Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi nasıl yapılır 8. sınıf

YKS TYT
1

üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi nasıl yapılır 8. sınıf

2

Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemi Nasıl Yapılır? - 8. Sınıf

Cevap:

Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri temel kurallara dayanır. Ancak, bu işlemleri yapabilmek için üslü ifadelerin temsilleri uyumlu olmalıdır. Aşağıda gerekli olan adımlar detaylı bir şekilde açıklanmıştır:

1. Üslü İfadelerde Temel Kural

  • Üs ve taban: Üslü ifadelerde toplama veya çıkarma işlemi yapmak için ifadelerin tabanları ve üsleri aynı olmalıdır.
    Örneğin:
    • x^2 ve x^2 aynı taban ve üste sahiptir.
    • Ancak 2^3 ile 3^2'yi toplama veya çıkarma yapamazsınız; çünkü tabanlar ve/veya üsler farklıdır.

2. Toplama İşlemi

Eğer ifadelerin tabanları ve üsleri aynıysa, bu ifadeleri katsayılar üzerinden toplayabilirsiniz.

  • Örnek:
    3x^2 + 5x^2
    Burada taban ve üsler aynı olduğu için, katsayılar toplanır:

    3x^2 + 5x^2 = 8x^2

  • Başka bir Örnek:
    4a^3 + 6a^3

    4a^3 + 6a^3 = 10a^3

Eğer tabanlar veya üsler farklıysa toplama işlemi yapılamaz ve ifade olduğu gibi bırakılır:

  • Örnek:
    2x^3 + 3x^2 bu işlem sadeleştirilemez.

3. Çıkarma İşlemi

Çıkarma da aynı toplama mantığında yapılır: tabanlar ve üsler aynı olmalıdır. Katsayıların farkı alınır.

  • Örnek:
    9y^4 - 4y^4

    9y^4 - 4y^4 = 5y^4

  • Başka bir Örnek:
    7a^5 - 2a^5

    7a^5 - 2a^5 = 5a^5

Eğer tabanlar veya üsler farklıysa, çıkarma yapılamaz.

  • Örnek:
    5x^3 - 2x^2 sadeleştirilemez.

4. Özel Durumlar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler

  • Farklı Tabanlar ve Üsler: Yineleme gerekirse, tabanlar VE üsler aynı değilse işlem yapılamaz.
    Örnek:
    2^3 + 3^3 \neq 5^3 veya x^3 + x^4 sadeleştirilemez.

  • Dağılma Özelliği (Çarpma İşleminde): Eğer ifadeler katsayıya bağlı olarak ortak bir taban içeriyorsa, ortak çarpan parantezine alınabilir.
    Örnek:
    3x^2 + 5x^2 = (3+5)x^2 = 8x^2

5. Uygulamalı Örnek Soru

Soru:
Aşağıdaki işlemleri yapınız:
a) 4m^3 + 7m^3
b) 10y^2 - 6y^2
c) 5x^3 + 2x^4

Çözüm:
a) 4m^3 + 7m^3 = (4+7)m^3 = 11m^3
b) 10y^2 - 6y^2 = (10-6)y^2 = 4y^2
c) 5x^3 + 2x^4: Bu ifade sadeleştirilemez çünkü üsler farklıdır.

6. Sonuç

Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işleminde dikkat edilmesi gereken en önemli şey, tabanların ve üslerin aynı olmasıdır. Eğer taban ve üs aynı değilse işlem yapılamaz. Aynı taban ve üslere sahip ifadeler ise katsayılar üzerinden işlem görür.

Eğer başka bir örnek istersen veya anlamadığın noktada yardıma ihtiyacın olursa, sorularını sormaktan çekinme! :blush:

@username

1 Beğeni
3

Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi nasıl yapılır 8. sınıf?

Cevap:

Üslü ifadelerde (örneğin, a^n şeklinde) toplama ve çıkarma yapabilmek için öncelikle hangi durumlarda bu işlemlerin kolayca gerçekleştirilebileceğini bilmek gerekir. Aşağıda, 8. sınıf seviyesinde üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerinin mantığını ve adımlarını bulabilirsiniz.

Üslü İfadelerin Tanımı ve Temel Terimler

  1. Üs (kuvvet): Bir ifadedeki tekrar eden çarpma sayısını gösterir. Örneğin, 3^4 “3’ün dördüncü kuvveti” demektir ve 3 \times 3 \times 3 \times 3 anlamına gelir.
  2. Taban (base): Üssü alınan sayıdır. Örneğin, $3^4$’de taban 3’tür.
  3. Kuvvet (üs) alma: Tekrarlı çarpma işlemini kısaca göstermeye yarar.

Toplama ve Çıkarma İşleminin Kuralı

Üslü ifadelerde toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için, toplanacak ya da çıkarılacak terimlerin:

  • Tabanının aynı olması,
  • Üsünün aynı olması,
  • Terimlerin sadeleştirildiğinde benzer (like terms) hâle gelmesi

gerekir. Aksi hâlde ifadeler tek bir terim hâlinde doğrudan birleştirilemez ve çoğunlukla farklı üs ve tabanlardaki ifadeler basitçe toplanıp çıkarılamaz.

1. Aynı Taban ve Aynı Üs Durumu

Örnek:

  • 5 \cdot 2^3 + 7 \cdot 2^3
    Burada taban 2, üs 3 ve her iki terimde de aynıdır. Dolayısıyla ifade, sayısal kat sayılarının toplanmasıyla şu şekilde yazılabilir:
    (5 + 7) \cdot 2^3 = 12 \cdot 2^3

Benzer biçimde bir çıkarma örneği:

  • 8 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3^2 = (8 - 2) \cdot 3^2 = 6 \cdot 3^2

Sonuç: Aynı taban ve üs olduğunda, sadece sayı katsayıları toplanıp ya da çıkarılır ve ortak üslü ifade aynen korunur.

2. Farklı Taban veya Farklı Üs Durumu

Bu durumda üslü ifadeleri yeniden düzenleyerek ortak bir ifade çıkarmaya çalışırız. Eğer ortak taban veya ortak bir çarpan elde edemezsek, ifadeler son hâliyle yazılır, tek terimde basitleştirilemez.

2.1. Taban Dönüştürme

Örneğin,

  • 2^3 + 4^3 ifadesini inceleyelim.
    • 4^3 ifadesi, (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 şeklinde yazılabilir.
    • Böylece, 2^3 + 4^3 = 2^3 + 2^6 hâline gelir.
    • Tabanlar aynı ancak üsler farklı (3 ve 6).
    • Ortak bir üs formu yoksa toplama işlemi tek bir terim hâlinde yazılamaz.
    • İfade, 2^3 + 2^6 biçiminde kalır.

2.2. Ortak Katsayı Farkı

  • Eğer tabanlar veya üsler farklı olsa da bir faktör çıkarma imkânı varsa, bu yöntem kullanılabilir.
  • Örnek: 4^2 + 4^3 = 4^2 (1 + 4) = 4^2 \times 5 = 5 \cdot 4^2. Bu örnekte yüksek üslü ifadeyi düşük üssün çarpanı cinsinden yazarsak (yani 4^3 = 4^2 \cdot 4), toplama işlemi ortak ifade üzerinden yapılabilir.

Adım Adım Çözüm Örnekleri

  1. Örnek 1
    2 \cdot 5^4 + 7 \cdot 5^4

    • Aynı taban (5) ve aynı üs (4) var.
    • Sadece kat sayıları toplayın: (2 + 7) \cdot 5^4 = 9 \cdot 5^4

  2. Örnek 2
    3^2 + 9^2

    • Tabanlar: 3 ve 9, üs: 2.
    • Dönüştürme: 9 = 3^2 olduğu için 9^2 = (3^2)^2 = 3^4
    • İfade: 3^2 + 3^4. Ortak üs yok, sadeleştirme yapılamaz.
    • Son hâli: 3^2 + 3^4 (Bu şekilde bırakılır.)

  3. Örnek 3
    2^3 - (2 \cdot 2^3)

    • İlk terim 2^3, ikinci terim 2 \cdot 2^3.
    • İfadeler aynı taban ve aynı üse sahip (2^3).
    • Çıkarma: 2^3 - 2 \cdot 2^3 = (1 - 2) \cdot 2^3 = -1 \cdot 2^3 = -2^3

Özet

  1. Aynı taban ve aynı üssü olan ifadelerde toplama ve çıkarma, katsayılarının toplanmasına ya da çıkarılmasına dayanır.
  2. Tabanı veya üssü farklı olan ifadelerde, ortak taban veya ortak çarpan bulunabilirse dönüştürülüp benzer terim hâline getirilebilir.
  3. Dönüştürme sonucu yine aynı üs veya aynı taban elde edilemiyorsa, ifade tek terim hâlinde basitleştirilemez.

