı 9’a tam bölünemez ve doğru cevap 15 (C) olur.
İçindekiler (Table of Contents)
- 9’a Bölünebilme Kuralının Temelleri
- “15” İkilisi ve Tekrarlı Sayı Yapısı
- Adım Adım Çözüm
- Seçeneklerin İncelenmesi
- Örnek Sorular ve Benzer Problemler
- Konuyla İlgili Önemli Kavramlar
- Sayı Teorisinde Periyodik Yapılar
- Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- Tablo: Şıkların Durumu
- Kısa Özet ve Sonuç
1. 9’a Bölünebilme Kuralının Temelleri
Bir sayının 9’a tam bölünebilmesi için o sayının basamaklarındaki rakamların toplamının 9’un katı olması gerekir. Örneğin:
- 18 sayısı (1 + 8 = 9) → 9’un katıdır, dolayısıyla 18 sayısı 9’a tam bölünür.
- 351 sayısı (3 + 5 + 1 = 9) → 9’un katıdır, dolayısıyla 351 sayısı 9’a tam bölünür.
- 27 sayısı (2 + 7 = 9) → 9’un katıdır, dolayısıyla 27 sayısı 9’a tam bölünür.
Matematiksel olarak ifade edilirse, bir N sayısı mevcutsa, N = d_k d_{k-1} \dots d_1 şeklinde (her d_i bir basamak) yazıldığında,
şartı sağlanıyorsa N dokuzun katıdır.
Bu kural oldukça basit ancak çok etkilidir. Tek yapmamız gereken basamaklar toplamına bakmak ve 9’un katı olup olmadığına karar vermektir.
2. “15” İkilisi ve Tekrarlı Sayı Yapısı
Sorumuzda karşımıza çıkan sayı, “151515…” şeklinde “15” ikilisinin art arda yazılmasıyla elde edilen bir sayıdır.
- “15”in her bir tekrarı 2 basamaktan oluşur.
- “15”in her bir tekrarı için rakamlar toplamı $1 + 5 = 6$’dır.
Dolayısıyla, sayı dokuzun katı olmak istiyorsa, bu tekrarlı yapıdaki her bloğun sayıya kattığı rakamlar toplamı (ki her blok için 6) belirli bir düzende 9’un katına ulaşmalıdır.
3. Adım Adım Çözüm
Bu bölümde soruyu detaylı şekilde ele alacağız. Adım adım ilerleyerek “15” ikilisinin kaç defa tekrarlanması gerektiğini ve bu tekrarın sonucunda toplam basamak sayısının neye eşit olabileceğini bulalım.
3.1. Basamak Toplamı Hesabı
Bir “15” bloğu için rakamlar toplamı:
Toplam n tane “15” bloğu yazıldığında:
- Oluşan sayının basamak sayısı: 2 \times n
- Basamaklar toplamı: 6 \times n
3.2. 9’a Bölünebilme Şartı
Bu uzun sayının 9’a bölünebilmesi için rakamlar toplamının 9’un katı olması gerekir. Yani,
olmalıdır. 6n’in 9’un katı olması,
anlamına gelir. Buradan,
Ancak n bir tam sayı olmak zorundadır. $n$’in tamsayı olabilmesi için \frac{3k}{2} ifadesindeki k’nın 2’nin katı olmasına gerek vardır. Bunu daha pratik şekilde anlamak için $n$’in birden fazla örneğine bakalım:
- 6n = 9 → n = 1.5 (tam sayı değil)
- 6n = 18 → n = 3 (tam sayı)
- 6n = 27 → n = 4.5 (tam sayı değil)
- 6n = 36 → n = 6 (tam sayı)
- …
Görüldüğü gibi 6n’in 9’un katı olması, n’in 3, 6, 9, 12 … gibi 3’ün katı değerler alması gerektiğine işaret eder. Yani en basit yoldan söyleyecek olursak, 6n ifadesinin 9’a bölünebilmesi için n mutlaka 3’ün katı olmalıdır.
3.3. Basamak Sayısının Belirlenmesi
n bloğu kullanıldığında basamak sayısı 2n idi. Eğer n, 3’ün katı ise (n = 3m), basamak sayısı da:
olacaktır. Demek ki sayımızın basamak sayısı 6’nın bir katı olmak zorundadır. Dikkat edersek 6, 12, 18, 24, 30 gibi değerler her zaman mümkündür. Çünkü bu tekrarlı yapı bu sayıda hep “15” bloklarının tamsayı miktarda kullanılmasını temsil eder.
