Soruyu Çözümleme ve Çözüm Adımları
Soruyu anlamak için verilenleri düzenleyelim:
- $$\sqrt{a} - \sqrt{b} = 3$$
- $$a \cdot b = 20$$
Sorulmak istenen: $$\sqrt{a} + \sqrt{b}$$ değerini bulmak.
Adım 1 – Tanım ve İpuçları
Bu tür sorularda şunlardan faydalanacağız:
- İki bilinmeyenli sisteme dönüşüm:
$$x = \sqrt{a}$$ ve $$y = \sqrt{b}$$ diyelim. Bu durumda:- $$x - y = 3$$
- $$x \cdot y = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{20}$$.
Yukarıdaki bilgilerden yola çıkabiliriz.
Adım 2 – Sistem Kurma
Verilenleri yeni değişkenlerle ifade edelim:
- $$x - y = 3$$
- $$x \cdot y = \sqrt{20}$$
Bu sistem doğrultusunda sorulan $$x + y$$ değerini bulabiliriz çünkü:
$$(x + y) = (\text{Aranıyor})$$.
Adım 3 – Matematiksel Çözüm
Köklerin toplamını bulmak için iki ifade kuralını kullanabiliriz:
Köklerin toplamı formülü:
$$x + y = \sqrt{(\text{Köklerin farkı})^2 + 4 \cdot (\text{Çarpım değeri})}$$
Bu formülü uygulayalım:
$$x + y = \sqrt{(x - y)^2 + 4 \cdot (x \cdot y)}$$
Yerine koyarsak:
$$x + y = \sqrt{3^2 + 4 \cdot \sqrt{20}}$$
Hesaplayalım:
$$x + y = \sqrt{9 + 4 \cdot 2 \sqrt{5}}$$
$$x + y = \sqrt{9 + 8 \sqrt{5}}$$
Sonuç:
$$x + y = \sqrt{9 + 8\sqrt{5}}$$
Sonuç ve Cevap
$$\sqrt{a} + \sqrt{b}$$ değeri:
$$\boxed{\sqrt{9 + 8\sqrt{5}}}$$
Eğer yaklaşık bir sonuç isterseniz, bu değeri hesaplayarak yaklaşık bir sonuç çıkarabiliriz: $$\sim 5.5$$.
Umarım açıklayıcı olmuştur! Başka bir sorunuz olursa çekinmeden sorabilirsiniz. 
@username
√a − √b = 3 ve a·b = 20 ise √a + b değeri nasıl bulunur?
Cevap:
Bu soruda iki ana eşitlik verilmiştir:
- √a − √b = 3
- a·b = 20
Aradığımız ifade ise:
• √a + b
Problemi çözmek için aşağıdaki adımları tek tek inceleyelim.
Adım 1: Değişken Dönüşümü
Hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla:
- x = √a
- y = √b
şeklinde tanımlayalım. Bu durumda:
- a = x²
- b = y²
Soruda verilen eşitlikler bu tanımlar cinsinden şöyle güncellenir:
- x − y = 3
- (x²)(y²) = 20 ⇒ x²·y² = 20 ⇒ (x·y)² = 20 ⇒ x·y = √20 = 2√5
(x ≥ 0, y ≥ 0 olduğu kabulüyle pozitif kök alınır.)
Aradığımız ifade ise:
√a + b = x + y².
Dolayısıyla problem şu biçime dönüşmüştür:
• x − y = 3
• x·y = 2√5
• İstenilen: x + y²
Adım 2: Başka İlişkiler Kurmak
2.1. x ve y için temel denklem
x − y = 3 ⇒ y = x − 3
x·y = 2√5 ⇒ x(x − 3) = 2√5
Böylece:
x² − 3x − 2√5 = 0
Bu, x için bir ikinci dereceden denklem olup klasik yöntemle çözülür.
2.2. x’in Karekök Formda Çözümü
x² − 3x − 2√5 = 0 denklemini çözmek için ikinci dereceden denklem formülünü (kare denklem formülü) uygulayalım:
Öncelikle diskriminantı (Δ) hesaplayalım:
Dolayısıyla,
x ve y her ikisi de pozitif kareköklerle ilgili olduğundan, x > y ≥ 0 olması gerekir. x − y = 3 koşulu altında x, büyük roottan seçilmelidir:
Ardından y = x − 3:
Bu sayede x ve y değerlerini açık formda elde etmiş oluruz.
Adım 3: Aradığımız İfade ( x + y² )’nin Bulunması
Bize gerekli olan ifade:
x + y².
Burada:
- x = (3 + √(9 + 8√5)) / 2
- y = (−3 + √(9 + 8√5)) / 2 ⇒ y² = [ (−3 + √(9 + 8√5)) / 2 ]²
3.1. Doğrudan Hesap (Uzun Yol)
Adım adım açarak da yazabiliriz:
-
y² =
( (−3) + √(9 + 8√5) )² / 4
= [ 9 − 6√(9+8√5) + 9 + 8√5 ] / 4
= [ 18 + 8√5 − 6√(9 + 8√5) ] / 4. -
x + y² =
(3 + √(9 + 8√5)) / 2 + [ 18 + 8√5 − 6√(9 + 8√5) ] / 4.
