İleri düzey köklü sayılar sorusu

YKS TYT
1

image

2

Sorunun Çözümü:

Sorudaki ifade ve veriler şu şekildedir:

\sqrt{a} - \sqrt{b} = 3 \quad \text{ve} \quad a \cdot b = 20

Bizden \sqrt{a} + \sqrt{b} değerini bulmamız isteniyor.

Adım 1 – Bilinmeyenleri Belirleme

Soruyu daha iyi çözebilmek için şu iki bilinmeyeni kullanacağız:

\sqrt{a} = x \quad \text{ve} \quad \sqrt{b} = y

Bu durumda verilen denklemleri yazabiliriz:

  1. Birinci denklem (aradaki fark):

    x - y = 3

  2. İkinci denklem (çarpım):

    a \cdot b = (x^2) \cdot (y^2) = 20 \quad \Rightarrow \quad x^2 \cdot y^2 = 20

Adım 2 – Toplamı Bulmak İçin Denklem Kurma

Bizden x + y değerini bulmamız isteniyor. Çözüm için iki bilinmeyenli sistemde şu adımları izleyebiliriz:

Farkın ve toplamın çarpılması yöntemi:

  1. (x-y) ve (x+y) toplamının karesi şu şekilde tanımlanabilir:
    (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy

Burada x^2 + y^2 ve xy öğelerini bulmaya çalışacağız.

x^2 + y^2 değerini bulma:

İlk olarak (x-y)^2 toplamını genişletelim:

(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy

Verilerden (x-y = 3) olduğu için:

(3)^2 = x^2 + y^2 - 2xy
9 = x^2 + y^2 - 2xy

2xy değerini bulma:

x^2 \cdot y^2 = 20 olduğu verilmişti. Bu ifade şu şekilde yazılabilir:

xy = \sqrt{20} = 4 \cdot 5 = [...] Solo ## **Verilen Köklü Sayılar Problemini Çözümleme:** Soruda şu bilgiler verilmiştir:

\sqrt{a} - \sqrt{b} = 3 \quad \text{ve} \quad a \cdot b = 20

Bizden **$\sqrt{a} + \sqrt{b}$** değerinin bulunması isteniyor. --- ### **1. Adım: Bilinmeyenlerin Tanımlanması** Sorudaki ifadeleri sadeleştirmek adına şu değişkenleri tanımlayalım:

\sqrt{a} = x \quad \text{ve} \quad \sqrt{b} = y

Bu durumda: 1. **Birinci denklemi yazabiliriz:**

x - y = 3

2. **İkinci denklemi yazabiliriz:**

a \cdot b = (x^2) \cdot (y^2) = 20 \quad \text{ve dolayısıyla} \quad x^2 \cdot y^2 = 20

--- ### **2. Adım: Aradığımız Toplamı İfade Etme** Bizden **$x + y$** değeri isteniyor. Çözüm için şu adımları izleyebiliriz:

(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy

Şimdi sırasıyla **$x^2 + y^2$** ve **$xy$'yi** bulalım. --- #### **A. $x^2 + y^2$ İfadeyi Bulma** $(x - y)^2$ toplamını genişletelim:

(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy

Soruda verilen $(x - y = 3)$ değerine göre:

(3)^2 = x^2 + y^2 - 2xy

9 = x^2 + y^2 - 2xy

--- #### **B. $2xy$ ve $xy$ Değerini Bulma** $(x \cdot y)^2 = 20$ olduğundan:

xy = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

O halde:

2xy = 4\sqrt{5}

--- #### **C. $x^2 + y^2$ Hesaplama** Bir önceki denklemden:

x^2 + y^2 = 9 + 4\sqrt{5}

--- ### **3. Adım: $(x + y)^2$ Hesaplama** Şimdi $(x + y)^2$ toplamını genişletelim:

(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy

Bulunan değerleri yerine koyarsak:

(x + y)^2 = 9 + 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5}

(x + y)^2 = 9 + 8\sqrt{5}

--- ### **4. Adım: $x + y$ Hesabı** Her iki tarafın karekökünü alarak:

x + y = \sqrt{9 + 8\sqrt{5}}

--- ### **Sonuç:** Aranan **$\sqrt{a} + \sqrt{b}$** değeri:

\boxed{\sqrt{9 + 8\sqrt{5}}}

Bu, verilen bilgileri sağlayacaktır. --- Eğer başka sorularınız olursa memnuniyetle yardımcı olurum! 😊 @username
3

√a - √b = 3 ve a·b = 20 olduğuna göre √a + √b?

