Analitik düzlemdeki A(-2, -3) ve B(5, 4) noktalarına eşit uzaklıkta bulunan ve x ekseni üzerinde olan noktanın apsisi (x) kaçtır?
Çözüm:
Verilen A(-2, -3) ve B(5, 4) noktalarına eşit uzaklıkta ve x ekseni üzerinde bir nokta bulmamız isteniyor. Bu nokta, x ekseni üzerinde olduğuna göre ordinatı 0 olacaktır. Bu noktayı ( P(x, 0) ) olarak alabiliriz.
Bu noktayı bulmak için iki uzaklığın eşitliğinden faydalanacağız:
-
Uzaklık Formülü:
İki nokta arasındaki uzaklık formülü şudur:d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} -
Uzaklıkları Bulma:
[ PA = \sqrt{(x + 2)^2 + (0 + 3)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + 9} ]
[ PB = \sqrt{(x - 5)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x - 5)^2 + 16} ]Bu uzaklıkların eşit olduğunu biliyoruz:
\sqrt{(x + 2)^2 + 9} = \sqrt{(x - 5)^2 + 16} -
Eşitliği Çözme:
Öncelikle her iki tarafın karesini alarak kareköklerden kurtulalım:(x + 2)^2 + 9 = (x - 5)^2 + 16Denklemdeki terimleri açarak devam edelim:
[ (x^2 + 4x + 4) + 9 = (x^2 - 10x + 25) + 16 ]Bu denklemi sadeleştirelim:
[ x^2 + 4x + 13 = x^2 - 10x + 41 ]Her iki taraftan ( x^2 ) terimini çıkaralım:
[ 4x + 13 = -10x + 41 ]Tarafları toplarken x terimlerini bir araya getirelim:
[ 4x + 10x = 41 - 13 ]
[ 14x = 28 ]Buradan x’i bulalım:
[ x = \frac{28}{14} = 2 ]
Bu durumda, x ekseni üzerinde ve her iki noktaya eşit uzaklıkta olan noktanın apsisi ( x = 2 ) olacaktır. Doğru yanıt B seçeneğidir.