x∈R+ MİN(x+15/x)∈z=?

YKS TYT
,
1

Türev sorusu

2

x ∈ R⁺ için min(x + 15/x) ∈ Z nedir?

Cevap:

Bu problemi çözmek için öncelikle verilen fonksiyonun türevini alarak minimum değeri bulmamız gerekir. Daha sonra bu değerin bir tam sayı olup olmadığını kontrol edeceğiz.

Çözüm Adımları:

  1. Fonksiyonun Tanımı:

    • Verilen fonksiyon: ( f(x) = x + \frac{15}{x} )

  2. Türevini Alın:

    • Fonksiyonun türevini bulalım:

      f'(x) = 1 - \frac{15}{x^2}

  3. Kritik Noktayı Bulun:

    • Türev fonksiyonu sıfıra eşitleyip, (x) için çözerek kritik noktayı bulalım:

      1 - \frac{15}{x^2} = 0 \implies \frac{15}{x^2} = 1
      x^2 = 15 \implies x = \sqrt{15}

  4. İkinci Türev Testi:

    • Minimum ya da maksimum olup olmadığını kontrol etmek için ikinci türevi alabiliriz:

      f''(x) = \frac{30}{x^3}

    • Burada (x > 0) olduğu için (f’'(x) > 0), yani fonksiyon konkav yukarıdır ve bu nedenle bu kritik nokta bir minimum noktadır.

  5. Minimum Değeri Hesapla:

    • Şimdi kritik noktada fonksiyonun değerini bulalım:

      f(\sqrt{15}) = \sqrt{15} + \frac{15}{\sqrt{15}} = \sqrt{15} + \sqrt{15} = 2\sqrt{15}

  6. Tam Sayı Çözüm:

    • (2\sqrt{15}) bir tam sayı olup olmadığını kontrol edelim. (\sqrt{15}) irrasyonel bir sayı olduğundan, (2\sqrt{15}) da irrasyoneldir ve bu nedenle tam sayı değildir. Dolayısıyla bu problemde en küçük tam sayı sonucu yoktur.

Sonuç olarak, (f(x) = x + \frac{15}{x}) ifadesinin minimum değeri tam sayı değildir. Ancak, yakında bulunan tam sayıyı düşünecek olursak, (2\sqrt{15} \approx 7.746) olduğundan, en yakın tam sayı 8’dir.