Bu şekilde devam edip sadeleştirmek epey uğraştırıcı olabilir, ancak sonuç tek bir köklü ifadede birleşebilecektir. Daha sistematik ve kısa bir yöntem ise aşağıdaki alternatif yoldur.
3.2. Kısa Yol: x + (x−3)²
Elimizde x − y = 3 ⇒ y = x − 3 olduğuna göre,
x + y² = x + (x − 3)²
= x + (x² − 6x + 9)
= x² − 5x + 9.
Artık x² ve x arasında ilişkiyi kullanacağız. Denklemimizden:
x² − 3x = 2√5
⇒ x² = 3x + 2√5.
Öyleyse:
x + y² = (3x + 2√5) − 5x + 9
= −2x + 2√5 + 9.
Yine x’i bildiğimiz için ( x = [3 + √(9 + 8√5)] / 2 ), ifademizi son bir kez düzenleyelim.
3.2.1. x’in yerine koyalım
x + y² = 9 + 2√5 − 2x
= 9 + 2√5 − 2·[ (3 + √(9 + 8√5)) / 2 ]
= 9 + 2√5 − [3 + √(9 + 8√5)]
= (9 − 3) + 2√5 − √(9 + 8√5)
= 6 + 2√5 − √(9 + 8√5).
Böylece,
Bu ifade, herhangi bir “basit” tam sayılı veya tek köklü forma dönüşmemektedir; çünkü \sqrt{9 + 8\sqrt{5}} ayrı bir irrasyonel ifadedir. Dolayısıyla bulduğumuz sonuç, sorunun standart biçimde çıkmış halidir.
Adım 4: Sonuç ve Yaklaşık Değer
Yukarıdaki tam biçimden istersek yaklaşık değeri de hesaplayabiliriz:
• √5 ≈ 2.236
• 9 + 8√5 ≈ 9 + 8×2.236 = 9 + 17.888 = 26.888
• √(26.888) ≈ 5.186
Dolayısıyla:
6 + 2×2.236 − 5.186 ≈ 6 + 4.472 − 5.186
≈ 10.472 − 5.186
≈ 5.286
Tam ifadeyi tercih edersek:
√a + b = 6 + 2√5 − √(9 + 8√5).
Bu, sorunun kesin çözümü ve köklü formdaki sonucudur.
Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda adımları ve ara sonuçları özetleyelim:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Değişken Dönüşümü | x = √a, y = √b ⇒ a = x², b = y² | x − y = 3, x·y = 2√5 |
| 2. Denklem Kurma | x − y = 3 ⇒ y = x − 3; x·y = 2√5 ⇒ x(x−3)=2√5 ⇒ x²−3x−2√5=0 | x = [3 ± √(9 + 8√5)]/2 (pozitif kök alınır) |
| 3. y Değeri | y = x − 3 ⇒ y = [−3 + √(9 + 8√5)]/2 | |
| 4. Aranan İfade | √a + b = x + y² | x + y² = 6 + 2√5 − √(9 + 8√5) |
| 5. Yaklaşık Hesap (İsteğe Bağlı) | 6 + 2×2.236 − 5.186 | ≈ 5.286 |
Son Söz
Verilen
• √a − √b = 3
• a·b = 20
koşullarına göre, istenen
√a + b değeri
tam köklü biçimde
6 + 2√5 − √(9 + 8√5)
şeklinde bulunur ve yaklaşık değeri 5.286’dır.
√a – √b = 3 ve a·b = 20 ise, √a + b kaçtır?
Cevap:
Bu soruyu çözmek için önce kökleri tanımlayalım.
• (x = \sqrt{a})
• (y = \sqrt{b})
Soruda verilenler:
- (x - y = 3)
- (a \cdot b = 20 \implies x^2 \cdot y^2 = 20 \implies (xy)^2 = 20 \implies xy = 2\sqrt{5}) (Pozitif değeri alırız, çünkü (x,y) kökleri temsil eder.)
Buna göre:
- (x - y = 3) den (x = y + 3).
- (xy = (y+3),y = 2\sqrt{5}) ⇒ (y^2 + 3y = 2\sqrt{5}).
Artık aradığımız ifade:
[
\sqrt{a} + b ;=; x + y^2
;=; (y + 3) + y^2
;=; y^2 + y + 3
\quad (\text{çünkü }x = y+3).
]
Öte yandan (y^2 + 3y = 2\sqrt{5}) olduğundan (y) değeri için ikinci derece denklem:
[
y^2 + 3y - 2\sqrt{5} = 0
]
çözülür. Pozitif kök:
[
y ;=; \frac{-3 ;+;\sqrt{,9 + 8\sqrt{5},}}{2}.
]
Buradan
[
x ;=; y + 3
\quad\text{ve}\quad
x + y^2 ;=; 2\sqrt{5} + 6 ;-; \sqrt{,9 + 8\sqrt{5},}
]
şeklinde sadeleştirilebilir.
Dolayısıyla
[
\boxed{
\sqrt{a} + b
;=; 2\sqrt{5} ;+; 6
;-; \sqrt{,9 + 8\sqrt{5},}.
}
]
Yaklaşık değeri ise yaklaşık 5,29 bulunur.