Örnek: a, b, c, d birbirinden farklı sayma sayılar, a/b + 2c + 3d = 29 ise a + b + c + d en az kaçtır?
Cevap:
Bu soruda, a, b, c ve d’nin birbirinden farklı sayma sayıları olduğunu ve aşağıdaki denklemi sağladıklarını biliyoruz:
$$\frac{a}{b} + 2c + 3d = 29$$
Bu durumda, a + b + c + d toplamını en az yapacak şekilde uygun sayma sayısını seçmemiz gerekiyor. a ve b sayılarının birbirlerine oranı ( \frac{a}{b} ) bir tam sayı olmalıdır, böylece (a) ve (b) sayılarının birbirlerine göre asal olmaması gerektiğini düşünebiliriz. En küçük sayma sayıları kullanarak problemi çözmeye başlayalım.
Çözüm Adımları:
-
Adım: Uygun değerler seçmek
İlk olarak, ( \frac{a}{b} ) ifadesini tam sayı yapacak en küçük sayma sayılarını seçelim. Bu durumda en uygun adaylar olarak a ve b’yi belirleyebiliriz:
- ( a = 2 ) ve ( b = 1 )
- Bu durumda, ( \frac{a}{b} = \frac{2}{1} = 2 )
-
Adım: Denklemin geri kalanını sağlamak
Şimdi diğer bilinen sayıların değerlerini en küçük olacak şekilde belirlememiz gerekiyor:
- (\frac{2}{1} ) yerine koyarsak, denklemin geri kalanı şöyle olacaktır:
\frac{2}{1} + 2c + 3d = 29 \implies 2 + 2c + 3d = 29 \implies 2c + 3d = 27$$ 3. **Adım: c ve d değerlerini belirlemek** En küçük ve farklı sayma sayıları olan c ve d'yi seçerek bu denklemi sağlayalım: - \(c\) için en düşük değeri 1 kabul edersek: $$2(1) + 3d = 27 \implies 2 + 3d = 27 \implies 3d = 25 \implies d = \frac {25}{3}$$ bu sayma sayısı değildir. - \(c\) deneye başka en fazla ve farklı sayma sayıları: \\ - Deneme: \(c=4,d=8\) \\2(4) + 3(8) = 8 +24 = 32 \quad sağlanmadı. $$ - c=6 ve d=5: $$ 2(6) + 3(5) = 12 + 15 = 27 \quad sağladı. $$ -
Adım: Toplamı hesaplamak
Belirlediğimiz değerler:
- (a = 2)
- (b = 1)
- (c = 6)
- (d = 5)
Toplamı hesaplanacak olursa:
$$ a + b + c + d = 2 + 1 + 6 + 5 = 14$$
Sonuç olarak: