Sorunun Çözümü
Bu soru, üçgende büyük kenar karşısında büyük açı, küçük kenar karşısında küçük açı bulunur prensibini kullanmayı gerektirmektedir. Soruyu adım adım inceleyelim.
Sorunun Verileri
- ABC Üçgeni: Bir üçgen verilmiş.
- Uzunluklar için sıralama: |BP| > |AS| > |CR|. Bu sıralama verilen kenar uzunluklarına göre açıların ölçülerini doğru sıralamanın anahtarıdır.
- Amaç: İç açılar olan m(A), m(B) ve m(C)'nin sıralanışı belirtilmeli.
Prensipler
- Büyük Kenar Karşısında Büyük Açı: Üçgende bir açı ölçüsü, karşısındaki kenar uzunluğuna orantılıdır. Üçgende uzun kenar karşısında büyük açı bulunur.
- Kenar Uzunluklarının Sıralanması:
- |BP|: B noktasından P noktası arasında en uzun kenar (en büyük açı karşısında yer alır).
- |AS|: A’dan S’ye orta uzunluk.
- |CR|: C’den R’ye en kısa kenar (en küçük açı karşısında yer alır).
Adım Adım Çözüm
-
|BP| > |AS| > |CR| sıralaması.
- |BP| karşısındaki m(B) açısı en büyüktür.
- |AS| karşısındaki m(A) açı, ortanca büyüklüktedir.
- |CR| karşısındaki m(C) açı en küçüktür.
-
Sonuç:
- Açılar m(B) > m(A) > m(C) olarak sıralanır.
Doğru Cevap
B) m(B) > m(A) > m(C)
Eğer başka bir sorunuz olursa bana yazabilirsiniz! 
|BP| > |AS| > |CR| olduğuna göre ABC üçgeninin iç açılarının sıralaması nasıl bulunur?
Soru Özeti:
Yukarıdaki şekilde ABC üçgeninin iç açılarının ölçülerini, esnemeyen bir ip yardımıyla şu şekilde sıraladıkları verilmiştir:
• A köşesine ipi değdirip, [AB] ve [BC] kenarlarıyla çakıştırınca ipin diğer ucu P noktasına gelmektedir (P, BC üzerinde).
• B köşesine ipi değdirip, [BC] ve [CA] kenarlarıyla çakıştırınca ipin diğer ucu R noktasına gelmektedir (R, CA üzerinde).
• C köşesine ipi değdirip, [CA] ve [AB] kenarlarıyla çakıştırınca ipin diğer ucu S noktasına gelmektedir (S, AB üzerinde).
Böylece, elde edilen parça uzunluklarının büyüklük sırası:
|BP| > |AS| > |CR|
şeklindedir. Buna göre, ABC üçgeninin iç açıları m(A), m(B), m(C) hangi sıralamayı verir?
Temel Fikir
Bir üçgende büyük açı, karşısındaki kenarı (ve bu kenarın bir parçasını) “daha büyük” tutar. Burada ip ölçümleri neticesinde,
- |BP| parçası, köşesi A’da olan ölçümlerin sonucunda BC üzerindeki P noktasına kadardır. Bu uzunluğun en büyük olması, köşe A’nın (yani ∠A’nın) üçgendeki en büyük açı olduğunu gösterir.
- İkinci büyük parça |AS|, köşesi C’de olan ölçümlerin sonucunda AB üzerindeki S noktasına kadardır. Bu da ∠C’nin büyüklük açısından ikinci sırada olduğunu gösterir.
- En küçük uzunluk |CR| ise köşesi B’deki ölçümlerde CA üzerindeki R noktasını tanımladığı için, ∠B üçgende en küçük açıdır.
Dolayısıyla açılar,
sıralamasındadır. Seçeneklerden bu sıralamayı sağlayan doğru cevap:
A) m(A) > m(C) > m(B)
Cevap:
Üçgenin iç açıları m(A) > m(C) > m(B) şeklinde sıralanır.
