-6+(-7+3).(-4+2)-8-(-5)
Hadi bu işlemi adım adım çözelim:
İfade şudur:
-6 + (-7 + 3) \cdot (-4 + 2) - 8 - (-5)
1. Grup Parantezleri Yap:
-
İlk olarak parantez içlerini halledelim.
-
(-7 + 3):
-7 + 3 = -4
- (-4 + 2):
-4 + 2 = -2
Şimdi ifade şu hale gelir:
-6 + (-4) \cdot (-2) - 8 - (-5)
2. Çarpma İşlemleri:
- (-4) \cdot (-2) çarpımı:
-4 \cdot -2 = 8
Sonra ifade şu olur:
-6 + 8 - 8 - (-5)
3. Artıları ve Eksileri Düzelt:
- -(-5): Bu çift negatif olduğundan pozitif olur:
-(-5) = 5
Bu işlemleri yaptıktan sonra ifade şu hale gelir:
-6 + 8 - 8 + 5
4. Artık İleriye Tek Parça Toplama:
- Adım adım toplarız:
-6 + 8 = 2
2 - 8 = -6
-6 + 5 = -1
Sonuç:
Bu işlemin sonucu:
\mathbf{-1}
Eğer başka soruların varsa yazmayı unutma! 
@username
-6+(-7+3).(-4+2)-8-(-5)
Answer:
Adım 1 – Parantezlerin İçini Hesaplayın
- (-7 + 3) = -4
- (-4 + 2) = -2
Adım 2 – Çarpma İşlemini Gerçekleştirin
-4 ve -2’yi çarpın:
(-4) × (-2) = 8
Artık ifade aşağıdaki hale gelir:
-6 + 8 - 8 - (-5)
Adım 3 – Kalan İşlemleri Sırayla Yapın
- -6 + 8 = 2
- 2 - 8 = -6
- -6 - (-5) = -6 + 5 = -1
Bu nedenle ifadenin sonucu -1’dir.
@User
-6 + (-7+3)·(-4+2) - 8 - (-5) ifadesinin değeri nedir?
Cevap:
Merhaba! Bu soruda, -6 + (-7+3)·(-4+2) - 8 - (-5) ifadesininin sonucunu adım adım hesaplayacağız ve bu süreçte negatif sayılar, toplama-çıkarma kuralları, çarpma işlemlerinin önceliği gibi önemli noktaları detaylıca öğreneceğiz. Sorunuz 11. sınıf düzeyinde bir matematik işlemini yansıtmaktadır; ancak burada yalnızca işlemin kendisini yapmak yerine, negatif sayılarla ilgili temel bilgilere, parantezli ifadelerde işlem önceliklerine ve hata yapmamak için ipuçlarına da değinerek konuyu derinlemesine ele alacağız.
Bu cevabın amacı, hem bu konkrеt sorunuzun yanıtını detaylarıyla vermek hem de matematiksel kavramların nasıl çalıştığını göstererek matematik becerilerinizi güçlendirmektir. Aşağıda, kapsamlı bir içerik, tablo, çeşitli örnekler ve açıklamalar yardımıyla detaylı bir rehber bulacaksınız.
İÇİNDEKİLER
- Negatif Sayı Kavramı ve Tarihçesi
- Parantezler ve İşlem Önceliği
- İşlemi Adım Adım Çözme Stratejisi
- Hesaplama Süreci ve Ayrıntılı Açıklamalar
- Sık Yapılan Hatalar ve Nasıl Önlenir?
- Negatif Sayılarla ve Dört İşlemle İlgili Ek Örnekler
- Tablo ile Adım Adım Çözüm Özeti
- Ek Açıklamalar: Dağılma Özelliği ve İşaret Kuralları
- Sonuç ve Genel Özet
1. Negatif Sayı Kavramı ve Tarihçesi
Negatif sayılar, matematiğin temel unsurlarından biridir. Sayı doğrusunda 0 noktasının sol tarafında yer alan bütün değerler negatif veya eksi değer olarak tanımlanır. Modern matematikte negatif sayılarla ilgili ilk kayıtlar, eski Hint ve Çin uygarlıklarına kadar uzanır. Ancak Batı matematiğinde uzun yıllar negatif sayıların da “geçerli” birer değer olduğu kabul edilmemiş, bu sayılar “borç” veya “hipotetik” değerler olarak düşünülmüştür.
Zamanla özellikle cebir ve geometri alanında gelişen kuramlar, negatif sayıların manipüle edilmesinin de tıpkı pozitif sayılar gibi mümkün olduğunu göstermiştir. Günümüzde negatif sayılar her seviyede matematik eğitiminin ayrılmaz bir parçasıdır ve reel sayı ekseni üzerinde pozitif sayılara simetrik şekilde konumlanır.
Negatif sayıların gösterimi:
- Herhangi bir pozitif sayının önüne “-” işareti koyduğumuzda o sayı negatif hale gelir. Örneğin, 7 pozitifken -7 negatiftir.
- Benzer şekilde, -3 negatif bir sayıyken, önüne bir eksi daha ekleyip --3 (matematiksel yazımda genelde çift eksi arka arkaya yazılmaz, ama “eksi eksi üç” mantıksal olarak +3’e eşittir) ifadesinde doğrusal şekilde toplama-çıkarma kuralları düzenlenir.
Özetle, negatif sayılar matematiksel hesaplamalarımızın vazgeçilmez bir parçasıdır. Sorunuzda da gördüğünüz gibi pek çok negatif değer var: -6, -7, -4 vb. Dolayısıyla baştan negatif sayıların kullanımını, hangi noktalarda karışıklık yaşandığını bilmek önemlidir.
2. Parantezler ve İşlem Önceliği
Matematikte işlem önceliği (ya da “işlem sırası kuralları”) belirli bir standarda sahiptir. Bu standarda göre:
- Parantez İçi: İlk önce parantez içindeki işlemler yapılır. Birden fazla parantez içi işlem varsa, soldan sağa veya iç içe geçmiş parantezlerde içten dışa doğru gideriz.
- Üslü İfadeler: Parantezlerden sonra varsa üslü ifadeler hesaplanır.
- Çarpma ve Bölme: Üs işlemlerinden sonra çarpma ve bölme, soldan sağa doğru işleme alınır.
- Toplama ve Çıkarma: En son aşamada toplama ve çıkarma işlemleri yapılır, yine soldan sağa doğru ilerlenir.
Sorunuzdaki ifade şu şekilde:
-6 + (-7+3)·(-4+2) - 8 - (-5)
Burada öncelikle dikkat etmemiz gereken iki farklı parantez vardır: (-7+3) ve (-4+2). Bu parantezlerin içindeki işlemleri yapmak, sonrasında çarpma işlemini gerçekleştirmek ve ardından kalan toplama-çıkarma işlemlerini sırayla yürütmek en doğru yaklaşım olacaktır.
3. İşlemi Adım Adım Çözme Stratejisi
Bir matematik ifadesiyle karşılaştığımızda şu stratejiyi izleyebiliriz:
- Parantez içlerini hesapla: Özellikle negatif sayılarla karışık ifadeler söz konusuysa öncelikle her parantez içindeki toplamayı veya çıkarmayı düzgünce yaparız.
- Çarpma veya bölme işlemlerini sırayla uygula: Parantez içleri bulunduktan sonra, bunların birbirleriyle veya başka terimlerle çarpılması işlemi yapılır.
- Toplama ve çıkarma işlemlerini soldan sağa doğru uygula: En son elimizde kalan basit toplama-çıkarma ifadelerini hesaplarız.
- Takip et ve kontrol et: Her adımda dikkatli biçimde işaretlere (– / +) ve işlemin bütünlüğüne bakarız.
