Ardışık sayılar toplamı formülü

YKS TYT
1

ardışık sayılar toplamı formülü

2

Ardışık Sayılar Toplamı Formülü: Ders Notu

Ardışık sayılar matematikte temel bir konu olup, belirli bir aralıktaki sayıların toplamını hesaplamak için formüller kullanılır. Bu formüller sayesinde, ardışık sayıların toplamını hızlı ve doğru bir şekilde bulabiliriz. Bu ders notunda, ardışık sayıların toplamının nasıl hesaplanacağını detaylı bir şekilde ele alacağız.

Ardışık Sayılar Nelerdir?

Ardışık sayılar, birbirini düzenli bir şekilde takip eden sayılara denir. Bu sayılar:

  • Artış miktarı 1 olan doğal sayılar olabilir (örneğin: 1, 2, 3, 4, …),
  • Belirli bir farkla artan bir sayı dizisi de olabilir (örneğin: 2, 4, 6, 8, … ya da 5, 10, 15, …).

Temel Formül: 1’den N’e Kadar Olan Ardışık Sayılar Toplamı

En basit ardışık sayı dizisi, 1’den başlar ve belirli bir N büyüklüğüne kadar artar. Bu sayıların toplamını bulmak için şu formül kullanılır:

T = \frac{n \cdot (n+1)}{2}
  • T: Toplam
  • n: Son terim

Örnek:
1’den 10’a kadar olan sayıların toplamını bulalım.

T = \frac{10 \cdot (10+1)}{2}
T = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55

Demek ki, 1’den 10’a kadar olan sayıların toplamı 55’tir.

Genel Formül: Belirli Bir Aralıktaki Ardışık Sayılar

Eğer ardışık sayıların toplamı 1’den değil, belirli bir başlangıç (a) ve bitiş (b) noktasından oluşuyorsa, aşağıdaki formül dikkate alınır:

T = \frac{(b-a+1) \cdot (a + b)}{2}
  • T: Toplam
  • a: Başlangıç sayısı
  • b: Bitiş sayısı

Örnek:
5’ten 15’e kadar olan sayıların toplamını bulalım:

a = 5, \, b = 15
T = \frac{(15-5+1) \cdot (5+15)}{2}
T = \frac{11 \cdot 20}{2} = 110

5’ten 15’e kadar olan sayıların toplamı 110’dur.

Çift ve Tek Sayılar için Ardışık Toplamlar

Bazen yalnızca tek veya çift sayıların toplamı istenir. Bu durumda farklı yöntemler uygulanır.

Çift Sayıların Toplamı

Bir aralıktaki ardışık çift sayıların toplamını bulmak için şunları yaparız:

2 + 4 + 6 + \dots + 2n \quad \Rightarrow \quad T = n \cdot (n+1)
  • n: Çift sayıların adedi (kaç tane çift sayı olduğunu bulmamız gerekir).

Örnek:
İlk 5 çift sayının toplamını bulalım. (2, 4, 6, 8, 10)

Burada n = 5'tir:

T = 5 \cdot (5+1) = 5 \cdot 6 = 30

Bu sayıların toplamı 30’dur.

Tek Sayıların Toplamı

Bir aralıktaki ardışık tek sayıların toplamını bulmak için formül:

1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) \quad \Rightarrow \quad T = n^2
  • n: Tek sayıların adedi.

Örnek:
İlk 6 tek sayının toplamını bulalım. (1, 3, 5, 7, 9, 11)

Burada $n = 6$’dır:

T = 6^2 = 36

Toplam 36’dır.

Eşit Aralıklı (Ortaya Çıkan Farklı Diziler) Toplamı

Eğer ardışık sayı dizisinde fark k olacak şekilde belirlenmişse, toplamı şu şekilde bulunabilir:

Formül:

T = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1) \cdot k)
  • n: Eleman sayısı
  • a: İlk terim
  • k: Ortak fark

Örnek:
2’den başlayıp 2 farkla artan (2, 4, 6, 8, 10) 5 sayının toplamını bulalım.

Burada:

  • a = 2
  • k = 2
  • n = 5
T = \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot 2 + (5-1) \cdot 2)
T = \frac{5}{2} \cdot (4 + 8) = \frac{5}{2} \cdot 12 = 30

Toplam 30’dur.

Ardışık Sayılar Toplamı Formüllerinin Özeti

Tür Formül Örnek
1’den N’e kadar toplam T = \frac{n \cdot (n+1)}{2} 1 + 2 + \dots + 10 = 55
Belirli aralıkta toplam (a, b) T = \frac{(b-a+1) \cdot (a+b)}{2} 5 + 6 + \dots + 15 = 110
Çift sayıların toplamı T = n \cdot (n+1) 2 + 4 + 6 + \dots + 10 = 30
Tek sayıların toplamı T = n^2 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Ortak farkı olan dizide toplam T = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1) \cdot k) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Not:

Bu formülleri kullanırken dikkat edilmesi gereken önemli noktalar:

  1. n değerinin doğru hesaplanması: Eğer toplam için sayı adedi belli değilse, başlangıç ve bitişten bu değer hesaplanır.
  2. Farklı tür diziler: Belirli aralıklara veya farklara dikkat edilmelidir.

Bu ders notu, ardışık sayıların toplamını hızlı bir şekilde hesaplamanız için kapsamlı bir rehber niteliğindedir. Sorularınız olursa bana yazabilirsiniz! :blush: @username