a, b ve c birbirinden farklı negatif tam sayılardır. (\frac{3a + b + 5c}{b + c} = 5) olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevap:
Bu tip sorularda verilen denklemden hareketle bilinmeyenlerin değerlerini bulmaya çalışarak ilerleriz. İlk olarak denklemi düzenleyelim:
[
\frac{3a + b + 5c}{b + c} = 5
]
Denklemi çapraz çarpma yaparak düzenlersek:
[
3a + b + 5c = 5(b + c)
]
Şimdi denklemi açalım:
[
3a + b + 5c = 5b + 5c
]
Buradan:
[
3a + b + 5c = 5b + 5c
]
Eşitliği sadeleştirelim:
[
3a + b + 5c - 5b - 5c = 0
]
[
3a + b - 5b = 0
]
[
3a - 4b = 0
]
Buradan ( a ) ve ( b ) arasındaki ilişkiyi bulabiliriz:
[
3a = 4b \implies a = \frac{4}{3}b
]
( a ) bir tam sayı olduğuna göre ( b ) 3’ün katı bir negatif tam sayı olmalıdır. Negatif tam sayılardan küçük olanları ( b = -3 ) ve benzeri değerleri seçebiliriz.
Bakalım bu değerler nasıl davranacak:
( b = -3 ) iken:
[
a = \frac{4}{3}b = \frac{4}{3}(-3) = -4
]
Şimdi ( c )'yi de hesaba katmamız gerekli. ( c )'yi herhangi bir negatif değer seçebiliriz. Örneğin, ( c = -1 ) seçelim ve toplam değerleri hesaplayalım:
[
a + b + c = -4 + (-3) + (-1) = -8
]
Başka bir değer kombinasyonu deneyelim. Örneğin ( b = -6 ) seçersek ( a = -8 ) olur ama bu durumda ( a ) ve ( b ) negatif ve birbirinden farklı tam sayılar olduğu için başka bir ( c ) seçimi artık a+b+c kombinasyonunun minimum sonucuna götürmez.
Bu yüzden, ( a = -4, b = -3, c = -1 ) en uygun değerlerdir ve olabilecek en büyük toplam a + b + c = -8 olur.
Sonuç olarak doğru cevap:
Cevap: D) -8