- Cevabı doğrula: Öğrenciyseniz, yanıtınızı mutlaka hızlı bir yol veya başka bir yöntemle (zor bir soruda hesap makinesi, mantık kontrolü vb.) doğrulamayı alışkanlık haline getirebilirsiniz.
4. Hesaplama Süreci ve Ayrıntılı Açıklamalar
Sorunun ifadesi:
-6 + (-7+3) \cdot (-4+2) - 8 - (-5)
Aşağıdaki alt başlıklarda, bu ifadeyi adım adım çözeceğiz.
4.1. Adım 1: İç Parantez İşlemleri (-7 + 3) ve (-4 + 2)
-
(-7 + 3)
Negatif 7 ile pozitif 3’ü toplayacağız. İşlem:
-7 + 3 = -4
Çünkü negatif sayının mutlak değeri 7, pozitif sayının mutlak değeri 3, 7 > 3 olduğu için, sonuç 7 - 3 = 4, ancak büyük olan sayı negatif olduğundan sonuç -4 olur. -
(-4 + 2)
İkinci parantezde ise -4 ile +2’yi topluyoruz:
-4 + 2 = -2
Yine aynı mantıkla, 4 > 2 ve büyük olan sayı negatif olduğundan sonuç -2.
Bu adımı tamamladıktan sonra ifademiz:
-6 + (-4)·(-2) - 8 - (-5)
haline dönüşmüştür.
4.2. Adım 2: Parantez Sonuçlarının Çarpımı
Artık parantez içlerini hesapladık, elimizde ((-4)) ve ((-2)) gibi iki negatif sayı çarpımı var. Negatif bir sayının başka bir negatif sayıyla çarpılması, pozitif bir sonuç verir. Bunu kural olarak anımsayabilirsiniz:
- Pozitif × Pozitif = Pozitif
- Negatif × Negatif = Pozitif
- Pozitif × Negatif = Negatif
Dolayısıyla:
(-4) \cdot (-2) = 8
İfade şimdi:
-6 + 8 - 8 - (-5)
şeklini almıştır.
4.3. Adım 3: Kalan Toplama ve Çıkarma İşlemlerini Yapma
Sıradaki aşamada yalnızca toplama ve çıkarma işlemleri var. Hepsini soldan sağa sırayla yapmaya dikkat edelim.
İfade an itibarıyla:
-6 + 8 - 8 - (-5)
Bunu parçalayarak hesaplayalım:
-
-6 + 8
Burada -6 ile +8’i topluyoruz. Büyük mutlak değer 8 ve o pozitif olduğundan sonuç +2 olur.
Yani -6 + 8 = 2.
Artık işlem: 2 - 8 - (-5) haline geliyor. -
2 - 8
2’den 8 çıkarırsak -6 elde ederiz. Çünkü 8 > 2, aradaki fark 6’dır ve büyük mutlak değerin işareti eksi (çünkü çıkarma yapıyoruz ve 2 küçük değer).
Artık işlem: -6 - (-5). -
-6 - (-5)
Bu ifade “-6 + 5” anlamına gelir. Zira çıkarma işleminin önünde negatif bir sayı olması, çift eksi (- - = +) kuralıyla pozitif toplama haline dönüşür.
Yani:-6 - (-5) = -6 + 5 = -1
4.4. Adım 4: Toplam Sonucu Elde Etme
Yukarıdaki tüm işlemlerin sonucu:
\boxed{-1}
Yani, -6 + (-7+3)·(-4+2) - 8 - (-5) = -1 olarak hesaplanır. Bu sonucu teyit etmek isterseniz aritmetiksel olarak her adımın hatasız olduğunu görebilirsiniz.
Bu çözüme ek olarak, herhangi bir aşamada işaret hatası yapmak oldukça yaygındır. Özellikle “-(-5)” gibi ifadelerde, eksi eksi çarpımı + (artı) işaretine dönüşeceğinden dolayı pek çok öğrenci burada karışıklık yaşar. Yaptığımız açıklamalarda da görüldüğü üzere, “-(-5)” ifadesini görürseniz, bu “+5” manasına gelir.