Soru
Efe, verilen ABC üçgeninin iç açılarının büyüklüklerini esnemeyen bir ip yardımıyla sıraya koymak istemektedir. Soruda tarif edildiği üzere:
- A köşesine sabitlediğimiz ipi [AB] ve [BC] kenarları boyunca çevirince ipin diğer ucu BC üzerinde P noktasına,
- B köşesine sabitlediğimiz ipi [BA] ve [AC] kenarları boyunca çevirince ipin diğer ucu AC üzerinde R noktasına,
- C köşesine sabitlediğimiz ipi [CA] ve [AB] kenarları boyunca çevirince ipin diğer ucu AB üzerinde S noktasına,
gelecek şekilde ölçümler yapılmıştır. Elde edilen sonuçta:
|BP| > |AS| > |CR|
olduğuna göre, üçgenin iç açılarının (m(A), m(B), m(C)) doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) m(A) > m(C) > m(B)
B) m(B) > m(C) > m(A)
C) m(C) > m(B) > m(A)
D) m(A) > m(B) > m(C)
Cevap:
Bu problemde ipi farklı köşelere sabitlediğimizde, karşı tarafta kalan ipin “artık/parça” uzunlukları (BP, AS, CR) ile üçgenin açılarının büyüklükleri arasında dolaylı bir ilişki oluşur. Soruda |BP| > |AS| > |CR| bilgisi verilmiştir. Geometrik olarak bu durum, kalana ait ip parçalarının en küçük olduğu köşenin açısının en büyük, en büyük olduğu köşenin ise açısının en küçük olduğunu gösterir. Ayrıntılı analiz sonucunda doğru sıralama
m(B) > m(C) > m(A)
şeklindedir. Yani seçenek B doğru cevaptır.
İçindekiler
- Problemle İlgili Temel Kavramlar
- Verilen Bilgilerin Yorumu
- İp Metodunun Mantığı
- Aşama Aşama Çözüm
- Geometrik Dayanak ve İspat Fikri
- Detaylı Örnek İncelemesi
- Sıralama Tablosu
- Benzer Problemler ve Öneriler
- Özet ve Sonuç
- Kaynaklar
1. Problemle İlgili Temel Kavramlar
Bir üçgendeki iç açıların sıralamasını yapmak, genellikle o üçgenin kenar uzunluklarından faydalanarak yapılır. Ancak bu soruda kenar uzunlukları yerine, ipin köşelerden başlayarak iki kenar boyunca “katlandığında” karşı tarafta bıraktığı artık parçanın uzunlukları (BP, AS, CR) kullanılıyor. Bunlar “köşeye göre ayarlanmış” ip ölçüleri olduğundan, doğrudan açı ölçülerine dair ipucu sunar.
Üçgendeki Temel Bağıntılar
- En büyük açı, karşısındaki en uzun kenara bakar.
- Köşeden yayılan iki komşu kenarın toplamı ya da farkı, üçgendeki açının büyüklüğüne dair bir belirti olabilir.
- Bu problemde, “fazla kalan ip parçası” büyükse, o köşedeki açı daha küçük eğilimi gösterir.
İlgili Terimler
- Kenar: Üçgenin bir tarafı (ör. BC kenarı).
- Açı Ölçüsü, m(A): A köşesinin iç açısının ölçüsü (derece cinsinden veya radyan).
- |XY|: X ve Y arasındaki doğrusal uzaklık (uzunluk).
- Artık İp Parçası: İpi iki kenar boyunca gerdiğimizde, kenarın bir bölümünü kaplayan ipin kenarda bıraktığı bölümdür.
2. Verilen Bilgilerin Yorumu
Soru şu bilgiyi sunuyor:
- |BP| > |AS| > |CR|
- A köşesine sabitlenen ip [AB] ve [BC] kenarları üzerinde kaydırıldığında “BC” kenarı üzerinde bir P noktası bulunuyor ve P ile B arasındaki uzaklık BP ölçülüyor.
- B köşesine sabitlenen ip [BA] ve [AC] kenarları üzerinde kaydırıldığında “AC” kenarı üzerinde bir R noktası bulunuyor ve bu noktadan C’ye olan uzaklık CR ölçülüyor.
- C köşesine sabitlenen ip [CA] ve [AB] kenarları üzerinde kaydırıldığında “AB” kenarı üzerinde bir S noktası bulunuyor ve bu noktadan A’ya olan uzaklık AS ölçülüyor.
Bu üç ölçüm içinde BP en uzun, CR en kısa, AS ise ortada kalmaktadır.
3. İp Metodunun Mantığı
Şekildeki ip, uzayıp kısalmayan (esnemeyen) bir tür mezura gibi kullanılmaktadır. Her seferinde ipin bir ucu köşeye sabitlenir, ip önce bir kenar boyunca “yürüyor,” köşe noktasında yön değiştirip komşu kenar boyunca devam ediyor ve sonuçta o kenarın bir parçasında sona eriyor.
Bu ip metodu yaygın olarak “üçgenin iki komşu kenar uzunluklarının, sabit bir ip boyuyla ölçülmesi ve karşı tarafta kalan fazlalık” şeklinde yorumlanır. Eğer köşedeki açı daha büyük ise, iki kenarı ip ile kaplamanın ardından karşı kenardaki “artık/boş” kısım daha küçük kalabilir.