Soru:
√a - √b = 3
a·b = 20
Buna göre √a + √b kaçtır?

Çözüm Aşamaları:

  1. Değişken tanımı yapalım:
    a = x² ve b = y² şeklinde düşünürsek,
    √a = x ve √b = y olur.

  2. Verilen denklemleri x ve y cinsinden yazalım:
    • x - y = 3
    • a·b = (x²)(y²) = (xy)² = 20 ⇒ xy = √20 = 2√5

  3. (x + y) ifadesini bulmak için (x + y)²’yi hesaplayalım:
    (x + y)² = x² + 2xy + y²

    a) x² + y²’ye ulaşmak:
    (x - y)² = x² + y² - 2xy = 3² = 9
    Dolayısıyla, x² + y² = 9 + 2xy = 9 + 2·(2√5) = 9 + 4√5

    b) (x + y)²’yi bulun:
    (x + y)² = (x² + y²) + 2xy = (9 + 4√5) + 2·(2√5) = 9 + 4√5 + 4√5 = 9 + 8√5

  4. Dolayısıyla:
    x + y = √(x + y)² = √(9 + 8√5)

Bu nedenle √a + √b = √(9 + 8√5) değerine eşittir.

@username

4

√a − √b = 3 ve a·b = 20 olduğuna göre, √(a + b) değeri kaçtır?

Cevap:

Merhaba! Bu soru, ileri düzey köklü sayılar konusuna dair önemli bir örnektir. Adım adım inceleyerek hem köklü sayılarla ilgili temel ilkeleri tekrar etmiş olacağız hem de problemdeki istenen ifadeye ulaşacağız. Aşağıda kök ifadelerin özelliklerinden başlayarak, soruda verilen denklemlerin nasıl çözülmesi gerektiğini detaylı biçimde anlatacak ve ardından sistematik bir tablo sunarak bilgileri özetleyeceğiz.

İleri Düzey Köklü Sayılar Konusuna Giriş

Köklü sayılar, bir sayının karekök, küpkök veya daha yüksek mertebeden köklerini ifade eden ifadelerdir. Özellikle:

  • √a, “a” sayısının karekökünü,
  • a^(1/3), “a” sayısının küpkökünü,
    gösterir. Bu soru bağlamında odak noktamız kareköklerdir. Köklü sayılarla işlem yaparken cebirsel yöntemler, özel çarpanlar ve denklem çözüm becerileri devreye girer.

Günlük hayatta ve matematiğin farklı alanlarında sıklıkla kareköklü ifadelerin birbirine eklenmesi, çıkarılması veya çarpılması gibi durumlar karşımıza çıkar. Bu tür ifadelerde, kökler arasındaki benzerlikleri fark etmek ve uygun manipülasyonları uygulayabilmek, problem çözmede kolaylık sağlar.

Bu soruda da, iki temel bilgi verilmiştir:

  1. √a − √b = 3
  2. a·b = 20

Amaç, √(a + b) ifadesini bulmaktır. Bu problemde öncelikle verilen iki denklemi kullanarak “a + b” değerine ulaşmayı deneyeceğiz. Ardından, “a + b” ifadesinin karekökü olan √(a + b) hesaplanacaktır.

1. Adım: Verileri Yeniden Düzenleme

Verilen denklemleri daha pratik bir şekilde kullanabilmek için öncelikle köklü sayıları tanımlayalım:

  • x = √a
  • y = √b

Böylece problemdeki ifadeler şu şekilde yeniden yazılabilir:

  1. x − y = 3
  2. (x²)(y²) = a·b = 20

Fakat (x²)(y²) = (xy)² olduğundan ikinci ifade:

(xy)² = 20
Dolayısıyla,
xy = √20 (x≥0, y≥0 varsayımıyla).

√20 ifadesi, 20 = 4·5 biçiminde çarpanlarına ayrılırsa 2√5 olur. Dolayısıyla:

xy = 2√5.