5. Sık Yapılan Hatalar ve Nasıl Önlenir?
- Çift Eksi İşaretini Kaçırmak: “-(-5)” veya “–5” ifadesinin çok görünür olmadığı durumlarda öğrenciler bunu eksi beş şeklinde okumaya devam edebilir. Oysa bu örnekte, çift eksi pozitif yapar.
- Eksik Parantez Dikkati: (-7+3)·(-4+2) gibi çarpma ifadelerinde, parantez içlerinin önce toplanması gerektiği bazen unutulur. Bu da yanlış bir sırayla işlem yaparak hatalı sonuçlar çıkmasına neden olur.
- Toplama ve Çıkarma Arasındaki Karışıklık: -6 + 8 - 8 - (-5) ifadesinde, kademeli olarak her işlemi doğrulamadan hızlıca sonuç almak, hata riskini arttırır. En çok yapılan hata, -8 ve -(-5) kısmını doğru okuyamamaktır.
Bu hataları engellemek için her adımda, “Hangi işleme geçiyorum? Hangi kuralı uyguluyorum?” diye kendinize sormak en etkili stratejilerden biridir.
6. Negatif Sayılarla ve Dört İşlemle İlgili Ek Örnekler
Bu bölümde, negatif ve pozitif sayıların karıştığı toplama-çıkarma, çarpma-bölme işlemlerine dair başka örnekler göreceksiniz. Bu örnekler, temel mantığınızı pekiştirmeniz için faydalıdır.
6.1. Toplama Örnekleri
-
Örnek: -5 + (-3) = -(5 + 3) = -8
- Burada iki negatif sayı toplanırken, mutlak değerler toplanır ve sonuç negatif kalır.
-
Örnek: -8 + 12 = 4
- İki sayının mutlak değeri arasındaki fark (12 - 8 = 4), büyük mutlak değer 12 (pozitif) olduğu için sonuç artı 4 olur.
-
Örnek: -2 + 7 + (-3) = ?
- Burada en soldan sağa gidelim:
- -2 + 7 = 5
- 5 + (-3) = 2
- Burada en soldan sağa gidelim:
6.2. Çıkarma Örnekleri
-
Örnek: 5 - (-2) = 5 + 2 = 7
- İki eksi yan yana gelince + sonuç verir.
-
Örnek: -4 - 6 = -10
- Negatif bir sayının daha da küçültülmesi yine negatif yönü güçlendirir.
-
Örnek: -4 - (-6) = -4 + 6 = 2
- Çift eksi çiftlenmesiyle +6 haline gelir.
6.3. Çarpma ve Bölme Örnekleri
-
Örnek: (-3) \cdot (-5) = 15
- Negatif × Negatif = Pozitif.
-
Örnek: (-8) \cdot 2 = -16
- Negatif × Pozitif = Negatif.
-
Örnek: (-16) \div (-4) = 4
- İki negatif sayının bölümü pozitiftir.
-
Örnek: 12 \div (-3) = -4
- Pozitif sayının negatif sayıya bölümü negatiftir.
Bu örnekler, negatif pozitif karmaşalarının her bir işlemde (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) nasıl işlediğini hatırlatmaktadır.
7. Tablo ile Adım Adım Çözüm Özeti
Aşağıdaki tabloda, orijinal ifademizin -6 + (-7+3)·(-4+2) - 8 - (-5) nasıl çözüldüğü özetlenmektedir:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | Parantez içlerini hesaplama: (-7 + 3) = -4 (-4 + 2) = -2 |
Parantezler: -4 ve -2 |
| 2 | Çarpma işlemi: (-4) · (-2) |
8 |
| 3 | Yeni ifade: -6 + 8 - 8 - (-5) |
— |
| 4 | -6 + 8 = 2 | 2 - 8 - (-5) |
| 5 | 2 - 8 = -6 | -6 - (-5) |
| 6 | -6 - (-5) = -6 + 5 = -1 | -1 (Nihai sonuç) |
Tablodan da anlaşılacağı üzere, her bir ara adımda işaret, toplama-çıkarma veya çarpma-bölme kurallarını dikkatlice uyguladığımızda final sonucu -1 olarak buluyoruz.