Özellikle 8. sınıf düzeyinde, bu işlemlerdeki en önemli kural, “benzer terimleri” belirleyip onları katsayı cinsinden toplamak veya çıkarmaktır. Farklı taban ya da farklı üs olduğunda ise ortak bir form bulunup bulunamayacağına bakılır, bulunamazsa işlemi basitçe son hâliyle bırakmak gerekir.

@username

1 Beğeni
4

Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi nasıl yapılır 8. sınıf?

Cevap:

Üslü ifadeler, matematikte sayıların veya değişkenlerin belirli kurallara göre tekrar tekrar çarpılmasını ifade eder. 8. sınıf düzeyinde, üslü ifadeleri anlama ve bu ifadelerle işlem yapabilme (toplama, çıkarma, çarpma, bölme gibi) konuları oldukça önemlidir. Özellikle toplama ve çıkarma işlemlerinde dikkat edilmesi gereken en kritik nokta, “benzer terimler” yaklaşımını özümsemektir. Bu kapsamlı anlatımda, üslü ifadelerin tanımından başlayarak, toplama ve çıkarma işlemlerindeki ayrıntılı kurallara kadar her aşamayı örneklerle açıklayacağız. Ayrıca, ilgili tüm önemli noktaları adım adım irdeleyerek, konuyu derinlemesine öğreneceğiz. Lütfen her bölümdeki örnekleri ve açıklamalarını dikkatle inceleyiniz. Bu anlatım 8. sınıf düzeyine uygun olarak düzenlenmiştir ve hem temel kavramları hem de yararlı ipuçlarını içermektedir.

İçindekiler

  1. Üslü İfadelerin Tanımı ve Temel Bilgiler
  2. Üslü İfadelerde Temel Kurallar
    2.1. Üslü Bir İfadenin Elemanları
    2.2. Üs, Taban ve Katsayı
    2.3. Sık Kullanılan Üs Değerleri
  3. Benzer Terimler ve Üslü İfadelerde “Aynı Taban ve Aynı Üs” Kavramı
  4. Üslü İfadelerde Toplama İşlemi
    4.1. Benzer Terimlerin Birleştirilmesi
    4.2. Örnekler ve Çözümleri
  5. Üslü İfadelerde Çıkarma İşlemi
    5.1. Ortak Terimlerin Çıkarılması
    5.2. Örnekler ve Çözümleri
  6. Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
    6.1. Farklı Taban veya Farklı Üs Olduğunda Ne Yapılır?
    6.2. İşaretler ve Sıfır Üssü
  7. Karma Örnekler ve Adım Adım Çözüm
  8. Uygulama Soruları
  9. Yaygın Hatalar
  10. Özet Tablo
  11. Sonuç ve Kısa Özet
  12. Kaynaklar

1. Üslü İfadelerin Tanımı ve Temel Bilgiler

Üslü ifadeler, bir sayının ya da değişkenin kendisiyle belirli sayıda çarpılmasını kısaltarak ifade etmemizi sağlar. Örneğin, 2^3 ifadesi aslında 2 \times 2 \times 2 anlamına gelir ve değeri $8$’dir. Benzer şekilde, 5^4 ifadesi $5 \times 5 \times 5 \times 5$’tır ve değeri $625$’tir.

  1. sınıf düzeyinde, üslü ifadelerin toplama ve çıkarma işlemleri, özellikle benzer terimleri dikkate almayı gerektirir. Matematikte benzer terimler (ya da eş terimler) ifadesi, aynı değişkene ve aynı üssü sahip olan terimler için kullanılır. Toplama çıkarma yaparken, sadece benzer terimler birleştirilerek (ya da birbirinden çıkarılarak) basitleştirme yapılabilir.

Bu noktada en sık karıştırılan durum, üslü ifadelerle çarpma ve bölme kuralları ile toplama-çıkarma kurallarının birbirine karıştırılmasıdır. Çarpma veya bölmede tabanlar aynı olduğunda üsler toplanır ya da çıkarılır ancak toplama veya çıkarmada böyle bir kural yoktur. Toplama ve çıkarma için, terimlerin (yani taban ve üs kısmının) birebir aynı olması gerekir; yalnızca o zaman katsayılar toplanır veya çıkarılır.

2. Üslü İfadelerde Temel Kurallar

Üslü ifadelerin toplama ve çıkarma işlemlerine geçmeden önce, bazı temel kuralları hatırlamak önemlidir. Bu bölümde üslü ifadelerin yapısına dair kısa bilgiler ve kullanılan temel kuralları özetleyeceğiz.

2.1. Üslü Bir İfadenin Elemanları

Bir üslü ifade genel olarak şu şekilde gösterilir:

a^n

Burada:

  • a: ifadenin tabanını (base) ifade eder.
  • n: ifadenin üssünü (exponent) ifade eder.

Örnek:

  • a = 2 ve n = 3 olduğunda 2^3 = 8.
  • a = 5 ve n = 4 olduğunda 5^4 = 625.

2.2. Üs, Taban ve Katsayı

Bazı durumlarda üslü ifadelerin önünde bir katsayı olabilir. Örneğin 3 \cdot x^2 ifadesinde, 3 katsayı, x taban, 2 ise üsttür. Burada toplama ve çıkarma işlemlerinde katsayılar birleştirilir ve ifadenin üslü kısmı benzer terim olduğu sürece korunur.

2.3. Sık Kullanılan Üs Değerleri

  • x^1 = x
  • x^2 = x \times x
  • x^3 = x \times x \times x
  • 10^0 = 1
  • (-1)^2 = 1
  • (-1)^3 = -1

Bu tür sık görülen özel durumlar, işlem yaparken hızlı şekilde hatırlama imkânı sunar.

3. Benzer Terimler ve Üslü İfadelerde “Aynı Taban ve Aynı Üs” Kavramı

Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma yaparken, sadece aynı tabana ve aynı üssü sahip terimler birbiriyle toplanıp çıkarılabilir. Bu terimler matematikte benzer terimler olarak adlandırılır. Benzer terimler, dış kat sayıları farklı olsa bile, üslü “bölüm”leri birebir aynıdır.

Örnek Benzer Terimler:

  • 3x^2 ve 5x^2
  • 2 \cdot a^3 ve -7a^3
  • 7 \cdot 2^5 ve 4 \cdot 2^5

Örnek Benzer Olmayan Terimler:

  • 3x^2 ve 5x^3 (Biri x^2, diğeri x^3 olduğundan üsler farklı)
  • 2x^3 ve 2y^3 (Tabanlar farklı: x ile y)
  • 3 \cdot 2^5 ve 2 \cdot 3^5 (Tabanlar sırasıyla 2 ve 3 olduğundan farklı)

Birleştirme (toplama ya da çıkarma) yapabilmek için, taban ve üs kısımları tamamen aynı olmalıdır. İşte bu nokta, üslü ifadelerin toplama ve çıkarma işlemlerinin en kritik kuralıdır.

4. Üslü İfadelerde Toplama İşlemi

Üslü ifadelerde toplama işlemi, sadece benzer terimlere uygulanır. Benzer terimlerde değişkenin (veya sayının) tabanı ve üssü aynı olduğu için, toplanan terimlerin katsayıları birleştirilir, üslü kısım ise olduğu gibi korunur.

4.1. Benzer Terimlerin Birleştirilmesi

Genel yaklaşım:

  • Aynı taban ve aynı üssü taşıyan terimler bulunur.
  • O terimlerin katsayıları birbiriyle toplanır.
  • Üslü kısım aynen kalır.

Basit bir örnekle açıklarsak:

3x^2 + 5x^2 = (3 + 5) x^2 = 8x^2

Gördüğünüz üzere, burada x^2 ortak terim olduğu için kat sayılar (3 ve 5) toplandı, sonuç 8 oldu ve üslü ifade x^2 şeklinde sabit kaldı.

4.2. Örnekler ve Çözümleri

Örnek 1

2x^3 + 7x^3
  • Her iki terimdeki değişken x ve üs 3’tür.
  • Katsayılar: 2 ve 7’dir.
  • İşlem: (2 + 7)x^3 = 9x^3.

Örnek 2

5a^4 + 4a^4 + a^4
  • Tüm terimlerin tabanı a, üssü 4’tür.
  • Katsayılar: 5, 4 ve 1 (görünmez 1).
  • İşlem: (5 + 4 + 1)a^4 = 10a^4.

Örnek 3

6 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^2 = (6 + 4) \cdot 3^2 = 10 \cdot 3^2 = 10 \cdot 9 = 90

Burada son aşamada istenirse değer hesaplanabilir. Ancak çoğu zaman üslü ifadeyi “$10 \cdot 3^2$” şeklinde bırakmak da mümkündür.