Bir başka deyişle,
- Köşedeki açı küçükse: İki kenar (ör. AB ve BC) arasındaki “yay açısı” küçüktür, ip daha az kıvrılmak zorunda kalır, karşı kenarda daha fazla ip “artık” bırakır.
- Köşedeki açı büyükse: İki kenar arasındaki yay açısı büyüktür; ip orada daha fazla kıvrıldığından karşı kenarda daha az kısım “artık” görünür.
4. Aşama Aşama Çözüm
Adım 1: İp Kalan Parçalarının Sıralamasını İnceleme
Soruya göre:
- |BP| (ip A köşesine sabitlenince oluşan artık) en büyüktür.
- |AS| (ip C köşesine sabitlenince oluşan artık) ortanca büyüklüktedir.
- |CR| (ip B köşesine sabitlenince oluşan artık) en küçüktür.
Adım 2: “En Büyük Artık = En Küçük Açı” İlkesi
Bir üçgende kullanılan bu ip metoduyla, en büyük artık parçanın ait olduğu köşe, en küçük açıya (veya en az geniş açılı köşeye) tekabül eder. Tersi de geçerlidir: en küçük artık parça hangi köşede ölçülüyorsa, o köşenin açısı en büyüktür.
Bu mantığa dayanarak:
- |BP|, A köşesine aittir ve en büyük olduğuna göre, A açısı en küçük açıdır.
- |CR|, B köşesine aittir ve en küçük olduğuna göre, B açısı en büyük açıdır.
- |AS|, C köşesine aittir ve ortanca olduğuna göre, C açısı ortanca büyüklüktedir.
Adım 3: Açıların Sıralamasını Yazma
Büyükten küçüğe doğru:
- B açısı en büyük,
- C açısı ortada,
- A açısı en küçük.
Matematiksel notasyonla:
m(B) > m(C) > m(A).
Soru seçeneklerinden bu kalıbı aradığımızda, B şıkkı: m(B) > m(C) > m(A) cevabını buluruz.
5. Geometrik Dayanak ve İspat Fikri
5.1. Üçgende Açı-Kenar İlişkisi
Bir üçgende en büyük açının karşısında en uzun kenar bulunur. İp metodunda doğrudan kenar uzunluğu ölçmüyor olsak da, ipin “iki komşu kenar boyunca sarılması” ve “geri kalan parçanın” uzunluğu, aslında kenarların ve o köşenin açısının bir fonksiyonudur.
5.2. Denklem Benzeri Açıklama
Basitleştirilmiş bir modelle, eğer üçgenin çevresini p kabul edersek ve köşeye göre ip “iki kenar” üzerinde dolaştığında, ipin üzerinde ilerlediği toplam mesafe, söz konusu köşenin açı değerine de bağlıdır. Dolayısıyla, köşe daha büyükse ipin “koggelenmesi” de artar, dolayısıyla son kenarda daha az mesafe kalır.
5.3. Mantıksal Sonuç
Büyük açı → döngüde ipin iki kenarda harcadığı “mesafe” daha fazladır → üçüncü kenarda artık mesafe daha az kalır.
Küçük açı → ip daha az kıvrılır → üçüncü kenarın fazlalığı daha çok kalır.
Bu prensip, sorudaki “|BP| > |AS| > |CR|” eşitsizliğine bağlandığında, B köşesindeki “artık” mesafesi (CR) en küçük → B açısı en büyük… vb. sonuçlar elde edilir.
6. Detaylı Örnek İncelemesi
Daha iyi anlaşılması için, hayali ancak sadeleştirilmiş bir örnek tasarlayalım:
- Üçgen ABC olsun, kenarlar sırasıyla AB = 4, BC = 5, CA = 6 birim. (Bu üç kenar, bir üçgen oluştursun diye örnek veriyoruz.)
- Üçgenin en büyük kenarı CA (6 birim) olduğundan en büyük açı B’ye bakıyor (B en büyük açı olmalı).
- Şimdi ip yöntemiyle köşelere bakalım:
Köşe A’dan bakıldığında (AB + BC):
- AB = 4, BC = 5, toplam 9.
- İp boyu sabit varsayılırsa, BC üzerinde kalması gereken artık bölüm (~BP) mevcut olur. Büyük olasılıkla BC’nin bir kısmı 5’ten daha az ip kaplayacak veya tam tersi. Neticede bu artık en büyük çıksa A açısının küçük olduğunu gösterir.
Köşe B’den bakıldığında (BA + AC):
- BA=4 (aynı AB), AC=6, toplam 10 birim.
- Diğer kenarda (AC veya CA) kalan “artık” CR muhtemelen daha küçük çıkar. Bu da B açısının büyüklüğünü onaylar.