8. Ek Açıklamalar: Dağılma Özelliği ve İşaret Kuralları
Bazı problemler, parantez açma veya çarpma işlemleri üzerinden dağılma (distributive property) kuralını kullanmayı gerektirebilir. Burada aynı zamanda işaret kurallarına da dikkat etmek gerekir:
-
Dağılma Özelliği (a (b + c) = a·b + a·c)
Eğer elimizde (b + c) gibi bir toplama parantezi ve bir çarpma işlemi varsa, parantezi açarken her bir terime çarpmayı uygularız. Örneğin:
-2(3 + 5) = -2·3 + -2·5 = -6 - 10 = -16. -
İşaret Kuralları
- Pozitif × Pozitif = Pozitif
- Negatif × Negatif = Pozitif
- Pozitif × Negatif = Negatif
- Negatif × Pozitif = Negatif
Bu kuralları her an zihinde tutmak, hata payını ciddi oranda azaltır.
Bu soruda, dağılma özelliği doğrudan kullanılmasa da benzer mantıkla, her iki parantezin içini tek tek çözüp sonra çarpmak, en tutarlı stratejidir.
9. Sonuç ve Genel Özet
Bu kadar detaylı açıklamadan sonra kısaca özetleyecek olursak, -6 + (-7+3)·(-4+2) - 8 - (-5) ifadesinin sonucu -1 çıkmaktadır. İşlemlerin mantığı şuna dayanmaktadır:
- İlk parantez:
(-7+3) = -4. - İkinci parantez:
(-4+2) = -2. - Çarpım:
(-4) × (-2) = +8. - Kalan işlemler:
-6 + 8 - 8 - (-5). - Adım adım:
-6 + 8 = 22 - 8 = -6-6 - (-5) = -6 + 5 = -1.
Dolayısıyla sonucun -1 olması beklenir.
Kısa Bir Özet
- Parantez içlerini sırayla hesaplamak en kritik adımdır.
- Negatif sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerinde en büyük mutlak değere sahip sayının işareti sonucu belirler (aynı işaretli sayıların toplanması veya farklı işaretli sayıların farkı alırken mutlak değeri büyük olanın işareti alınır).
- Çift eksi işareti (+) olarak değerlendirilir.
- Negatif ve negatifin çarpımı pozitiftir.
Bütün bunlar, tek tek uygulandığında hata riski en aza iner ve soruyu güvenle çözmüş olursunuz.
En Az 2000 Kelimelik Detaylı Açıklama
Aşağıda, yukarıdaki anlatılan konuların biraz daha temeline ve geniş bir yelpazede ek bilgilere değinilecek, böylece her bir noktada neden bu şekilde yaptığımızı daha net anlayacaksınız. Bu geniş bölüm, ilgili konuya hakimiyet kazanmak isteyen 11. sınıf düzeyindeki veya farklı yaş gruplarındaki öğrencilere ve hatta öğretmenlere rehber niteliğindedir.
Matematikte negatif sayılara dair zorluklar, temelde işaretlere ve işlem önceliklerine tam olarak hâkim olmamaktan kaynaklanır. Örneğin, -6 + (-7+3)·(-4+2) - 8 - (-5) gibi bir ifade, aslında üst düzey bir karmaşıklık içermez; fakat parantezler içerisinde negatif sayılarla toplama, çarpma, üstüne bir de sonunda yine negatifin eksiyle çıkarılması gibi yapıları barındırıyorsa öğrenci, özellikle ilk bakışta göz korkutucu bulabilir.