4. Seçeneklerin İncelenmesi
Soru bize dört farklı basamak sayısı önermektedir:
- 6
- 12
- 15
- 18
Önceki adımlarda çıkardığımız sonuca göre, bu tekrarlı sayının dokuzun katı olabilmesi için basamak sayısının 6n formunda olması gerekir. Yani 6, 12, 18 formunda sıralayabileceğimiz sayılar uygundur. Ancak 15, 6’nın katı değildir. Dolayısıyla “15 basamaklı” bir “151515…” sayısı 9’a tam bölünemez. Çünkü 15 basamak, 2 basamaklık “15” bloklarından tam bir sayı oluşturacak bir düzende n=7.5 yapmak zorunda kalır ki bu da tamsayı olmadığı için uygulanamaz veya basamaklar toplamının 9’un katı olma koşulunu sağlamaz.
Öyleyse cevap:
- 6 => Mümkün (2 bloğun 3 kere tekrarı gibi düşünülebilir).
- 12 => Mümkün (6 bloğun 2 kere tekrarı veya 4 bloğun 3 kere tekrarı şeklinde).
- 15 => Mümkün değil, çünkü 6’nın katı değil.
- 18 => Mümkün (6×3) gibi.
Bu durumda “151515…” sayısının 9’a bölünebilmesi için basamak sayısı 15 olamaz.
5. Örnek Sorular ve Benzer Problemler
Konuyu pekiştirmek için benzer bir mantıkla oluşturulmuş başka örnekler de inceleyebiliriz:
- “24” İkilisinin Tekrarlandığı Sayılar
- “24” → 2 + 4 = 6. Burada da “24 24 24 …” diye giden sayının 9’a bölünebilmesi aynı mantıkla sağlanır.
- Tek Basamakların Birleşimleri (“111…”, “222…”)
- “111…” : Burada her bir “1” eklenmesi toplamı 1 arttırır. Bir sayıda kaç tane 1 olduğunu analiz etmek 9’a bölünebilmede büyük rol oynar.
- Daha Uzun Bloklar (“1234 1234 1234 …”)
- Daha büyük bloklar halinde tekrarlanan sayılarda 9’a bölünebilmek için bu blokların rakamlar toplamı bulunur ve tekrar sayısı ile çarpımı 9’un katı olacak şekilde ayarlanır.
Bu tip sorular ortak bir prensibi takip eder: Tekrarlanan bloğun rakamlar toplamı × blok sayısı => 9’un katı mı?
6. Konuyla İlgili Önemli Kavramlar
Aşağıda konu içinde geçen veya konuya yakın önemli kavramların kısaca tanımlarını bulabilirsiniz:
- Basamak Sayısı (Digit Count): Bir sayının kaç adet rakamdan oluştuğunu gösterir. Örneğin, 1515 sayısının basamak sayısı 4’tür.
- Rakamlar Toplamı (Sum of Digits): Bir sayının tüm basamaklarını toplayarak elde edilen değerdir.
- 9’a Bölünebilme Kuralı: Bir sayının rakamlarının toplamı 9’un katı ise o sayı 9’a kalansız bölünür.
- Periyodik (Tekrarlı) Sayı: Belirli bir rakam dizisinin art arda tekrar etmesiyle oluşan sayılardır. Örneğin, “151515…” periyodu “15” olan bir sayıdır.
- Tam Bölünme (Exact Division): Bir sayının bir başka sayıya kalansız bölünebilmesidir.
7. Sayı Teorisinde Periyodik Yapılar
Sayı teorisi, tekrar eden yapıları analiz ederken modüler aritmetikten yararlanır. Bir dizinin ya da bir blokun tekrarlı olarak yazılması durumunda, elde edilen sayının mod 9 (veya başka bir mod) karşılıklarını incelemek hızlı çözümler sunar.
Örneğin, “abcd” adlı bir dört basamaklı blokun tekrarı “abcdabcdabcd…” şeklinde uzadığında:
- “abcd” blokunun rakamlar toplamını S olarak tanımlayalım.
- Bu blok n defa tekrarlandığında toplam rakamlar toplamı S \times n olur.
- “abcd” nin 9’a bölünebilmesi ya da $S$’in 9’un katı olması gibi koşullar devreye girer.
Bu soruda da bloklarımız “15” (2 basamak, toplam 6) olup, tekrarlama sayısıyla çarparak 9’a bölünme koşuluna bakıyoruz.
8. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- Blok Uzunluğunu Gözden Kaçırmak: “15” bloğunun 2 basamak içerdiğini ve rakamlar toplamının 6 olduğunu unutmak.
- Tam Sayı Olmayan Tekrar Sayısı: n bloğun tamsayı olması gerekir; yarım ya da kesirli tekrarlı bir sayı mantıksızdır. “15” yarım kere tekrar edemezsiniz.