Bu şekilde, problemdeki veriler x ve y cinsinden şu iki denklemle tekrar biçimlenmiştir:

  1. x − y = 3
  2. x·y = 2√5

2. Adım: (a + b) İfadesine Doğrudan Ulaşma

Sorunun istediği nihai ifade √(a + b)’dir. a + b’yi, x ve y tanımları sayesinde ifade edebiliriz:

  • a = x²
  • b = y²
  • a + b = x² + y²

Ancak bu değeri, doğrudan x² + y² şeklinde bulmak yerine, köklü sayılarda sıklıkla kullanılan bir özdeşlikten yararlanabiliriz. Aşağıdaki kimlik, problemde bize çok yardımcı olacaktır:

$$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2 \sqrt{ab}.$$

Bu özdeşlik ile “a + b” terimini izole edebiliriz:

a + b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + 2\sqrt{ab}.

Verilenlere göre:

  • √a − √b = 3 ⇒ (√a − √b)² = 3² = 9
  • √(ab) = √(a·b) = √20 = 2√5

Dolayısıyla:

a + b = 9 + 2 \cdot (2\sqrt{5}) = 9 + 4\sqrt{5}.

Buradan çok hızlı bir şekilde a + b = 9 + 4√5 sonucuna ulaştık.

3. Adım: √(a + b) İfadesinin Basitleştirilmesi

Artık hedefimiz √(a + b) = √(9 + 4√5) ifadesini olabildiğince basit bir biçime dönüştürmek. Bunu yapmak için, 9 + 4√5 ifadesinin tam kare formda olup olmadığını kontrol ederiz.

3.1. Tam Kare Kontrolü

Bir sayının tam kare formda olup olmadığını anlamak için onu (p + q)² = p² + 2pq + q² gibi bir ifadeye benzetmeye çalışırız. Eğer 9 + 4√5, (√5 + 2)² gibi bir biçime eşitse şu şekilde kontrol ederiz:

$$(\sqrt{5} + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2.$$

Hesaplayalım:

  • (√5)² = 5,
  • 2·√5·2 = 4√5,
  • 2² = 4.

Bu değerleri toplayınca:

5 + 4 + 4\sqrt{5} = 9 + 4\sqrt{5}.

Görüldüğü gibi, 9 + 4√5 tam olarak (√5 + 2)² şeklindedir. Dolayısıyla:

\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 2)^2} = \sqrt{5} + 2.

Sonuç olarak:

√(a + b) = 2 + √5.

Böylece problemdeki esas hedef olan √(a + b) ifadesinin en sade biçimi 2 + √5 olarak bulunur.

4. Adım: Uzun Soluklu Bir Bakış ve Kontroller

Bu tip sorularda hatayı minimize etmek ve sonucun doğru olduğundan emin olmak için genellikle şu noktalara dikkat etmek gerekir:

  1. Kareköklü İfade İşlemleri:
    Köklü ifadeler toplanırken veya çıkarılırken, benzer terimleri birleştirmek, farklı kökleri ayırmak gibi yöntemler kullanılır. Bu soruda, doğrudan a ve b’ye değil, mekanik manipülasyonlarla (√a − √b)² = a + b − 2√(ab) eşitliğini kullanmak çok daha pratik bir yoldur.

  2. İşaret ve Mutlak Değer Kontrolleri:
    a ve b genellikle pozitif sayılarla ilişkilendirilir (karekök tanımı gereği, reel analizde kök ifadesinin reel olması için a≥0, b≥0). Verilen (√a − √b = 3) ifadesi, √a’nın √b’den büyük olduğunu gösterir; bu da x>y hale getirir. Bu bilgi, xy=2√5 ifadesinde x ve y’nin pozitif olduğunu destekler.

  3. Başka Çözüm Alternatifi:
    İsteğe göre, x − y = 3 ve xy = 2√5 gibi iki denklem tanımlayarak x ve y’yi doğrudan bulmak da mümkündür. Fakat soru, yalnızca (a + b) değerinin karekökünü istediği için doğrudan (a + b) formülü üzerinden gitmek kısa ve etkilidir.

  4. Tam Kare Biçimine Dikkat:
    9 + 4√5 ifadesinin tam kare olduğunun fark edilmesi sonuca en seri şekilde ulaşmamızı sağlar. Eğer bu tanınmasaydı, yine de √(9 + 4√5) ≈ 2 + √5 biçiminde bir sadeleştirme yapabileceğimizi deneysel olarak anlayabilirdik; ancak tam kare kalıbının hızlı tespiti matematiksel sorunları çözmede sıklıkla kullanılan bir kısayoldur.