Örnek 4 (Farklı Taban ve Aynı Üs Olduğunda)

2 \cdot 3^4 + 4 \cdot 2^4

Bu terimler benzer terim değildir çünkü tabanlar farklı (biri 3, diğeri 2). O yüzden bu iki terim toplanamaz. Bu ifade “$2 \cdot 3^4 + 4 \cdot 2^4$” şeklinde kalır veya sayılar hesaplanırsa:

  • 3^4 = 81
  • 2^4 = 16
  • Toplam = (2 \times 81) + (4 \times 16) = 162 + 64 = 226

Ancak “benzer terim” prensibi gereği, üslü bir ifade olarak tek terime dönüştürülemez.

5. Üslü İfadelerde Çıkarma İşlemi

Üslü ifadelerde çıkarma işlemi de toplama ile aynı mantığa dayanır. Tek fark, katsayıların toplanması yerine çıkarılmasıdır. Yine kesin olarak taban ve üs aynı olmalıdır. Bu koşulları sağlamayan terimler doğrudan birbirinden çıkarılamaz; ifade olduğu gibi kalır ya da hesaplanır.

5.1. Ortak Terimlerin Çıkarılması

Genel formül:

A \cdot a^n - B \cdot a^n = (A - B) \cdot a^n

5.2. Örnekler ve Çözümleri

Örnek 1

7x^2 - 3x^2
  • İki terimde de taban x, üs 2 şeklindedir.
  • Katsayılar 7 ve 3’tür.
  • Çıkarma: (7 - 3)x^2 = 4x^2.

Örnek 2

9 \cdot 2^3 - 5 \cdot 2^3
  • Taban 2, üs 3. Katsayılar 9 ve 5’tir.
  • Çıkarma: (9 - 5) \cdot 2^3 = 4 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32.

Örnek 3

5a^4 - 2a^3
  • Biri a^4, diğeri a^3 türündedir. Tabanlar aynı (a) olsa da üsler farklı (4 ve 3).
  • Benzer terim olmadığından sonuç aynı kalır:
5a^4 - 2a^3

herhangi bir sadeleştirme yapılamaz.

6. Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar

Üslü ifadelerde hem toplama hem de çıkarma işleminde en büyük tuzak, “tabanlar aynıysa üsler toplanır” gibi çarpma kuralını yanlışlıkla burada uygulamaktır. Toplama/çıkarma işleminin kuralı farklıdır: Benzer terimler toplanır, benzer olmayanlar toplanamaz. Benzer olmak için de hem taban hem üs aynı olmalıdır.

6.1. Farklı Taban veya Farklı Üs Olduğunda Ne Yapılır?

  • Taban farklı ise veya üs farklı ise, terimler benzer terim değildir. Bu durumda terimler toplanamaz ya da çıkarılamaz. Örnekler:
    • 3x^2 + 2x^3 \rightarrow Taban x, ama üsler 2 ve 3, benzer terim değiller.
    • 2 \cdot 4^3 + 3 \cdot 2^3 \rightarrow Üsler aynı (3), ama tabanlar 4 ve 2 farklı.
  • Eğer işlem gerektiriyorsa, üslü kısım hesaplanarak sayısal değere dönüştürülüp normal toplama/çıkarma işlemi yapılabilir. Ancak bu durumda her terim ayrı ayrı hesaplanır; tek başlık altında birleştirilmez.

6.2. İşaretler ve Sıfır Üssü

  • a^0 = 1 (a ≠ 0 için geçerli)
  • (-a)^2 = a^2 (çift üs durumunda eksi işareti kaybolabilir)
  • (-a)^3 = -a^3 (tek üs durumunda eksi kalır)

Bu tür işaret kuralları, toplama-çıkarma yaparken de karşımıza çıkar. Özellikle negatif katsayılı terimlerde toplama veya çıkarma yaparken, işaret dikkatle takip edilmelidir.

7. Karma Örnekler ve Adım Adım Çözüm

Bu bölümde, birden fazla üslü ifadeyi içeren karmaşık örnekler göreceğiz. Adım adım nasıl ilerleyeceğinizi görelim.

Örnek 1

Aşağıdaki ifadeyi olabildiğince sadeleştiriniz:

2x^4 + 3x^2 - x^4 + 5x^3 - 2x^2 + x^4

Adım Adım Çözüm

  1. Aynı üsleri gruplara ayırın:

    • x^4: 2x^4, -x^4, ve +x^4
    • x^3: +5x^3
    • x^2: 3x^2 ve -2x^2

  2. Grupları kendi aralarında toplayın/çıkarın:

    • x^4 grubu: 2x^4 - x^4 + x^4 = (2 - 1 + 1)x^4 = 2x^4
    • x^3 grubu: 5x^3 (tek terim, değişmez)
    • x^2 grubu: $3x^2 - 2x^2 = (3 - 2)x^2 = 1x^2 = x^2

  3. Sonuç:

    2x^4 + 5x^3 + x^2

Örnek 2

Aşağıdaki ifadeyi sadeleştirin:

4 \cdot 2^3 + 2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 2^3 + 3 \cdot 3^2 + 2 \cdot 2^4

Adım Adım Çözüm

  1. Aynı taban ve aynı üsleri tespit edin. Bu örnekte farklı tabanlar var (2 ve 3), farklı üsler de olabilir:
    • 2^3: 4\cdot 2^3 ve -5 \cdot 2^3
    • 3^2: 2 \cdot 3^2 ve 3 \cdot 3^2
    • 2^4: 2 \cdot 2^4
  2. Hesaplayın ya da benzer terimleri birleştirin:
    • 4 \cdot 2^3 - 5 \cdot 2^3 = (4 - 5) \cdot 2^3 = -1 \cdot 2^3 = -2^3
    • $2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^2 = (2 + 3) \cdot 3^2 = 5 \cdot 3^2
    • 2 \cdot 2^4 terimi tek başına kalıyor.
  3. İfade şu hale gelir:
    -2^3 + 5 \cdot 3^2 + 2 \cdot 2^4
  4. İsterseniz sayısal değerleri de hesaplayabilirsiniz:
    • 2^3 = 8, dolayısıyla -2^3 = -8
    • 3^2 = 9, dolayısıyla $5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45
    • 2^4 = 16, dolayısıyla $2 \cdot 2^4 = 32
    • Toplam = $(-8) + 45 + 32 = 69

Sonuç olarak üslü ifade şeklinde bırakmak isterseniz:

-2^3 + 5 \cdot 3^2 + 2 \cdot 2^4

Sayısal sonuç olarak isterseniz 69 elde edersiniz.

8. Uygulama Soruları

Şimdi sıra sizde! Aşağıda birkaç alıştırma verilmiştir. Her birini yaparken önce benzer terimleri bulun, sonra toplama-çıkarma işlemlerini uygulayın.

  1. Soru 1:

    3x^5 + 7x^5 - 2x^5

    İfadeyi sadeleştiriniz.

  2. Soru 2:

    4y^3 - 9y^3 + 5y^2 - y^3 + 2y^2

    İfadeyi benzer terimlere göre düzenleyip sadeleştiriniz.

  3. Soru 3:

    3 \cdot 2^4 + 5 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^4

    Önce benzer terimleri toplayınız, ardından isterseniz sayısal sonuca ulaşınız.

  4. Soru 4:

    2a^2 + 5a^3 - a^2 + 3a^3

    Benzer terimleri gruplandırarak sonuca ulaşınız.

  5. Soru 5 (Karışık Örnek):

    2a^2 + a^3 - 3a^2 + 4a^2 - 5a^3 + a^4

    Adım adım benzer terimleri birleştirerek ifadenin en sade halini bulunuz.

Bu alıştırmaları çözerek, üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri konusunu pekiştirebilirsiniz.

9. Yaygın Hatalar

  1. Taban aynı olduğunda eksik kontrol: Tabanların aynı olması tek başına yeterli değildir; üslerin de aynı olması gerekir.
  2. Çarpma kuralını toplama işleminde uygulama: Çarpma veya bölmeden hatırladığımız “tamam, tabanlar aynıysa üsleri toplarız” kuralını yanlışlıkla toplama işleminde kullanmamak gerekir.
  3. İşaret hataları: Negatif katsayılar veya negatif tabanlar söz konusu olduğunda, toplama-çıkarma karışıklıklarına yol açabilir.
  4. Sıfır üssü: a^0 = 1 kuralını unutmak.
  5. Katsayıyı unutmak: Benzer terimleri toplarken üslü kısmı aynı kalsa da, katsayıların doğru bir şekilde toplanması veya çıkarılması gerekiyor.

Bu hatalara dikkat etmek, soruları doğru çözüme götürür.

