Sorunun Çözümü
Soru:
$$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2 \cdot (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^2$$ işleminin sonucu kaçtır?
Adım 1: Soruyu Yeniden Düzenleyelim
Verilen ifadede çarpanlar şu şekildedir:
Birinci ifade: 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}
İkinci ifade: 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}
Bu iki ifadenin çarpımı (a - b)(a + b) formuna benziyor. Bu formda:
Ancak soruda, bunların kareleri alınmış durumda. Dolayısıyla işlem şu şekilde:
Adım 2: (a - b)(a + b) Formunu Uygulayalım
a = 3\sqrt{2} ve b = 2\sqrt{3} olduğunu kabul edelim.
Şimdi, her terimi ayrı ayrı hesaplayalım:
- (3\sqrt{2})^2:
- (2\sqrt{3})^2:
Aradaki fark:
Bu durumda ifade şu hâle gelir:
Adım 3: Sonucu Hesaplayalım
Cevap:
Sonuç 36 olur. Doğru şık A) 36.
@username
(3√2 − 2√3)² · (3√2 + 2√3)² çarpımının sonucu kaçtır?
Answer:
Aşağıdaki adımları izleyerek ifadenin değerini bulalım:
-
İlk olarak her bir parantezi ayrı ayrı açalım:
• (3√2 − 2√3)²:
(3√2)² − 2·(3√2)·(2√3) + (2√3)²
= 9·2 − (2·3·2)√(2·3) + 4·3
= 18 − 12√6 + 12
= 30 − 12√6• (3√2 + 2√3)²:
(3√2)² + 2·(3√2)·(2√3) + (2√3)²
= 9·2 + (2·3·2)√(2·3) + 4·3
= 18 + 12√6 + 12
= 30 + 12√6 -
Şimdi bu iki sonucu çarpalım:
(30 − 12√6) · (30 + 12√6)
Bu ifade, (a − b)(a + b) = a² − b² formuna uygun olduğundan:
a = 30 ve b = 12√6 olsun.
a² = 30² = 900
b² = (12√6)² = 144·6 = 864Dolayısıyla:
(30)² − (12√6)² = 900 − 864 = 36.
Bu nedenle, (3√2 − 2√3)² · (3√2 + 2√3)² değerinin sonucu 36’dır.
@User
( (3√2 - 2√3)² · (3√2 + 2√3)² çarpımının sonucu kaçtır? )
Cevap: Bu ifadenin sonucu 36’dır.
Aşağıda bu sonuca nasıl ulaştığımızı tüm ayrıntılarıyla, adım adım ve çeşitli matematiksel kavramları açıklayarak bulabilirsiniz.
İçindekiler (Table of Contents)
- Genel Bakış ve Problem Tanıtımı
- İlgili Temel Kavramlar
- Adım Adım Çözüm
- Ayrıntılı Açılım Yöntemi (İsteğe Bağlı Derinlemesine)
- Neden (a - b)² (a + b)² = (a² - b²)²?
- Konuyla İlgili Örnekler ve Ek Açıklamalar
- Tablo: Temel Adımların Özeti
- Sıkça Sorulan Sorular (SSS)
- Kaynaklar ve Önerilen Okumalar
- Sonuç ve Özet
1. Genel Bakış ve Problem Tanıtımı
Bu problemde, iki farklı ifadenin karelerinin çarpımı sorulmaktadır:
- Birinci ifade: (3√2 - 2√3)
- İkinci ifade: (3√2 + 2√3)
Bunların ayrı ayrı kareleri alınmakta ve sonra bu kareler birbiriyle çarpılmaktadır:
(3√2 - 2√3)² · (3√2 + 2√3)².
Seçeneklere bakıldığında (36, 25, 16, 9, 4) gibi tipik kare veya tamsayı sonuçları görebiliyoruz. Bu da bize muhtemelen sonuçta “sade” bir sayı ortaya çıkacağını sezdirir. Nitekim, bu tip sorularda iki kare farkı özelliğinden faydalanmak sıkça kullanılan pratik bir yöntemdir.
2. İlgili Temel Kavramlar
Bu soruyu daha iyi kavramak için önce şu temel kavramları hatırlamak yararlı olacaktır:
2.1. Kare Açılımı (a ± b)²
Bir ifadenin karesi alınırken en çok kullanılan formüllerden biri:
$$(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2$$
Bu formülü kullanarak (3√2 - 2√3)² veya (3√2 + 2√3)² gibi açılımları yapabiliriz.
2.2. İki Kare Farkı (a - b)(a + b) = a² - b²
Eğer elimizde (a - b)(a + b) gibi bir ifade varsa, bu çarpmayı doğrudan:
$$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$
şeklinde kısa yoldan hesaplayabiliriz. Soruda (3√2 - 2√3)(3√2 + 2√3) = ? biçiminde benzer çarpımlar bulunmaktadır.
2.3. Çarpma İşleminde Dağılma Özelliği
Genelde bir polinomu veya köklü sayıları çarparken,
$$(x + y)(x + z) = x(x + z) + y(x + z)$$
gibi ilkelere dayanırız. Ancak iki kare farkı formülü çoğu zaman daha hızlı bir yol sunar.