Öncelikle, matematikte pozitif ve negatif sayıların nasıl tanımlandığını şöyle hatırlamakta fayda var. Reel sayı doğrusunda 0 noktası, ne pozitif ne de negatifliğin “nötr” olduğu bir yerdir. 0’ın sağında yer alan bütün gerçek sayılar pozitif, solunda yer alanlar negatif olarak adlandırılır. Bu sayı doğrusu, sadece tam sayılarla sınırlı değildir; kesirli değerler, rasyonel ve irrasyonel (karekök gibi) tüm sayılar da negatif olabilir.
Konuya kuramsal açıdan bakıldığında:
- Negatif sayıların varlığı, tarihte borç-alacak ilişkileri, sıcaklık değerleri, yer seviyesinin altında ölçümler (deniz seviyesi altı) vb. durumlardan doğmuştur.
- Operasyon (işlem) kuralları ise, bu sayıların günlük hayatta, bilimde ve özellikle cebirde kullanılmasını sistematik hale getirmek için geliştirilmiştir.
Bu tarihsel ve kavramsal arka plan, negatif sayılarla ilgili temel yaklaşımı oturtmamıza yardımcı olur. İlk temel kural şudur: toplama ve çıkarma arasındaki ilişkiyi “işaret yönetimi” üzerinden ele almak. -6 ifadesi, “0 noktasından 6 birim sola” demektir. Bir başka ifadeyle, +6 ise “0’dan 6 birim sağa”dır. Eğer -6’nın yanına +5 eklersek, sayı doğrusunda 5 birim sağa hareket ettiğimizi hayal edebiliriz, net konum -1 olur vs.
Matematikte sıklıkla hata yapılan yer, tam da bu -(-a) gibi ifadelerin yanlış okunmasıyla ortaya çıkar. Zira -(-a) = +a’dır. Artı ile eksi yan yana gelince eksi etki ettiği için, tek eksi işareti negatif yaparken, çifte eksi (– -) işaretlerin çarpımından dolayı artıya dönüşür. İşte sorumuzun final adımlarından birinde “-(-5) = +5” haline geliyor ve orada pekala hata payı oluşabilir.
İşlem önceliğinde, her zaman olduğu gibi önce parantez içlerinin toplanması ve çıkarılması, bu parantez iç sonuçlarının negatif ya da pozitif olmasına bakılır. Ardından, eğer çarpma varsa bunlar hesaplanır. Bazen öğrenciler, -7 + 3 ifadesinde “-7 çarpı +3” gibi düşünebiliyor; hâlbuki orada bir çarpma değil toplama söz konusudur. Aynı şekilde, -4 + 2 ifadesi de bir toplamadır. Birden fazla parantezi tek bir çarpı işareti ayırdığında, önce parantezlerin içindeki toplamalar bitmelidir ki, bu parantezlerin net sonuçlarını çarpabilelim.
Bu noktada, bir diğer önemli konu: Her Öğrenci “sayıların işaret değiştirmesi” ve “sayıların birbirleriyle çarpılması” gibi temel bileşenleri pratik yapmakla ustalaşır. Yeterince örnek çözmek son derece önemlidir:
- (-a) + (-b) = -(a + b)
- (-a) + b = b - a (eğer b > a ise pozitif, a > b ise negatif sonuç)
- (-a) - b = -(a + b) (zira eksi ile b’yi de çıkarıyoruz)
Söz konusu işlemlerde, parantezleri açmayı unutmadan, her seferinde “işaret kiminle çarpılıyor?” diye bakmak gerekir. Şu andaki soruda -7 + 3 = -4 ve -4 + 2 = -2 gibi işlemlerin az, ama öz net örnekleridir.
Çarpmaya geldiğimizde bilmemiz gereken en temel şey, + × + = + ve – × – = + kuralıdır. Bu durum, dairesel veya doğrudan “hayatın içinde” yorumlanırsa, -4 ile -2 çarpıldığı zaman “4 borçlu olmakla 2 borçlu olmayı çarparsanız”, alacaklı duruma geçmek gibi bir şey. Tabii işin günlük hayatta tam yansıması biraz mecazi olabilir; ama matematikseldir ve net kuraldır: Eksi ile eksi çarpıldığında artı olur!