10. Özet Tablo

Aşağıdaki tablo, üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerini kısaca özetler ve tipik örnekler sunar:

İşlem Açıklama Örnek Sonuç
Benzer Terimleri Bulma Aynı taban ve aynı üs 3x^2 ve 5x^2 benzer terimler Benzer Terimler: x^2
Toplama: Benzer Terimler Katsayılar toplanır, üslü kısım sabit kalır 3x^2 + 5x^2 (3 + 5)x^2 = 8x^2
Çıkarma: Benzer Terimler Katsayılar çıkarılır, üslü kısım sabit kalır 9a^3 - 4a^3 (9 - 4)a^3 = 5a^3
Benzer Olmayan Terimler Nedir? Tabanı veya üssü farklı olan terimler 2x^2 ve 3x^3 veya 4 \cdot 2^3 ve 2 \cdot 3^3 Toplanamaz veya çıkarılamaz, ifade aynı kalır
Numerik Sonuç (İstenirse) İsterseniz üslü değer hesaplanıp sonuç bulunabilir 3 \cdot 2^3 - 7 \cdot 2^3 = (3-7)\cdot 8 -4 \times 8 = -32
Sık Yapılan Hata: Toplama vs. Çarpma Toplamada benzer terim, çarpmada üsler toplanıyor; birbirine karıştırılmamalıdır Toplama: 3x^2 + 4x^2 = 7x^2
Çarpma: (x^2)(x^3)=x^{2+3}=x^5		 Dikkatli olunmalı, kural farkı büyük önem taşır.

11. Sonuç ve Kısa Özet

Bu metinde, 8. sınıf düzeyinde üslü ifadelerde toplama ve çıkarma konusunu en temel ayrıntılarına kadar inceledik. Ana noktaları şu şekilde özetlemek mümkün:

  • Benzer terimler: Aynı tabana ve aynı üssü sahip olan ifadelerdir.
  • Toplama-çıkarma: Sadece benzer terimleri birleştirebiliriz. Katsayılar eklenir ya da çıkarılırken, üslü kısım sabit kalır.
  • Farklı taban veya farklı üs: Bu durumdaki terimler toplanamaz veya çıkarılamaz; ifadede değişiklik yapılmadan bırakılır veya istenirse sayısal değerler hesabıyla bir sonuç üretilir.
  • Negatif katsayılar ve sıfır üssü (örneğin a^0 = 1) gibi ayrıntılara dikkat etmek gerekir.

Bu konu, ileri düzey matematiğin temel taşı olarak görülebilir çünkü bu kurallar, ortaokul ve lise yıllarındaki daha karmaşık ifadelerin sadeleştirilmesinde (özellikle cebirsel işlemlerde) sürekli kullanılacaktır. Aynı zamanda çarpma ve bölme ile karışmaması gereken kurallar olması, sorularda sıkça yapılan hatalara yol açtığı için çok önemlidir.

Sonraki aşamalarda üslü denklemler, rasyonel üslü ifadeler ve köklü ifadelerle daha gelişmiş uygulamalar yapılacaktır. Ancak, temel düzlemde benzer terim mantığını iyice kavramak, matematiksel başarı için son derece kritiktir.

12. Kaynaklar

  • MEB (Milli Eğitim Bakanlığı) 8. Sınıf Matematik Ders Kitabı
  • Ortaokul Matematik Konu Anlatımları (Çeşitli Yayınlar)
  • Açık Öğretim Kaynakları (OpenCourseWare)
  • Khan Academy Türkçe, Matematik Bölümü

@nehir_onaran

1 Beğeni
5

2 üzeri 35 ile 2üzeri 3 nasıl toplanır

6

2 üzeri 35 ile 2 üzeri 3 nasıl toplanır?

Cevap:

Üslü ifadelerde toplama işlemini yapabilmek için taban ve üslerin aynı olması gerekir. Ancak bu ifadeler arasında dikkat çekici bir taban aynı ama üs farklı durumu vardır. Bu tür ifadeler doğrudan benzer terim olmadıkları için sadeleştirilemez veya tek bir üslü ifade hâline getirilemez. Aşağıda bu durumu detaylıca inceleyelim.

1. Üslü İfadelerin Kuralı

Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma yapılabilmesi için:

  • Terimlerin Tabanı aynı (örneğin, her ikisi “2” tabanına sahip olmalı),
  • Terimlerin Üssü aynı (örneğin, her ikisi “2^5” veya “2^3” gibi aynı üssü taşımalı)
    olmalıdır.

Eğer taban aynı olsa da üs farkı varsa, bu terimler benzer terim değildir ve toplama işlemi doğrudan yapılamaz.

2. İfade: 2^{35} + 2^3

Bu ifadede:

  • Taban: Her iki terim de 2 tabanına sahip.
  • Üs: 35 ve 3 birbirinden farklı.

Üsler farklı olduğu için bu ifadeler doğrudan toplanamaz. Üslü ifadeler toplama işlemi için aynı taban ve aynı üssü gerektirir.

Bu durumda, bu ifade 2^{35} + 2^3 olarak bırakılır ya da üslü ifadeler hesaplanarak sayı değerleri üzerinden toplanır.

3. Sayısal Hesaplama (İsterseniz)

Eğer toplama işlemini sayısal olarak yapmak isterseniz, her üslü ifadeyi ayrı ayrı hesaplayarak bunları birlikte toplarsınız. Ancak bu tür büyük üsler hiçbir zaman doğrudan hesaplanmaz; genelde çözüm, üslü biçiminde bırakılır.

Örnek:

  1. 2^3 ifadesinin değeri 2 \times 2 \times 2 = 8.
  2. 2^{35} ifadesi 35 tane 2’nin çarpımıdır ve değeri çok büyüktür (yaklaşık 34 milyar). Bu, çoğunlukla hesap makinelerinde ya da programlarda hesaplanır.

Sonuç:

2^{35} + 2^3 = \text{Çözüm Üslü ve Geniş (Sayısal olarak $34 milyar + 8$).

4. Daha Yaygın Yöntem: Çarpan Parantezine Alma

Bazı özel durumlarda üslü ifadeler ortak bir çarpan kullanılarak yeniden düzenlenebilir. Ancak bu ifadede şu anda ortak bir üslü terim çıkarmak mümkün değildir. Örneğin:

Örnek 1: 2^3 + 2^4

Bu ifade, ortak terim olan 2^3 dışarı çıkarılarak düzenlenebilir:

2^3 + 2^4 = 2^3(1 + 2) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24

Ancak 2^{35} + 2^3 ifadesinde bu mümkün değil çünkü üsler arasında böyle bir çarpan ilişkisi bulunmuyor.

Sonuç

2^{35} + 2^3 ifadesi herhangi bir sadeleştirme işlemi yapmaksızın 2^{35} + 2^3 olarak bırakılabilir veya sayısal değerleri ayrı ayrı hesaplanarak birleştirilebilir. Üsler farklı olduğundan tek bir üslü ifade hâline dönüştürülemez.

Eğer daha fazlasını anlamak veya bu ifadeleri çözmek için yardıma ihtiyacınız olursa, her zaman yazabilirsiniz. :blush:

@nehir_onaran

1 Beğeni
7

2³⁵ ile 2³ Nasıl Toplanır?

Cevap:
Üslü sayılarda toplama ve çıkarma yaparken, terimlerin taban ve üs kısımlarının aynı olması gerekir. Ancak 2³⁵ ile 2³ aynı üs bilgisine (35 ve 3) sahip olmadıkları için doğrudan “benzer terimler” gibi tek bir ifadenin altında birleştirilemezler. Bu durumda, 2³⁵ + 2³ şeklinde tek bir terime dönüştürmek mümkün değildir. Abelir bir sadeleştirme isteniyorsa, sadece ortak çarpan yöntemiyle şu şekilde yazılabilir:
2³⁵ + 2³ = 2³ (2³² + 1).
Bu, ifadenin bir miktar “faktörlenmiş” yani ortak çarpan parantezine alınmış hâlidir ama hâlâ 2³⁵ + 2³’ün tek terimli bir üslü ifade olarak birleşmesi söz konusu değildir.

Bu açıklama, üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerinde “aynı taban, aynı üs” kuralına dayanmaktadır. Bu kuralın ayrıntılarını, üslü ifadelerin genel yapısını ve benzer terimlerle ilgili konuları adım adım anlatarak konuyu derinlemesine ele alalım. Birçok yönden konuyla ilgili bilmeniz gereken noktaları, örnekleriyle birlikte aşağıda bulabilirsiniz.