Köşe C’den bakıldığında (CA + AB):
- CA=6, AB=4, toplam 10 birim.
- Karşı kenar (AB veya BC) üzerindeki kalan artık kısım ise ortanca değer olabilir.
Elbette, bu rakamlar tam olarak “|BP| > |AS| > |CR|” şeklini garantilemeyebilir; fakat mekanizmanın işleyişini gözümüzde canlandırmak açısından fikir verir. Asıl nokta: “B açısı en büyük, A açısı en küçük, C açısı ortada” olduğunda, ip metoduyla oluşan artık mesafeler de “B’ye ait olan en küçük, A’ya ait olan en büyük, C’ye ait olan ortada” gibi bir sıraya oturur.
7. Sıralama Tablosu
Aşağıda, soruda geçen ip artıklarının üç köşeye göre hangi sonuçlara karşılık geldiğini özetleyen bir tablo yer almaktadır:
| Köşe | Karşı Kenarda Kalan Artık Parça | Artık Parça Uzunluğu Sırası | Açı (Küçük/Orta/Büyük) |
|---|---|---|---|
| A köşesi | BP | En büyük ( | BP |
| C köşesi | AS | Ortanca ( | AS |
| B köşesi | CR | En küçük ( | CR |
Bu tablo, “En büyük artık = En küçük açı” ve “En küçük artık = En büyük açı” fikrini net bir şekilde yansıtır.
8. Benzer Problemler ve Öneriler
-
Kenar Uzunluklarına Bakılarak Açı Karşılaştırma
- Klasik üçgen bilgisinde, en uzun kenarı gören açı daima en büyük açıdır.
- Bu problemde doğrudan “kenar” yerine “ip artık uzunluğu” ölçülmüştür, fakat sonuç yine benzer kurallara benzerdir.
-
Açıortay, Kenarortay, Yükseklik Problemleri
- Bazı problemlerde açıortay veya kenarortay uzunlukları ölçülerek benzer sonuçlar çıkarılabilir.
- Aynen burada olduğu gibi, hangi köşeye ait olan doğru parçası “daha uzun” ise, o köşe açısının özellikleri belirlenebilir.
-
Üçgenin Çevresi ve İç Açıların Ölçüsü
- Geometri öğreniminde sık sık karşılaşılan “üçgenin çevresi - iç açı ilişkisi” mantığını, bir ip yardımıyla deneye dönüştürmek eğitimde etkilidir.
9. Özet ve Sonuç
Bu soruda, üçgenin köşelerine sabitlenerek iki kenar boyunca “dolanıp” üçüncü kenarda kalan ip parçaları ölçülmüştür. Elde edilen sıralama:
- |BP| en büyük,
- |AS| ortanca,
- |CR| en küçük.
Geometrik prensipler uyarınca, en büyük artık parçayı veren köşenin açısı en küçük, en küçük artık parçayı veren köşenin açısı ise en büyük olmaktadır. Dolayısıyla, B köşesinin iç açısı en büyük, A köşesinin iç açısı en küçük, C köşesinin iç açısı ise ortada yer alır:
m(B) > m(C) > m(A).
Soru şıklarında bu sıralama B seçeneğinde ifade edildiğinden, doğru yanıt m(B) > m(C) > m(A)’dir.
Sonuç Tablosu
| Sıra | İp Elde Edilen Parça | Köşe | Açı Büyüklük Sırası | Seçenek |
|---|---|---|---|---|
| 1 (en büyük artık) | BP | A köşesi | En küçük açı | |
| 2 (orta artık) | AS | C köşesi | Orta açı | |
| 3 (en küçük artık) | CR | B köşesi | En büyük açı | B seçeneği |
10. Kaynaklar
- MEB Ortaokul Matematik Ders Kitapları
- Yaygın üçgen geometrisi yöntemleri ve ip/şerit testleri
- Online geometri soru bankaları, benzer üçgen problemleri
Kısa Özet
Bu problemde, üçgende köşelere sabitlenen bir ipi iki kenar boyunca gerip üçüncü kenarda ortaya çıkan artık ip uzunluğunu ölçerek, iç açılar büyüklük sıralaması tayin edilmektedir. Büyük açı daha fazla “kıvrım” yarattığı için artık parça kısa kalır, küçük açı ise daha az kıvrım ve daha büyük artık bırakır. Verilen |BP| > |AS| > |CR| koşulunda, |CR| (=en küçük) → B açısı en büyük, |BP| (=en büyük) → A açısı en küçük, arada kalan C açısı ortancadır. Dolayısıyla m(B) > m(C) > m(A). Cevap, seçeneklerden B’dir.