Üslü Sayılar ve Denklem

YKS TYT
1

2 üzeri a sayısı ile 2 üzeri b sayısının farkı 2 üzerü 11 ise a ile b’nin toplamı kaçtır?(2üzeri a , 2 üzeri b’den küçüktür.)

2

2 üzeri a sayısı ile 2 üzeri b sayısının farkı 2 üzeri 11 ise a ile b’nin toplamı kaçtır?

Cevap:

Bu soruda, 2^a ve 2^b üslü sayıları arasında bir fark verilmiş ve 2^a'nın 2^b'den küçük olduğunu biliyoruz. Bu şartlarda, 2^b - 2^a = 2^{11} eşitliğini sağlayan a ve b değerlerini bulmamız gerekiyor. İşte adımlar:

Çözüm Adımları:

  1. Fark Denklemini Yaz

    Verilen fark denklemini yazalım:

    2^b - 2^a = 2^{11}

    Burada 2^a, 2^b'den küçük olduğuna göre, b > a olacaktır.

  2. Ortaya Çıkarılabilen Ortak Çarpanı Belirle

    Fark denklemine göre:

    2^b - 2^a = 2^a (2^{b-a} - 1) = 2^{11}

  3. En Küçük b-a Değerini Bul

    Denklemden 2^a'nın en küçük değerini alabilmesi için 2^{b-a} - 1 = 2^{11-a}'yi belirlemeliyiz. Dolayısıyla b-a = 11 olabilir.

  4. Buna Göre a ve b Bul

    b - a = 11 olduğundan dolayı, b = a + 11.

  5. a ve b Değerlerini Yerine Koyarak a’nın En Küçük Değerini Belirle

    2^a (2^{11}) = 2^{11} eşitliğinden:

    2^a = 1 \implies a = 0

  6. b’nin Değerini Bul

    Eğer a = 0 ise, b = a + 11 = 0 + 11 = 11 olacaktır.

  7. a ile b’nin Toplamını Hesapla:

    a + b = 0 + 11 = 11

Sonuç olarak, a ile b’nin toplamı \boxed{11}'dir.