İçindekiler

  1. Üslü Sayılarda Temel Kavramlar
  2. Üslü İfadelerde Benzer Terim Mantığı
  3. 2³⁵ ile 2³’ün Neden Tek Terim Olarak Birleşemeyeceği
  4. Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Sadeleştirme Yöntemi
  5. Konu ile İlgili Ek Örnekler
  6. Farklı Durumlarda Toplama ve Çıkarma Örnekleri
  7. Negatif Üs, Sıfır Üsü ve İşaret Kuralları
  8. Sık Yapılan Hatalar ve Bunlardan Kaçınma Yöntemleri
  9. Konuya İlişkin Bol Örnekli Uygulama Çalışmaları
  10. Özet Tablo
  11. Sonuç ve Kapsamlı Özet
  12. Kaynaklar

1. Üslü Sayılarda Temel Kavramlar

Üslü sayı, bir sayının ya da değişkenin, kendisiyle belirli sayıda çarpılması durumunu ifade eder. En genel gösterimi aşağıdaki gibidir:

a^n

Burada:

  • a (taban): Üssü alınan değerdir.
  • n (üs): Tabanın kaç defa çarpılacağını gösteren sayıdır.

Örnek olarak:

  • 2^3, “2 taban” ve “3 üs” olup 2 \times 2 \times 2 = 8 değerine eşittir.
  • 5^4, “5 taban” ve “4 üs” olup 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625 değerine eşittir.

1.1. Temel Kurallar

  • Eğer üs 1 ise: a^1 = a.
  • Eğer üs 0 ise (a ≠ 0 için): a^0 = 1.
  • Eğer üs negatif ise: a^{-n} = \frac{1}{a^n}.
  • Taban negatif olabiliyorsa, özellikle çift ve tek üslerin sonucu işaret farklılıkları yaratabilir.

Bu kuralların büyük bölümü, sadece çarpma veya bölme işlemleri yapılırken değil, toplama ve çıkarma yaparken de göz önüne alınması gereken noktalara sebep olur.

1.2. Aynı Taban, Aynı Üs Durumu

Cebirde en sık karşımıza çıkan durum, bir değişkenin farklı üslerle kullanılmasıdır: x^2, x^3, x^4 gibi. Özellikle toplama ve çıkarma işlemlerinde “benzer terimler” kavramı devreye girer.

2. Üslü İfadelerde Benzer Terim Mantığı

Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma yapılırken:

  1. Taban mutlaka aynı olmalıdır.
  2. Üs mutlaka aynı olmalıdır.

Sadece bu iki şart sağlanırsa, katsayılar toplanabilir veya çıkarılabilir. Bu kavram, “benzer terim” kavramı olarak da bilinir.

2.1. Benzer Terimlere Örnekler

  • 3x^2 ve 5x^2 → Taban x, üs 2 aynı olduğu için benzer terimlerdir.
  • 4 \cdot 7^5 ve -2 \cdot 7^5 → Taban 7, üs 5 aynı olduğu için benzer terimlerdir.

Bu durumda, toplama şu şekilde yapılır:

3x^2 + 5x^2 = (3 + 5)x^2 = 8x^2

2.2. Benzer Olmayan Terimlere Örnekler

  • 3x^2 ve 3x^3 → Taban aynı (x), fakat üsler (2 ve 3) farklı.
  • 4 \cdot 2^2 ve 4 \cdot 3^2 → Üs aynı (2), fakat tabanlar (2 ve 3) farklı.
  • 2 \cdot 2^5 ve 2 \cdot 3^5 → Benzer sebepten farklı.

Bu örneklerde terimleri tek bir terim hâline getirerek toplamak veya çıkarmak mümkün olmaz.

3. 2³⁵ ile 2³’ün Neden Tek Terim Olarak Birleşemeyeceği

Sorunun özünde şu iki terimi toplama isteği vardır:

2^{35} \quad \text{ve} \quad 2^3
  • Birincisi, 2 tabanına ve 35 üssüne sahiptir.
  • İkincisi, 2 tabanına ve 3 üssüne sahiptir.

Toplama-çıkarma kurallarına göre, iki üslü ifadenin tek bir terime indirgenebilmesi için:

  1. Tabanlarının aynı olması (burada 2 ve 2 aynı),
  2. Üslerinin de aynı olması (burada 35 ve 3 farklı),

gerekirdi. Görüldüğü üzere, üsler 35 ve 3’tür; dolayısıyla benzer terim değillerdir. Bu iki ifade, 2^{35} + 2^3 şeklinde veya eğer isterseniz sayısal olarak hesaplanıp toplanabilir, fakat “$2^{\text{(iki sayı)}}$” şeklinde tek bir üslü ifade yazılamaz.

3.1. Sayısal Değerler ve Büyüklük Karşılaştırması

  • 2^3 = 8
  • 2^{35} ise çok büyük bir sayıdır (34.359.738.368).

Aralarındaki fark büyüktür ve dolayısıyla bu iki değeri aynı potada eritmek tek bir üslü ifade şeklinde mümkün değildir.

4. Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Sadeleştirme Yöntemi

2³⁵ + 2³ ifadesinde, “ortak çarpan” (common factor) var mıdır diye sorabiliriz. Evet, iki ifadenin de tabanı aynı ve taban 2’dir. Ama aynı üsse sahip değildirler. Yine de “ortak çarpan” ifadesini kullanarak, bir miktar sadeleştirme yapılabilir.

4.1. Ortak Çarpan Olarak 2³’ü Çıkarma

2^{35} + 2^3 \quad \rightarrow \quad 2^3(2^{32} + 1)

Bu adım şöyle açıklanır:

  1. $2^{35}$’i 2^3 \cdot 2^{32} olarak yazabiliriz, çünkü üsler toplandığında (3 + 32) = 35 eder.
  2. 2^3 zaten dışarıda ortak çarpan olarak durur.

Böylece:

2^{35} + 2^3 = 2^3 \times 2^{32} + 2^3 = 2^3 (2^{32} + 1)

Bu ifade, tek başına 2³⁵ + 2³’ün sadeleştirilmiş bir “çarpım” formu gibi düşünülebilir. Yine de sonuç “tek bir üslü ifade” değildir. Ancak bazen, sorunun talebine göre ortak çarpan parantezine alma veya sayısal değerlendirme yararlı olabilir.

4.2. Sayısal Değerle Toplama

Bu iki sayıyı doğrudan toplayıp, ondalık veya tam sayı olarak da ifade edebilirsiniz. Örneğin:

  • 2^3 = 8
  • $2^{35} = 2^{32} \times 2^3 = (4294967296) \times 8 = 34359738368 (bilinen değeri 34.359.738.368)

Toplandığında:

2^{35} + 2^3 = 34359738368 + 8 = 34359738376

Bu oldukça büyük bir sayıdır.

5. Konu ile İlgili Ek Örnekler

Bu bölümde, 2³⁵ + 2³ benzeri farklı senaryolara dair örnekler vererek hem aynı kuralın nasıl uygulandığını hem de “benzer terim” mantığını tekrar edeceğiz.

5.1. Örnek: 3^5 + 3^2

  • 3^5 ve 3^2 tabanları 3 ama üsleri 5 ve 2 olduğundan, benzer terim değildirler.
  • Bu ifade “3^5 + 3^2” şeklinde kalır.
  • Hesaplamak isterseniz:
    • 3^5 = 243
    • 3^2 = 9
    • Toplam = 243 + 9 = 252
  • İsterseniz ortak çarpan olarak 3^2 alınabilir:
    3^2(3^3 + 1) = 9 \cdot (27 + 1) = 9 \cdot 28 = 252
    Yine tek bir üslü ifade elde edemeyiz ama faktörleme yapabiliriz.

5.2. Örnek: 5^7 + 5^7

  • Bu sefer üs ve taban tamamen aynı (5 ve 7).
  • Benzer terimlerdir, bu yüzden tek terim olarak sadeleştirilebilir:
    5^7 + 5^7 = (1 + 1) \times 5^7 = 2 \cdot 5^7.

5.3. Örnek: 2^4 + 3^4

  • Üsler aynı (4 ve 4), tabanlar farklı (2 ve 3).
  • Benzer terim değillerdir, 2^4 + 3^4 tek terim olarak birleştirilemez.
  • İstenirse 2^4 = 16, 3^4 = 81 hesaplanıp 97 bulunabilir.

Bu örnekler, üslü ifadelerde toplama ve çıkarma devreye girdiğinde nelere dikkat etmeniz gerektiğini gösteriyor.

6. Farklı Durumlarda Toplama ve Çıkarma Örnekleri

6.1. Değişkenli İfadelerde

  1. 2x^3 + 7x^3 = 9x^3
    • Benzer terimler (taban aynı: x, üs aynı: 3).
  2. 2x^3 + 2x^2
    • Benzer terim değil (üs 3 ve 2), sadeleştirilemez.

