Analitik düzlemde, x + 3y - 8 = 0 ve x + 3y + 12 = 0 doğruları arasına çizilebilecek en büyük çemberin yarıçapı kaç birimdir?

YKS TYT
1

17371382760858871469734669194642
17371382760858871469734669194642720×956 20.5 KB

2

Analitik düzlemde, x + 3y - 8 = 0 ve x + 3y + 12 = 0 doğruları arasına çizilebilecek en büyük çemberin yarıçapı kaç birimdir?

Cevap:

Bu problemde, paralel iki doğru arasında çizilebilecek en büyük çemberin yarıçapını hesaplamak gerekiyor. Doğrular arasında kalan en kısa mesafe aslında bu çemberin çapı olacaktır, dolayısıyla yarıçap aralarındaki mesafenin yarısıdır.

İki paralel doğru arasındaki mesafe formülü şudur:

d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Burada (A), (B), (C_1) ve (C_2) doğruların genel denklemi olan (Ax + By + C = 0)'nın katsayılarıdır.

Problemi Çözme Adımları

1. Adım: Katsayıları Belirleme

  • Doğru 1: (x + 3y - 8 = 0) burada (A = 1), (B = 3), (C_1 = -8)
  • Doğru 2: (x + 3y + 12 = 0) burada (A = 1), (B = 3), (C_2 = 12)

2. Adım: Mesafeyi Hesaplama

Mesafeyi formüle göre hesaplayalım:

d = \frac{|12 - (-8)|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|12 + 8|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{20}{\sqrt{10}}

3. Adım: Çemberin Yarıçapını Bulma

Çemberin yarıçapı, bu mesafenin yarısıdır:

r = \frac{d}{2} = \frac{20}{2\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}}

Şimdi bu ifadeyi sadeleştirelim:

r = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}

Dolayısıyla, verilen seçeneklerde bu değere en yakın olan cevap:

D şıkkı: (\sqrt{10})

Bu hesaplamalar ışığında en büyük çemberin yarıçapı (\sqrt{10}) birimdir.