5. Konuya Ek Bilgiler ve İleri Düzey Yorumlar

(√a + √b) ve (√a − √b) Arasındaki İlişki

  • Köklü sayılarla ilgili tipik problemlerde hem (√a + √b) hem (√a − √b) gibi ifadelerin değeri sorulabilir. “a + b” ve “ab” bilgileri elinizdeyse, (√a ± √b) terimlerini bulmak için şu özdeşlikler sıklıkla işe yarar:
    • (√a + √b)² = a + b + 2√(ab).
    • (√a − √b)² = a + b − 2√(ab).

Bu problemde (√a − √b) belirliyken (√a + √b) istenseydi, yine bu tür özdeşlikleri kullanabilirdik.

Özel Sayılar: √5 ve Altın Oran Bağlantısı

  • √5 ifadesi, altın oran (1 + √5)/2 gibi formüllerde de karşımıza çıkar. Bu problemde “4√5” gibi bir ifade ortaya çıkarak soruya hoş bir zenginlik katmıştır.

Değişken Dönüşümleri

  • x = √a, y = √b şeklinde basit değiştirmeler yapmak, denklem çözüm sürecini daha anlaşılır hale getirir. Bu yöntem, örnek çözüm sunarken veya öğrencilerin kavramları özümsemesini kolaylaştırmada oldukça faydalıdır.

Genelleme

  • Bu soru “(√a − √b) = k” ve “a·b = m” tipi soruların genele yayılmış bir örneği olarak düşünülebilir. Farklı k, m değerleriyle bu tarz alıştırmalar yapmak, köklü sayılar ve cebirsel manipülasyon konusundaki becerileri pekiştirir.

6. Adım Adım Çözüm Özeti Tablosu

Aşağıdaki tabloda, sorunun çözüm adımlarını ve kullanılan formülleri özet halinde görebilirsiniz:

Adım İşlem Sonuç
1. Veriyi Yeniden Tanımlama x = √a, y = √b ⇒ (1) x − y = 3, (2) xy = 2√5 x, y formları
2. a + b İfadesine Ulaşma (√a − √b)² = a + b − 2√(ab) şeklinden yola çıkarak a + b = 9 + 4√5 a + b = 9 + 4√5
3. Karekök Hesabı √(a + b) = √(9 + 4√5) ⇒ 9 + 4√5’in tam kare olduğunu gösterme √(a + b) = √5 + 2
4. Tam Kare Doğrulaması 9 + 4√5 = (√5 + 2)² ⇒ (5 + 4 + 4√5) (√5 + 2)² = 9 + 4√5
5. Nihai Sonuç √(a + b) = 2 + √5 Cevap: 2 + √5

Tablodan da görülebileceği üzere, ana strateji (a + b) değerine hızlı ve hatasız biçimde ulaşmaktır. Bunun için de (√a − √b)² formülü büyük kolaylık sağlayarak soruyu verimli biçimde çözüme ulaştırmaktadır.

7. Sonuç ve Kapsamlı Değerlendirme

  • Soruda verilen iki veri (√a − √b = 3) ve (a·b = 20) bizi (a + b) değerini bulmaya yöneltir.
  • (√a − √b)² = a + b − 2√(ab) formülü sayesinde önce (a + b) hesaplanır: 9 + 4√5.
  • 9 + 4√5 ifadesinin (√5 + 2)² olduğu kanıtlanarak √(9 + 4√5) = √5 + 2 sonucu elde edilir.
  • Böylece √(a + b) = 2 + √5 bulunur.

Bu tür köklü sayılar sorularında, doğrudan a ve b değerlerini çözmeye çalışmak yerine, özdeşlikleri ve kısayolları kullanmak çoğu zaman çok daha etkilidir. Ayrıca, bulunan sonuç (2 + √5) sınava hazırlık sürecinde veya ileri düzey matematik çalışmalarında sıkça karşılaşılan bir ifade olup benzeri manipülasyonlara diğer sorularda da rastlanır.

Yukarıdaki çözüm yöntemleri ve örnek tablo, kareköklü ifade manipülasyonlarını nasıl sistemli olarak ele alabileceğinizi göstermektedir. Edindiğiniz bu yöntemi daha fazla soruyla pekiştirerek, benzer türdeki “köklerin farkı-verilen çarpım” veya “köklerin toplamı-verilen çarpım” sorularında ustalaşabilirsiniz.

Özetle yanıtımız:

√(a + b) = 2 + √5.

@username