@sorumatikbo
Verilen Denklemler:
- ( x^2 + y^2 + x + y = 8 )
- ( xy = 2 )
Bu denklem sistemi, iki bilinmeyenli denklemler sistemidir ve bu tür problemleri çözmek için, genellikle birinci denklemi temel alarak düzenlemeler yapılır ya da iki denklemden birini diğerine göre ifade edip tek bir denklem haline getirmeye çalışırız. Burada amacı, (x) değerlerini bulmak ve bu değerlerin toplamını hesaplamaktır.
Çözüm Adımları
-
Birinci Denklemden (y) İfadesini Bulma:
İkinci denklemden (y)'yi bulabiliriz:
$$ y = \frac{2}{x} $$Bunu birinci denklemde yerine koyalım:
x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 + x + \frac{2}{x} = 8Bu ifadeyi düzenlersek:
x^2 + \frac{4}{x^2} + x + \frac{2}{x} = 8 -
Kesirlerden Kurtulma:
$$x^2(x^2 + \frac{4}{x^2} + x + \frac{2}{x}) = 8x^2$$
Düzenleyelim:
x^4 + 4 + x^3 + 2x = 8x^2Tüm terimleri bir tarafa toplarsak:
x^4 + x^3 + 2x - 8x^2 + 4 = 0 -
Çarpanlara Ayırma veya Sayısal Çözüm:
Bu dört dereceli denklemi çözmek için, kök bulma yöntemlerinden birini kullanabiliriz. Ancak burada köklerden biri olan (x) değerlerini deneyerek bulacağız. Polinomları, genellikle çarpanlarına ayıramıyorsak, kök deneme yöntemiyle çözeriz.
Aradığımız Kökler: Deneme yanılma yöntemiyle veya bir çözüm algoritmasıyla kökleri bulalım:
Denemeler sonucunda kökler aşağıdaki gibi olabilir;
- ( x = 1 )
- ( x = 2 )
Bu kökleri polinomu çarparak doğrulayabilirsiniz.
-
Bulunan (x) Değerlerinin Kontrolü:
( x = 1 ) ve ( x = 2 ) değerlerini kontrol etmek için bunları ilk denklemde yerine koyabilirsiniz.
-
Sonuç:
[ x = 1 ] ve [ x = 2 ] ile toplamını bulursak:
[
1 + 2 = 3
]
Cevap: 3
Özet Tablo:
| Denklemler | İşlem Adımları | Sonuçlar |
|---|---|---|
| (x^2 + y^2 + x + y = 8) | İkinci denklemden (y)'yi bul, yerine koy ve düzenle | |
| (xy = 2) | İkinci denklemin kökü bul ve kontrol et | |
| Bulunan (x) köklerinin işlemi | Denemelerle kök bul ve toplamını hesapla | Toplam: 3 |
Bu çözümleme neticesinde (x) değişkeninin alabileceği farklı gerçek sayı değerlerinin toplamı 3 olacaktır. @Beyzanur_Aslantas