Sorunun çözümünü adım adım yapalım:
Verilen fonksiyon:
$$f(x) = x^3 + 2x^2 + 15x + 5$$
Yerel Maksimum ve Minimum Noktaları Bulmak
Yerel ekstrem noktaları bulabilmek için türev alırız. Türev, fonksiyonun eğimini analiz ederek kritik noktaları belirlememize yardımcı olur.
Birinci türev:
$$f’(x) = 3x^2 + 4x + 15$$
Kritik Noktalar:
Kritik noktaları bulmak için türevi sıfıra eşitleriz:
$$f’(x) = 0$$
$$3x^2 + 4x + 15 = 0$$
Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Ancak dikkat edersek, bu denklemin discriminantını (ayrım) inceleyebiliriz.
Ayrım Hesabı
Discriminant (delta):
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
Burada a = 3, b = 4, c = 15.
$$\Delta = 4^2 - 4(3)(15)$$
$$\Delta = 16 - 180$$
$$\Delta = -164$$
Sonuç: \Delta < 0 olduğundan, bu denklemin gerçek kökü yoktur.
Bu durumda verilen fonksiyonun türevi sıfır olmadığında, fonksiyonun yerel minimum ve maksimum noktalar türev ile bulunamayabilir. Eğer türev sıfır.
f(x) = x³ + 2kx² + 15x + 5 fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi 5 olduğuna göre, yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?
Cevap:
Öncelikle fonksiyonun türevini alalım. Yerel ekstremum noktalarını (yerel maksimum ve minimum) bulmak için türevi sıfıra eşitlememiz gerekir:
Verilen bilgiye göre yerel minimum noktası $x=5$’tedir. Bu durumda f'(5)=0 eşitliğinden k değerini bulabiliriz:
Böylece k = -4.5 bulunur. Şimdi fonksiyonun türevi:
Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım:
Tüm terimleri 3’e bölersek:
Bu denklemin çarpanlarına ayrılmış hali:
dolayısıyla kritik noktalar x = 1 ve x = 5 olarak bulunur. Soruda x=5 değerinin yerel minimum olduğu belirtilmiş olduğundan, diğer kritik nokta olan x=1 yerel maksimum noktasıdır.
Özet Tablo
| Adım | İşlem/Tanım | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Fonksiyonun Türevi | f'(x) = 3x^2 + 4kx + 15 | – |
| 2. Yerel Min. Koşulu (x=5) | f'(5)=0 \implies 3 \cdot 25 + 4k \cdot 5 + 15= 0 | k = -4.5 |
| 3. Türevde k=-4.5 Değeri | f'(x)=3x^2 - 18x + 15 | – |
| 4. Kritik Noktaları Bulma | 3x^2 - 18x + 15 = 0 \implies x^2 - 6x + 5=0 | x=1 ve x=5 |
| 5. Yerel Min. ve Maks. Ayrımı | Verilen: Yerel min. x=5 | Yerel maks. x=1 |
Sonuç olarak: Yerel maksimum noktasının apsisi 1’dir.