Bu durum, sabit sayılar yerine değişkenlerle de aynı kuralların geçerli olduğunu gösterir.

6.2. Karışık Örnek

Aşağıdaki ifadeyi sadeleştirelim:

3x^2 + 5x^3 - 2x^2 + 8x^3 - x^2
  1. Benzer terimleri gruplayalım:
    • x^2 terimleri: 3x^2, -2x^2, -x^2
    • x^3 terimleri: 5x^3, 8x^3
  2. Hesaplayalım:
    • x^2 tarafı: (3 - 2 - 1)x^2 = 0x^2 = 0
    • x^3 tarafı: $(5 + 8)x^3 = 13x^3
  3. Final sonuç: 13x^3.

Bu örnekte olduğu gibi, bazı terimler birbirini nötrleyebilir ya da sadeleşebilir.

7. Negatif Üs, Sıfır Üssü ve İşaret Kuralları

7.1. Negatif Üs

Örneğin 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}. Toplama yaparken:

  • $5 \cdot 2^{-3} + 3 \cdot 2^{-3} = (5 + 3) 2^{-3} = 8 \cdot 2^{-3} = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1.

7.2. Sıfır Üsü

a^0 = 1 (a \neq 0) genel kuralıdır. Bu sebeple:

  • 2^0 = 1, 3^0 = 1, (-5)^0 = 1.

Toplama ve çıkarma işlemlerinde sıkça karşımıza çıkabilen bir kuraldır.

7.3. İşaret Kuralları

  • (-1)^2 = 1, (-1)^3 = -1, (-1)^4 = 1, vb.
  • Eğer taban negatifse ve üs çift sayı ise sonuç pozitif, üs tek sayı ise sonuç negatif olur.

Bu durum, (-2)^3 + (-2)^3 gibi ifadelerde benzer terim kontrolü yaparken de önemlidir. Taban tam olarak “-2” ve üs de 3 ise, terim benzer olabilir.

8. Sık Yapılan Hatalar ve Bunlardan Kaçınma Yöntemleri

  1. Çarpma Kuralını Toplamada Kullanmak

    • Yanlış Yöntem: “2³ + 2³⁵” → “2^(3+35) = 2³⁸" (Bu doğru değildir!)
    • Doğru Yöntem: Eğer üsler farklıysa toplanamaz, ifadenin aynı kalması gerekir.

  2. Tabanlar Aynı, Üsler Farklı Olduğunda Yanlışlıkla Toplama

    • Yanlış Yöntem: “Aynı taban var, o zaman toplanabilir” sanmak. Halbuki üs de aynı olmak zorunda.

  3. İşaret Yanlışlıkları

    • -2 \cdot 2^3 ile +4 \cdot 2^3 toplanırken katsayılar düzgün toplanmalı: $(-2 + 4) \cdot 2^3 = 2 \cdot 2^3 = 16.

  4. 0 Üsünü Unutmak

    • x^0 = 1. Bu nedenle $3x^0 = 3(1) = 3.

  5. Ortak Çarpan Almayı Unutmak

    • İfadenin sadeleştirilmek istenmesi hâlinde, + veya - işleminden sonra ortak çarpan düşünmek yararlı olabilir.

Bu hatalardan sakınarak, üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerini doğru biçimde yapabilirsiniz.

9. Konuya İlişkin Bol Örnekli Uygulama Çalışmaları

Aşağıdaki alıştırmaları çözerek, 2³⁵ + 2³ gibi farklı üslü ifadeleri daha iyi kavrayabilirsiniz.

  1. Soru 1:

    • Verilen ifadelere benzer terim kavramını uygulayın:
      2^3 + 5 \cdot 2^3 + 2^{10} - 2^3
    • Benzer terimler hangileri, nasıl sadeleşir?

  2. Soru 2:

    • Aşağıdaki ifadede önce ortak çarpan parantezine alma yöntemini, sonra isterseniz sayısal değerleri hesaplamayı deneyin:
      3^5 + 3^2
    • Benzer terim olmadığı için tek terime dönüştürülebilir mi?

  3. Soru 3:

    • Aşağıdaki ifadenin sadeleştirilmiş hâlini yazın:
      4x^3 + 5x^2 - 3x^3 + x^4 + 2x^2
    • Sonuç ne çıkıyor?

  4. Soru 4 (Zorluk Seviyesi Daha Yüksek):

    • Hem negatif üsleri hem de sıfır üssünü içeren bir ifade:
      2^{-2} + 5 \cdot 2^0 - 2^{-2} + 2^0
    • Sadeleştirme sonrası sonuç nedir?

  5. Soru 5 (2³⁵ ve 2³ ile İlgili Tekrar):

    • 2³⁵ + 2³ ifadesini ortak çarpan (2³) parantezine alınız. Sonucu yazınız.

Bu uygulamaları çözerek karşılaştığınız farklı senaryoları iyice pekiştirebilirsiniz.

10. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda, üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerine dair özet bir görünüm elde edebilirsiniz:

Konu Başlığı Açıklama Örnek Sonuç
Benzer Terim Koşulu Taban aynı + Üs aynı 3×$x^2$ ve 5×$x^2$ benzer terimler (x, 2) Toplanarak 8×$x^2$ elde edilir
Farklı Taban veya Üs Toplama-çıkarma yapılamaz, ifade aynı kalır veya sayısal değer hesaplanır 2³⁵ ve 2³ Benzer terim değil
2³⁵ + 2³ Sadeleştirme Ortak çarpan (2³) parantezine alınabilir 2³ ( 2³² + 1 ) Tek üslü ifadeye indirgenmez ancak faktörlenir
Toplamada/Çıkarmada Katsayı Değişimi Katsayılar (sayısal kısım) toplanır/çıkarılır, üslü kısım sabit kalır 5×$a^4$ - 2×$a^4$ → (5-2)a^4 = 3×$a^4$
Çarpma ile Karıştırmama Çarpma/bölmede aynı taban → üs toplanır/çıkarılır; toplama/çıkarma da böyle değildir 2^2 × 2^3 = 2^(2+3)=2^5, fakat 2^2 + 2^3 = 2^2 + 2^3 (benzer değil) Farklı işlemler, farklı kurallar
Ortak Çarpan Faktörlemesi Terimlerden birini ortak çarpan olarak alarak ifade bir miktar sadeleştirilebilir 3^2 + 3^5 = 3^2(1 + 3^3) (Tek terim olmaz ama daha sade yazım olur)
Negatif ve Sıfır Üs Kuralları a^0=1, a^{-n}=\frac{1}{a^n} 2^{-3} = \frac{1}{8}, \quad 2^0=1 Toplamalarda dikkat edilmesi gereken noktalar

11. Sonuç ve Kapsamlı Özet

2³⁵ + 2³ örneği özelinde, üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemine dair en kritik kuralı tekrar etmiş oluyoruz: Benzer terim olması için hem taban hem de üs aynı olmalıdır. Aksi takdirde, tek terime indirgeme ya da “Üsleri toplayalım!” gibi bir yaklaşım mümkün değildir.

• Bu nedenle, 2³⁵ ile 2³ benzer terim olmadıkları için tek bir 2^{\dots} ifadesi hâlinde yazılamazlar.
• Sadece isterseniz:

  1. Sonucu sayısal olarak bulabilirsiniz (34.359.738.368 + 8 = 34.359.738.376).
  2. Ortak çarpan parantezine alma yöntemini uygulayabilirsiniz:
    2^3 ( 2^{32} + 1 ).

Bu noktada dikkat edilmesi gerekenler:

  1. Farklı taban veya farklı üs → Toplanamaz, olduğu gibi kalır.
  2. Benzer terimler ise → Katsayıları toplayabilir veya çıkarabilir, üslü kısmı aynı tutarız.
  3. Negatif, sıfır ve kesirli üs kuralları benzer şekilde geçerlidir.
  4. Yaygın hata: Çarpma kurallarıyla toplama kurallarını karıştırmak → Yanlış sonuçlar doğurur.

Üslü sayılmış ifadeler, ortaokul ve lise müfredatı boyunca birçok yerde karşımıza çıkar. Dolayısıyla bu temel mantığı derinlemesine kavramak, ilerleyen matematik konularında (örneğin, polinomlar, üslü denklemler, logaritmik ifadeler) işinizi son derece kolaylaştıracaktır.

12. Kaynaklar

  • T.C. MEB 8. Sınıf Matematik Ders Kitapları
  • Açık kaynaktan çevrimiçi eğitim materyalleri (ör. Khan Academy Türkçe, EBA)
  • Ortaokul ve Lise Matematik Konu Anlatımları (Çeşitli Yayınlar)

@nehir_onaran

1 Beğeni
8

2 üzeri 37 ile 2 üzeri 34 ün toplamının 3 üzeri -2 si kaçtır

9

2 üzeri 37 ile 2 üzeri 34’ün toplamının 3 üzeri -2’si kaçtır?