2.4. Sayıların Kareköklerle İlgili Manipülasyonları
Köklü sayılarda ( √2, √3 vb. ) çarpma yaparken:
- √2 · √2 = 2
- √3 · √3 = 3
- √2 · √3 = √(2·3) = √6
gibi temel kurallar geçerlidir. Ayrıca katsayılar da birbirleriyle çarpılarak işlem yapılır.
3. Adım Adım Çözüm
Şimdi sorunun asıl çözümüne geçelim. Hedefimiz,
$$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2 \cdot (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^2$$
ifadesinin nihai değerini bulmaktır.
3.1. (3√2 - 2√3)(3√2 + 2√3) Hesaplaması
Öncelikle iki kare farkı formülünü (a-b)(a+b) = a² - b² kullanarak hızlı bir işlem yapalım:
• a = 3√2
• b = 2√3
Bu durumda:
$$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = (3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2.$$
Şimdi bu ifadeleri ayrı ayrı hesaplayalım:
- (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18.
- (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12.
Dolayısıyla,
$$(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 18 - 12 = 6.$$
Yani
$$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = 6.$$
3.2. Kare Alma ve Sonucu Birleştirme
Elimizdeki esas ifade, her iki ifadenin karelerini çarpmaktır:
$$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2 \cdot (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^2.$$
Bu ifade tıpkı şuna eşdeğerdir:
$$[(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})]^2$$
çünkü (a - b)^2 (a + b)^2 = [(a - b)(a + b)]^2 kimliğini kullanıyoruz.
Bir önceki adımda (3√2 - 2√3)(3√2 + 2√3) = 6 bulmuştuk. Dolayısıyla:
$$[(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})]^2 = 6^2 = 36.$$
Bu nedenle,
$$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2 \cdot (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^2 = 36.$$
Ve işte aradığımız sonuç 36 olarak bulunur.
4. Ayrıntılı Açılım Yöntemi (İsteğe Bağlı Derinlemesine)
Bu soruyu başka bir yoldan, yani doğrudan (3√2 - 2√3)² ve (3√2 + 2√3)² ifadelerinin ayrı ayrı açılımlarını yaparak da görebiliriz. Sonrasında bu açılmış iki ifadeyi çarparız. Bu yöntem, “farklı bir açıdan nasıl doğrulanır?” sorusuna cevap vermek isteyebilecekler için yararlıdır.
4.1. (3√2 - 2√3)² Açılımı
Formül: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$$
• Burada a = 3√2, b = 2√3.
- a^2 = (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18.
- -2ab = -2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{3}) = -2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = -12 \cdot \sqrt{6}.
- b^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12.
Dolayısıyla:
$$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2 = 18 - 12\sqrt{6} + 12 = (18 + 12) - 12\sqrt{6} = 30 - 12\sqrt{6}.$$
4.2. (3√2 + 2√3)² Açılımı
Formül: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$
• a = 3√2, b = 2√3.
- a^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18 (yukarıdaki gibi).
- +2ab = 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{3}) = 12 \cdot \sqrt{6}.
- b^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12.
Bu durumda:
$$(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^2 = 18 + 12\sqrt{6} + 12 = 30 + 12\sqrt{6}.$$
4.3. Bu İki Açılımın Çarpımı
Artık elimizde şu iki ifade var:
- (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2 = 30 - 12\sqrt{6}
- (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^2 = 30 + 12\sqrt{6}
Bu ikisinin çarpımı:
$$(30 - 12\sqrt{6}) \cdot (30 + 12\sqrt{6}).$$
Bu da bir iki terimli (a - b)(a + b) formu olup, çarpım yine a^2 - b^2 olarak hesaplanabilir:
- Burada a = 30, b = 12√6.
- a^2 = 30^2 = 900.
- b^2 = (12\sqrt{6})^2 = 12^2 \cdot 6 = 144 \cdot 6 = 864.
Dolayısıyla:
$$900 - 864 = 36.$$
Yine aynı sonuca ulaşıyoruz: sonuç 36.
Bu biraz daha uzun bir yöntem olsa da, adım adım açılım yaparak elde edilen sonucu doğrulamaya yardımcı olmaktadır.
5. Neden (a - b)² (a + b)² = (a² - b²)²?
Bu soru, bir kimliğin pratik kullanımını göstermektedir. Temel mantık şudur:
- (a - b)(a + b) = a² - b².
- O halde (a - b)² (a + b)² = [(a - b)(a + b)]·[(a - b)(a + b)] = (a² - b²)(a² - b²) = (a² - b²)².
Dolayısıyla, bu problemin özet çözüm mantığı tamamen bu kimliğe dayanır.
6. Konuyla İlgili Örnekler ve Ek Açıklamalar
6.1. Geometrik Bir Bakış Açısı
(a - b)(a + b) = a² - b² ifadesi, geometride dikdörtgenin alanı üzerinden de yorumlanabilir.
Örneğin, (a + b) ve (a - b) boyutlarıyla ilgili bazı geometrik şekillerin alan farkları, kare farkı prensibine karşılık gelebilir.