İşte, sorumuzda -4 ve -2 çarpıldı ve 8 elde ettik. Burada bir diğer tipik hata; öğrencilerin “negatif sayılar çarpılınca yine negatif” diye düşünmesi veya işaretleri gözden kaçırmasıyla ortaya çıkar. O yüzden “işaret tablosu” çok faydalı bir akılda kalıcı yöntemdir:
• + × + = +
• – × – = +
• + × – = –
• – × + = –
Bu tabloyu ezberlemeyip, en başta söylediğimiz “negatif sayı doğrusunda” yaklaşımla düşünmek de mümkündür, ama tablo daima kolay bir kısayoldur.
Ardından, bulduğumuz (8) değeri, diğer terimlerle birlikte -6 + 8 - 8 - (-5) şeklinde yazdığımızda, geriye toplama ve çıkarma kalmıştır. Burada gene bir sürü + ve – işaretinin tek ifadede bulunması, “-6 + 8 - 8 - (-5)” bazen göz yormasına neden olur. Adım adım işlem yapmak, “acaba soldan sağa gidince ne oluyor?” diye sormak en doğru yaklaşımdır.
Şimdi bir de “dağılma özelliği” (distributive) konusunu analitik biçimde ele alalım. Her ne kadar bu soruda doğrudan parantez açma (a(b + c) = ab + ac) gibi bir vaka yoksa da, eğer soruda “-(7 - 3)” gibi bir ifade olsaydı, bu eksi işareti tüm terimlere dağıtılacaktı. Mesela:
- (7 - 3) = -7 + 3.
Bu tip ifadelere de dikkat etmek gerek. Bizim soruda -7 + 3 parantezi, “—(7 - 3)” formunda olmasa da mantık aynı: Parantez içerikleri önce hesaplanmalı.
Öğrenciler açısından pratik bir öneri:
- Her parantezi tek tek bir kenara yazın.
- “-7 + 3 = -4, -4 + 2 = -2” dedikten sonra, ifadenin çarpı ile ayrıldığını görün.
- Çarpın ve net sayıyı ifadenin içine yerleştirin.
Sonrasında, “-6 + 8 - 8 - (-5)” ifadesini yine adım adım işleyin. “-6 + 8 = 2” yi bulduktan sonra, “2 - 8 = -6”; “-6 - (-5) = -6 + 5 = -1.” Hiç bir aşamayı atlamamak, en temel püf noktasıdır.
Buradaki en güzel nokta, sonuç olarak -1 gibi göreceli anlamda “küçük” bir değer çıkmasıdır. Bazen -50 vb. daha büyük mutlak değerler veya +17 gibi bir sonuç da elde edilebilirdi. Sorudaki sayılar ve parantez içindeki ufak değişiklikler bambaşka sonuçlar doğurabilir.
Kontrol: Bu sorunun bir de başka bir yolu var mı? Bazı durumlarda, parantez içini toplamak yerine, “dağıtma” yapılabilir. Yani, “(-7+3)·(-4+2)” ifadesini tek tek terimlere çarparak açmak ( eğer +, - işaretlerini karıştırma riskiniz yoksa ) bir seçenek olabilirdi. Ancak doğrusu, bu soruda en kolay yol, önce parantezleri kendi içinde basitçe toplamak ve sonra çarpmak. Her zaman en sade yöntem, hatayı en aza indirger.
Matematiksel bakış açısı, bu negatif ve pozitif sayıların bir “işaret mantığı” olduğunu söyler. Opera değerleri, orantılar, temel aritmetik gibi alanlar, 11. sınıfta trigonometri ya da analiz konularına ilerlerken de sıklıkla karşınıza çıkar. Aslında bu tip alıştırmalarla, gireceğiniz TYT, AYT gibi sınavlarda hem dört işlemi pratik hale getirir hem de polinomlarla, rasyonel işlemlerle uğraşırken bu tür işaret yönetimi hataları yapma riskini düşürürsünüz.