Cevap:
Bu soru hem üslü ifadeler hem de negatif üsler konusunu içeriyor. Soruyu çözmek için aşağıdaki adımları takip ediyoruz:

1. İfadeyi Anlama ve Parantezli Hâlini Yazma

Soruda verilen ifadeyi şu şekilde yazabiliriz:

\frac{(2^{37} + 2^{34})}{3^2}

Burada:

  • 2^{37} + 2^{34}: Üslü ifadelerin toplamıdır.
  • 3^{-2}: Negatif üs olduğu için bu ifadeyi kesirli bir sayı olarak yazarız:
    $$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}.$$

Sorunun tamamı, önce 2^{37} + 2^{34} işlemini yapıp sonucu 9’a bölmek gerektiğini ifade eder.

2. 2^{37} + 2^{34} Sadeleştirme

Aynı Tabanlar Üzerinden Ortak Çarpan Alma

2^{37} + 2^{34}, aynı tabana (2) fakat farklı üsse (37 ve 34) sahiptir. Bu ifadeyi ortak çarpan yöntemiyle düzenleyebiliriz:

2^{37} + 2^{34} = 2^{34} \cdot (2^3 + 1)

Adım Açıklaması:

  1. $2^{37}$’yi 2^{34} \cdot 2^3 olarak yazabiliriz.
  2. Bu durumda, 2^{34} ortak çarpan haline gelir:
    $$2^{37} + 2^{34} = 2^{34}(2^3 + 1).$$
  3. $2^3$’ün değeri 2 \times 2 \times 2 = 8 olduğundan, parantez içini basitleştiririz:
    $$2^3 + 1 = 8 + 1 = 9.$$

Sonuç:

2^{37} + 2^{34} = 2^{34} \cdot 9

3. 3^{-2} Hesaplama

Negatif üs olduğu için:

3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}.

4. Tam İfadeyi Birleştirme

Sorunun cevabı:

\frac{(2^{37} + 2^{34})}{3^2}.

Yukarıda bulduğumuz sonuçları yerine koyuyoruz:

\frac{(2^{37} + 2^{34})}{3^2} = \frac{2^{34} \cdot 9}{9}.

$9$’lar sadeleşir:

\frac{2^{34} \cdot 9}{9} = 2^{34}.

Sonuç

Verilen ifadenin sonucu:

2^{34}.

Bu ifade, üslü bir biçimde bırakılır. Eğer istenirse, $2^{34}$’ün sayısal değeri hesaplanabilir (yaklaşık 17 milyar).

Eğer başka bir sorunuz varsa veya işlemin belirli bir kısmını anlamada problem yaşarsanız, lütfen yazmaktan çekinmeyin! :blush:

@nehir_onaran

1 Beğeni
10

Yanliss bence

1 Beğeni
11

Neden Yanlış Gibi Göründüğünü Kontrol Edelim

Sorunun çözümünü tekrar gözden geçirelim. Eğer bir yanlışlık olduğunu hissediyorsanız, bu durumu tüm detaylarıyla yeniden ele alabiliriz. Başlayalım:

Adım 1: Sorunun Netleştirilmesi

İfade:

\frac{2^{37} + 2^{34}}{3^2}

İki adımda işlem yapılıyor:

  1. 2^{37} + 2^{34} ifadesini sadeleştirip işlem yapıyoruz.
  2. Sonuca 3^2 = 9 ile bölme veya 3^{-2} = \frac{1}{9}'in çarpma etkisini kontrol ediyoruz.

Bu aşamaların detayını hatırlayarak çözümde eksik/yanlış bir nokta olup olmadığını tekrar gözden geçirelim.

Adım 2: 2^{37} + 2^{34}'ü Ortak Çarpanla Düzenleme

2^{37} ve 2^{34}, ortak tabana sahip oldukları için ortak çarpan parantezine alınabilir:

2^{37} + 2^{34} = 2^{34} \cdot (2^3 + 1).

Burada:

  • 2^{37}, 2^{34} \cdot 2^3 şeklinde yazılabilir.
  • 2^3 = 8 olduğundan:
    $$2^3 + 1 = 8 + 1 = 9.$$

Sonuç:

2^{37} + 2^{34} = 2^{34} \cdot 9.

Bu adım hala doğru ve bir hata tespit edilmedi.

Adım 3: 3^{-2}'yi İşleme Ekleyelim

Negatif üs şu anlama gelir:

3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}.

Sorunun tamamı şu hale gelir:

\frac{(2^{37} + 2^{34})}{3^2} = \frac{2^{34} \cdot 9}{9}.

Burada $9$’lar sadeleşir:

\frac{2^{34} \cdot 9}{9} = 2^{34}.

Bu sonuca ulaşmamızı engelleyen herhangi bir hata gözükmüyor.

Adım 4: Kontrol Checklist’i

  • 2^{37} + 2^{34} doğru şekilde sadeleştirildi mi? EVET
  • Ortak çarpan alma adımı 2^{34} \cdot (2^3 + 1) olarak doğru mu? EVET
  • Parantez içindeki 2^3 + 1 = 9 doğru hesaplandı mı? EVET
  • 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} doğru yazıldı mı? EVET
  • Tüm bu bileşenler birleştirildi mi? EVET

Sonuç Tekrar: 2^{34}

Yanlışlık olduğunu düşündüğünüz bir adımı bana belirtirseniz, aynı ifadeyi sizin işaret ettiğiniz yoldan tekrar incelemeye çalışırım. Eğer buna rağmen bir kafa karışıklığı varsa, lütfen hangi bölümden endişe ettiğinizi bildirin. :blush:

@nehir_onaran

1 Beğeni
12

ben * 2372^{37}237, 234⋅232^{34} \cdot 2^3234⋅23 şeklinde yazılabilir.

  • 23=82^3 = 823=8 olduğundan:
    $$2^3 + 1 = 8 + 1 = 9.$$ kısmını anlamadım
13

Sorunun Tamamını Aydınlatalım ve Eksik Anladığınız Yeri Açıklayalım

Merak etmeyin, işlemde karışıklık yaşadığınız kısmı adım adım açıklayarak tekrar ele alacağım. Özellikle şu bölümü anlamakta zorlandığınızı ifade ettiniz:

“$2^{37} + 2^{34}$, ortak çarpan olarak 2^{34} çıkartılır ve parantez içinde 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9 elde edilir.”

Bu adımı sade ve net şekilde açıklayacağım. Daha sonra başka sorularınız olursa çekinmeden sorabilirsiniz. :blush:

1. 2^{37} + 2^{34} İfadesinin Ortak Çarpanla Sadeleştirilmesi

Bu ifadeyi inceleyelim:

2^{37} + 2^{34}

Burada 2 tabanı her iki ifadede ortaktır, ancak üsler farklıdır: 37 ve 34. Üslerin farklı olduğu durumlarda toplama işlemi yapmak için ortak çarpan alma yöntemini kullanabiliriz.

Ortak Çarpan Alma Mantığı

  • Ortak çarpan almak için üslerin farkına dikkat ederiz. Çünkü üstel ifadelerde şu kural geçerlidir:
    a^{b+c} = a^b \cdot a^c

Bu kuralı kullanarak, 2^{37}'yi şu şekilde yazabiliriz:

2^{37} = 2^{34} \cdot 2^3

(Çünkü 2^{37}, 34 + 3 şeklinde ayrılabilir ve a^{34 + 3} = a^{34} \cdot a^3 kuralı geçerlidir.)

2^{34} zaten ikinci terimde açıkça mevcut:

2^{34}.

Şimdi her iki terimde de 2^{34} olduğu için, bunu ortak çarpan olarak dışarı çıkarabiliriz:

2^{37} + 2^{34} = 2^{34} \cdot 2^3 + 2^{34}.

Ortak çarpanı dışarı aldığımızda:

2^{37} + 2^{34} = 2^{34} \cdot (2^3 + 1).

2. 2^3 + 1 Parantezinin Hesaplanması

Yukarıdaki işlemden sonra parantez içinde şu ifade kaldı:

2^3 + 1.

Şimdi 2^3'ü Hesaplayalım:

2^3 şu anlama gelir:

2^3 = 2 \times 2 \times 2.

Burada 2 sayısını üç kez çarpıyoruz:

2 \times 2 = 4, \quad 4 \times 2 = 8.

Bu nedenle:

2^3 = 8.

Parantez içindeki ifade:

2^3 + 1 = 8 + 1 = 9.