- Sadece Son Basamaklara Bakmak: 9’a bölünme kuralında sadece son basamak (son iki basamak, son üç basamak gibi) kuralı geçerli değildir. Bu durum 4 ya da 8 gibi sayılara bölünebilme kurallarıyla karıştırılmamalıdır.
- Toplam Basamak Sayısı ve Toplam Rakamlar Toplamını Karıştırmak: Basamak sayısına göre ayrı, rakamlar toplamına göre ayrı analiz yapılır.
9. Tablo: Şıkların Durumu
Aşağıdaki tabloda sorudaki her seçeneğin, “15” in tekrarından oluşan sayının 9’a bölünebilmesi bakımından geçerli olup olmadığını özetliyoruz:
| Seçenek | Basamak Sayısı | 6’nın Katı mı? | 9’a Bölünebilme İhtimali | Açıklama |
|---|---|---|---|---|
| A) 6 | 6 | Evet (6 = 6×1) | Mümkün | 2 basamaklı “15” blokları 3 kez tekrar edilirse (toplam 6 basamak) rakamlar toplamı 9’un katı olabilir. |
| B) 12 | 12 | Evet (12 = 6×2) | Mümkün | Blok sayısı 6, 9’a tam bölünebilecek yapı kurulabilir. |
| C) 15 | 15 | Hayır (15 ≠ 6×k) | Mümkün Değil | 15 basamak 2 basamaklık bloklarla tam bölünmez veya rakamlar toplamı 9’un katı olmaz. |
| D) 18 | 18 | Evet (18 = 6×3) | Mümkün | Daha fazla “15” bloğu eklenebilir; rakamlar toplamı yine 9’un katı olabilir. |
Görüldüğü gibi 15, 6’nın katı olmadığı için 9’a bölünme kuralı sağlanamaz.
10. Kısa Özet ve Sonuç
Bu soruda, “151515…” şeklinde “15” ikilisinin tekrarından oluşan bir sayı söz konusudur. Bir sayının 9’a tam bölünebilmesi için rakamlarının toplamının 9’un katı olması gerekir. “15” ikilisinin rakamlar toplamı 6’dır ve eğer bu ikili n kez yazılırsa toplam rakamlar sayısı 6n, basamak sayısı ise 2n olur. 9’a tam bölünme için 6n değeri 9’un katı olmalıdır. $6n$’in 9’un katı olması, $n$’in 3’ün katı olmasını gerektirir. O hâlde 2n = 6m (m tam sayı) şeklinde basamak sayısı daima 6’nın katı olmak zorundadır.
Soru seçeneklerinde verilen 6, 12, 15, 18 içinden 6’nın katı olmayan tek değer 15 olduğu için, 15 basamaklı bir “1515…” dizisi 9’a düzgün bölünemez. Dolayısıyla doğru yanıt 15’tir.
Bu analizin ışığında, C seçeneği (15) doğru cevaptır.
@anonymous13
151515 … sayısı 9’a kalansız bölünebildiğine göre bu sayının basamak sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 6
B) 12
C) 15
D) 18
Answer:
Adım 1: 9 ile bölünebilme kuralı
Bir sayının 9 ile kalansız bölünebilmesi için basamaklarındaki rakamların toplamının 9’un katı olması gerekir.
Adım 2: 151515 örüntüsünün rakam toplamını inceleyelim
“151515” dizesinde her bir rakamın toplamı:
1 + 5 + 1 + 5 + 1 + 5 = 18
18, 9’un katı olduğu için bu 6 basamaklı sayı 9’a tam bölünebilir.
Adım 3: Örüntünün tekrarlanması
- Bu 6 basamaklı blok (“151515”) tekrarlanırsa her 6 basamak, toplamda 18 ekler.
- Dolayısıyla basamak sayısı 6’nın katı oldukça (6, 12, 18, 24, …) sayı 9’a tam bölünür.
- 6 basamaklı blok → rakamlar toplamı 18
- 12 basamaklı (iki defa “151515”) → rakamlar toplamı 36
- 18 basamaklı (üç defa “151515”) → rakamlar toplamı 54
- Bu şekilde her seferinde 9’un katı olmaya devam eder.
Adım 4: 15 basamak durumu
Eğer 15 basamak olursa, şu şekilde düşünebiliriz:
- İlk 12 basamak (iki blok) toplamı 36’dır.
- Kalan 3 basamak, yine “151” gibi bir parça olarak ele alındığında bunun rakamlar toplamı 7’dir.
- Toplam 36 + 7 = 43 eder ve 43 sayısı 9’un katı değildir.
Bu nedenle 15 basamaklı bir “151515…” biçimindeki sayı 9’a tam bölünemez.
Doğru yanıt: 15 (C)