6.2. Karekök ve Benzeri Sorularda Sık Yapılan Hatalar
- √2 ile √3’ü çarparken otomatik olarak √5, √6 veya farklı sonuçları yanlış hatırlayabiliyoruz. Doğrusu: √2 · √3 = √(2·3) = √6.
- Dağılma özelliğini atlayarak, sadece 3√2’yi 3√2 ile ve -2√3’ü 2√3 ile çarpmak gibi işlemler eksik veya hatalı netice verebilir.
- Negatif işareti unutulması veya -2ab terimini +2ab yazmak büyük hatalara yol açabilir.
7. Tablo: Temel Adımların Özeti
Aşağıdaki tablo, bu problemi çözmek için uyguladığımız önemli adımları kısaca özetler:
| Adım | Yapılan İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. (3√2 - 2√3)(3√2 + 2√3) hesaplama | (a - b)(a + b) = a² - b² formülüyle iki terimin basit çarpımı | 18 - 12 = 6 |
| 2. Kare alma | ( (3√2 - 2√3)(3√2 + 2√3) )² | 6² = 36 |
| 3. Sonuç | (3√2 - 2√3)² · (3√2 + 2√3)² = [(3√2 - 2√3)(3√2 + 2√3)]² | 36 |
| 4. Doğrulama (ayrıntılı açılım) | (3√2 - 2√3)² = 30 - 12√6 (3√2 + 2√3)² = 30 + 12√6 Bu ikisini çarpınca da (30 - 12√6)(30 + 12√6) = 900 - 864 = 36 |
Tekrar 36 sonucuna varılır |
8. Sıkça Sorulan Sorular (SSS)
-
Bu tip sorularda kısa çözüm yöntemi nedir?
- Sıkça kullanılan kısa çözüm yöntemi,
(a - b)² (a + b)² = (a² - b²)²formülünü uygulamaktır.
- Sıkça kullanılan kısa çözüm yöntemi,
-
Köklü sayılarda toplama-çıkarma yaparken nelere dikkat etmeliyiz?
- Benzer kökleri toplar veya çıkarabilirsiniz. Örneğin, 3√2 + 2√2 = 5√2 gibi. Ancak √2 ve √3 gibi farklı kökler doğrudan toplanamaz, sadece çarpma veya çarpımın sonucu gerekebileceği şekilde sadeleştirilir.
-
Kare açılımlarında en sık yapılan hata nedir?
- Genellikle -2ab veya +2ab teriminin hesaplanmasında katsayılar doğru çarpılmadığında veya işaret unutulduğunda ortaya çıkan hatalar sık görülür.
-
(3√2 - 2√3)³ veya benzeri ifadeler nasıl çözülür?
- Küp açılımı formülü $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3` şeklindedir. Ama bu problemde yalnızca kareler yer aldığı için küp açılımına girmemize gerek kalmadı.
-
Bu tip kareköklü ifadeler hangi sınavlarda karşımıza çıkar?
- TYT, AYT, çeşitli lise veya üniversite çıkış sınavlarında, matematik testlerinde sıkça karşılaşılabilecek bir soru biçimidir.
9. Kaynaklar ve Önerilen Okumalar
- OpenStax “College Algebra”: ABD’de yaygın kullanılan, çevrimiçi erişilebilen bir ders kitabıdır. Kökler, polinomlar ve benzeri konuları kapsar.
- Matematik Özel Ders Notları (Ulusal): Herhangi bir lise-üniversite hazırlık kaynağında “İki Kare Farkı”, “Kare Açılımları” bölümlerinde benzer örnekler bulunabilir.
- Türkiye’deki MEB Lise Matematik Kitapları: 9. ve 10. sınıf matematik müfredatında yer alan polinomlar ve köklü sayıların çarpım kuralları.
Bu konuları daha derin incelemek istiyorsanız, farklı yayınların (a - b)(a + b) = a² - b² benzeri formüllere dair anlatımlarına bakabilirsiniz.
10. Sonuç ve Özet
Bu soruda,
$$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2 \times (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^2$$
ifadesinin değerini bulmak amaçlanmıştır. Kısa ve etkili çözüm yolu şu şekildedir:
- (a - b)(a + b) = a² - b² formülüyle, (3√2 - 2√3)(3√2 + 2√3) basitçe hesaplanır ve 6 bulunduğu görülür.
- Ardından bu ifadenin karesi, 6² = 36 şeklinde sonuçlanır.
Ayrıntılı açılım yöntemi de aynı sonuca götürmektedir. Her iki yaklaşım da bu tip “kare açılımlı ve köklü ifadelere” sahip sorular için geçerlidir. Böylelikle, doğru seçenek 36 olmaktadır.
Matematikte bu tip kimlikleri (a - b)² (a + b)² = (a² - b²)² bilmek, özellikle hız kazandırdığı için birçok sınavda çözüm kolaylığı sunar. Öte yandan, adım adım detaylı açılımla da sonucun tutarlı olduğunu doğrulamayı ihmal etmemek her zaman iyidir.
Sonuç olarak,
(3√2 - 2√3)² (3√2 + 2√3)² = 36
şeklinde netleştirilir.