3. Sonucun Ara Halini Güncelleyelim

Şimdi elimizde şu sadeleştirilmiş ifade var:

2^{37} + 2^{34} = 2^{34} \cdot 9.

Bu noktaya kadar işlem bu şekilde düzenlenir. Parantez içi 9 olduğu için, toplam artık 2^{34} \cdot 9 şeklinde yazılabilir.

Sizin Takıldığınız Noktanın Anlamı

Siz büyük ihtimalle şuna takıldınız:

  • 2^{37} nasıl 2^{34} \cdot 2^3 olarak yazılabiliyor?

    • Bu, üslerin ayrılma kuralı (a^{b+c} = a^b \cdot a^c) ile yapılır. 37, iki parçaya ayrılarak 34 + 3 yazıldı.
    • Bu ayrım, matematikte ortak çarpan alma işlemini yapmamıza yardımcı olur.

  • 2^3 = 8 olduğunda nasıl 2^3 + 1 = 9 çıkıyor?

    • 2^3 hesaplanınca 8 bulunur. Buna 1 eklendiği için sonuç 9 olur.

Eğer hâlâ aklınıza takılan bir şey varsa veya başka bir yerden tekrar anlatmamı isterseniz, lütfen söyleyin. :blush:

@username

1 Beğeni
14

2 üzeri3 ifadesini 8 yapıyorsunuz ama niçin yaptığınızı anlamadım

15

2³ İfadesini Neden 8 Yaptığımızı Açıklayalım

Öncelikle, 2³ (iki üzeri üç) gibi üslü ifadeler, sayının kendisiyle tekrar eden çarpımları ifade eder. Bu nedenle 2³ = 8 sonucunu şu kural sayesinde buluyoruz:

Üslü ifadelerin temel mantığı:

a^n = \underbrace{a \times a \times a \dots \text{(n kez)}}_{\text{n tane çarpma}}

Bu durumda 2³, 2 tabanlı bir üslü ifadedir ve şu anlama gelir:

2^3 = 2 \times 2 \times 2.

Adım Adım Hesaplama:

  1. İlk çarpma işlemini yapalım:

    2 \times 2 = 4

  2. Daha sonra bu sonucu bir kez daha 2 ile çarparız:

    4 \times 2 = 8

Bu nedenle:
2^3 = 8.

Niçin 2³ Hesaplanıyor?

Soru şu ortak çarpan parantezine alma işlemini içeriyor:

2^{37} + 2^{34} = 2^{34} \cdot (2^3 + 1).

2³ neden hesaplanıyor? Parantez içinde (2^3 + 1) olduğu için önce $2^3$’ü hesaplamamız gerekiyor. Buradaki hedef: Parantez içini sadeleştirmek ve 8 + 1'i toplamak.

Hesaplama:

2^3 = 8, \quad \text{dolayısıyla} \quad 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9.

Sonuç Olarak:

2^3'ü 8 yapmaktaki amacımız, üslü sayının değerini bulmak ve işlemleri ilerletmektir. Üs hesaplamalarını yapmak, matematik işlemlerini pratik ve anlamlı hâle getiren standart bir adımdır.

Eğer hâlâ bir karışıklık varsa, lütfen tam olarak hangi noktada tekrar yardıma ihtiyacınız olduğunu belirtirseniz, detaylı açıklamalar yapmaya devam edebilirim. :blush:

@username

1 Beğeni
16

şimdi 2 üzeri 37 artı 2 üzeri 34 ü toplayıp 3 üzeri -2 ifadesini bulmak için öncelikle ortak çarpan parantezini aldınız ve 2 üzeri 34(2 üzeri 3 artı 1) oluyor buraya kadar anladım bundan sonrasını 2 üzeri 3 8 sayısına eşit olduğundan 34x8+34X1 bunun sonucunu bulduktan sonra 1 bölü 9 unu bulursak aynı şekilde oluyor mu

17

Sorunun İşleyişini Açıklayalım: 2 üzeri 37 + 2 üzeri 34’ün Hesabı ve 3 üzeri -2’nin Uygulanması

Sorunun çözüm sürecini ve 2⁻³’ün neden 8 sayısını verdiğini anladığınızdan emin olmanız için sorunu adım adım ele alalım ve sizin belirttiğiniz ifadeyi detaylı bir şekilde açıklayalım. Ayrıca sorduğunuz yöntemin işlemlere dahil edilip edilemeyeceğini kontrol edeceğiz.

1. Soruya Genel Bakış

Soruda şu ifadeyi çözmek istiyoruz:

\frac{2^{37} + 2^{34}}{3^2}.

Burada:

  • 2^{37} + 2^{34} ortak çarpan parantezine alınarak düzenlenebilir.
  • 3^{-2}’yi değerlendirmemiz gerekir (negatif üs olduğundan bu, kesirli bir çarpma işlemi şeklinde uygulanır: \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}).

2. Ortak Çarpan Parantezine Alma

2^{37} + 2^{34} işlemini ortak çarpan mantığıyla düzenliyoruz. Bu işlemi zaten anladığınızı belirttiniz:

2^{37} + 2^{34} = 2^{34} \cdot (2^3 + 1).

Burada:

  • 2^3'ün değeri şu şekilde hesaplanır:
    2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8
  • 2^3 + 1 olarak ifade edilen parantez içi şu değeri alır:
    2^3 + 1 = 8 + 1 = 9.

Bu nedenle:

2^{37} + 2^{34} = 2^{34} \cdot 9.

Bu işlem doğru şekilde anlaşıldı ve parantez içi sadeleşti.

3. Sizin Söylediğiniz Yöntemin İncelenmesi

Siz diyorsunuz ki:

  • 2^{34} (2^{3} + 1) ifade edilirken, bu:
    34 \cdot 8 + 34 \cdot 1
    şeklinde hesaplanabilir mi?

Bu Yöntem İşleyebilir mi?

Hayır, bu ifadeyi doğru şekilde temsil etmez. Çünkü üslü ifadelerde toplama veya çarpma katsayıya çevirilmez—sadece üslü yapı korunur. Bu nedenle şu işlemi yapmamız gerekirdi:

2^{34} \cdot (2^3 + 1).

Burada parantez içindeki toplama 2^3 ve 1'in matematiksel değerleri sayesinde sonuç verir:

  • 2^3 = 8
  • 2^3 + 1 = 9

Bu yüzden doğrudan 2^{34} \cdot 9 şeklinde bırakılır.

4. 3 üzeri -2’nin Uygulanması

Şimdi elimizde şu ifade var:

\frac{2^{34} \cdot 9}{3^2}.

Burada:

  • 3^{-2} negatif üs olduğu için şu değeri alır:
    3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}.

Bu hesaplama sonucu, bölme işlemiyle sadeleşirken şu durum ortaya çıkar:

\frac{2^{34} \cdot 9}{9} = 2^{34}.

5. Sonuç

Sonuç olarak, ifade şu hâlde sadeleşir:

\frac{2^{37} + 2^{34}}{3^2} = 2^{34}.

Sizin Önerdiğiniz Yöntemle Fark Nedir?

Sizin belirttiğiniz yöntem (“34 \cdot 8 + 34 \cdot 1” gibi katsayılarla toplama) işlemez çünkü üslü ifadelerin katsayı değeri yerine taban ve üs kurallarına uygun olarak işlem yapılır. Bu yüzden, üslü ifadelerde “katsayı sistemine çevirme” mantığı yanlış olurdu. Bunu doğru işlemek için sadece üslü yapıdan hareket ederek ortak çarpan alma işlemi yapılır.

Eğer hâlâ anlamadığınız kısımlar varsa, tekrar üzerinden geçebiliriz. Buradayım! :blush:
@username

1 Beğeni
18

pardon o kısmı yanlışıkla yazmışım ama mantığını kavradım ç :heart: :heart: :heart:k teşekkür ederim gerçekten çok yardımcı oldunuz hem siz hemde o iki kişi

19

Rica Ederim! :blush:

Çok sevindim o kısmın mantığını kavradığınıza! Matematikte bir şeyleri anlamak bazen zaman alabiliyor ama mantığını çözdüğünüzde her şey çok daha açık oluyor. Sorularınızı netleştirebiliyorsanız, bu sürece katkı sağlamak benim için büyük mutluluk! :heart:

Sormaktan çekinmeyin, aklınıza takılan başka bir şey olursa buradayım. Hem ben hem de bahsettiğiniz o iki kişi size daha fazla yardımcı olmak için her zaman buradayız. Matematik yolculuğunuzda başarılar diliyorum! :flexed_biceps:

İyi çalışmalar ve tekrar görüşmek üzere! :blush:

@username

1 Beğeni
20

bir şey daha soracam telefonumuz şarjda iken telefonu kullanmak telefona veya şarja zarar verir mi