- Çift eksi = Artı
- Tek eksi = Eksi
- Eksiyle eksi toplanması, mutlak değerleri toplayıp işareti negatif yapmak
- Negatifle pozitif toplanması, mutlak değeri büyük olanın işaretini almak
gibi kurallar, her an aklınızda yer etsin.
Bu sorunun özelinde, parantezler arasındaki çarpma, belki de en beklenmedik sonuçlardan birini veriyor: ( -4 ) × ( -2 ) = +8. Pek çok öğrenci, parantez içindeki -4 ve -2’nin yine negatif bir sonuç oluşturacağını sezgisel olarak düşünebiliyor; çünkü “-4 ile -2’yi çarparsam negatif olur” şeklinde bir yanılgı yaygın. Bu yüzden sıklıkla vurguluyoruz: “Negatif × Negatif = Pozitif”.
Hata Tespiti İçin Öneriler:
- Sonuçta eğer “-6” ile “-(-5)” gibi bir bileşeni atladıysanız, muhtemelen -11 veya -1 gibi farklı sonuçlar görülebilir.
- Öğrencilerin yapabileceği bir diğer kontrol yöntemi, kısa bir hesap makinesi veya “işlem satırı” destekli bir program kullanmaktır. Günlük hayatta hızlı doğrulamalar, belirsizlikleri ortadan kaldırır ve öğrenme sürecini garanti altına alır.
Derin Anlam: Negatif sayılar, sadece eksi ve pozitifin “nasıl çarpıldığını” bilmek değil, ileri düzeyde fonksiyon grafiklerinde, denklemler kurarken, belirsiz integral hesaplarından, limit ve türev analizlerinden tutun da, karmaşık sayıların re bulunur. Dolayısıyla, -7 + 3 gibi davranışları doğru idrak etmek, ileriki matematik yelpazesi için “temel bir giriş kapısı” gibidir.
Örneğin, bu negatif sayılar ileri düzeyde, vektör analizlerinde, koordinatlar (2 boyutlu ya da 3 boyutlu) incelenirken, - (x + 2) vb. transformasyonlarda temel oluşturur. “Merkezi orijin” konumunda eksenlerin alt tarafında kalmak, veya eksi y yönünde ilerlemek… Hepsi, bu tip temellerle başlar.
Bu boyutta baktığımızda, “-6 + (-7+3)·(-4+2) - 8 - (-5)” gibi küçük bir aritmetik ifadenin, sadece bir “matematik alıştırması” olarak değil, aslında işlem sırası, işaret mantığı, parantez kullanımı, hatayı minimuma indirme ve “disiplinli düşünme” açısından da iyi bir egzersiz olduğunu görebiliriz.
Umarım bütün bu ayrıntılar, sorunuzun ötesinde, negatif sayılarla ve parantezli işlemlerle ilgili sağlam bir temel oluşturmanıza yardımcı olur.
Nihai Mesaj
Matematikte her zaman “dikkatli” olmak, adımları özenle izlemek ve küçük alıştırmaları dahi ciddiye almak çok önemlidir. Özellikle negatif sayılar, pek çok öğrencinin çabuk hata yaptığı bir alandır. Ancak bu durumu fırsata çevirip, her hatadan ders çıkararak, “Neden eksi eksi, artı yapıyor?” ya da “Neden bu parantezleri önce toplamam lazım?” gibi sorulara doğru cevaplar vermek, zamanla sizi çok sağlam bir matematik altyapısına kavuşturur.
Sonuç olarak, “-6 + (-7+3)·(-4+2) - 8 - (-5)” ifadesinin doğru cevabı: -1. Bu sayı, yukarıda bütün işlem adımlarında açıklandığı gibi, parantezlerin içini hesaplayıp, daha sonra çarpma ve en sonunda da toplama-çıkarma kurallarını dikkatle uyguladığımız için karşımıza çıkmaktadır.