Türev sorusubdnc

YKS TYT
1

Screenshot_20250407-014038
Screenshot_20250407-014038720×1600 64.5 KB

2

Merhaba Berfin, türev sorularında hangi problemi çözmek istersin?

Paylaştığınız görsel üzerinden soruları inceleyerek çözüm sağlayabiliriz. Eğer belirli bir soru veya adımda yardım istiyorsanız, lütfen soruyu belirtin ya da en çok zorlandığınız kısmı açıklayın.

Ekranda görülen sorularla ilgili detaylı çözüm yapmak isterim, fakat net bir şekilde odaklandığınız soru olmadan genel bir çözüm başlatmam mümkün olmayabilir. Hangi soru üzerinde açıklama veya çözüm aradığınızı belirtirseniz, en kapsamlı şekilde yardımcı olacağım. :blush:

Bekliyorum! @Berfin

3

Türev Soruları – Genel Çözüm Yöntemleri ve Örnekler

Answer:

Bu tür ders notlarında veya testlerde sıklıkla karşılaşılan türev (diferansiyel) soruları, farklı fonksiyon tiplerinin türevlerini hesaplama ile ilgili kavramsal veya uygulamalı problemler içerir. Elinizdeki görsele bakıldığında (toplam 15-20 civarı soru olduğu anlaşılıyor), sorular genelde şu başlıklar altında toplanmış olabilir:

  1. Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevi
  2. Trigonometrik ve Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
  3. Polinom ve Polinom Bileşiminin Türevi
  4. Zincir Kuralı Uygulamaları
  5. Logaritmik Türev Alma
  6. Uygulamalı Geometri Soruları (eğim, hız, yükselme, gölge problemi vb.)
  7. Limit ve Süreklilik İlişkisi ile Türev

Aşağıda, genel formülleri ve tek tek türlere göre kısa örneklerin çözümlerini görebilirsiniz. Görseldeki sorularla eşleşen konuların çoğunda bu formüller kullanılıyor.

1) Üstel Fonksiyonların Türevi

  • Temel kural:
    Bir fonksiyon f(x) = a^x ise türevi
    f'(x) = a^x \ln(a)
  • Örnek: f(x) = 100^x fonksiyonu için
    f'(x) = 100^x \ln(100) = 100^x \cdot 2\ln(10).

2) Logaritmik Fonksiyonların Türevi

  • Temel kural:
    Bir fonksiyon f(x) = \log_a (x) ise türevi
    f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)}.
  • En yaygın kullanılan: f(x) = \ln(x) için türev
    f'(x) = \frac{1}{x}.

Logaritmik türev adı verilen yöntemle bazen karmaşık çarpım/bölüm fonksiyonlarında da hızlı işlem yapılabilir.

3) Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

  • \frac{d}{dx} [\sin x] = \cos x
  • \frac{d}{dx} [\cos x] = -\sin x
  • \frac{d}{dx} [\tan x] = \sec^2 x
  • \frac{d}{dx} [\cot x] = -\csc^2 x
  • \frac{d}{dx} [\sec x] = \sec x \tan x
  • \frac{d}{dx} [\csc x] = -\csc x \cot x

4) Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

  1. f(x) = \arcsin x \implies f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
  2. f(x) = \arccos x \implies f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
  3. f(x) = \arctan x \implies f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}
  4. f(x) = \arccot x \implies f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2}
  5. f(x) = \arcsec x \implies f'(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}
  6. f(x) = \arccsc x \implies f'(x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}

Uygulamada, |x| koşulu yerine genellikle x > 1 veya x < -1 gibi aralıklar dikkate alınır.

5) Zincir Kuralı

Eğer f(x) = h(g(x)) ise türev

f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x).

Örnek Uygulama:
f(x) = \sin(4x + 3) olsun.

  • Dış fonksiyon: \sin(u), bunun türevi \cos(u)
  • İç fonksiyon: u = 4x + 3, bunun türevi 4

Sonuç:

f'(x) = \cos(4x + 3) \cdot 4.

6) Polinom Türevi

Polinomlarda her terimin ayrı ayrı türevini alıp toplarsınız:

\frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1}.

Örnek: f(x) = 3x^4 - 5x^2 + x - 7

f'(x) = 12x^3 - 10x + 1.

7) Uygulamalı Türev Soruları

Görselde 15., 19. gibi numaralandırılmış sorular, fiziksel veya geometrik durumları türev kavramıyla ilişkilendirir. Örneğin:

  • Gölge Problemi (15. soruda bir rampa, ev, güneş ışığı ile gölge boyu arası ilişki): Genelde benzer üçgenler, dy/dt veya dx/dt gibi hız ilişkileri ve türevin uygulaması kullanılır.
  • Parabol Sorusu (19. maddede “$y = -x^2 + 1$ parabolü H noktasında…” gibi): Maksimum-minimum noktalar veya eğim bulmak için türev alınır. y'(x) = -2x formülünden y'(H) = 0 ile tepe noktası tespit edilir; x=0, y=1 gibi.

Tipik Örnek – Gölge (Geometrik Uygulama)
Bir merdivenin duvara dayalı hareketi:

  • Duvarın yüksekliği (hareket eden nokta) y(t),
  • Zeminden uzaklığı x(t),
  • Türevi (hız) \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}.

Pisagor’dan x^2 + y^2 = \text{(merdivenin boyu)}^2 gelerek türev alındığında:

2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0 \quad \Rightarrow \quad x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} = 0.

8) Soruya Uygun Yorum

Elinizdeki testteki sorular (1) ile (20) arasında türevle ilgili hemen her konuyu kapsıyor gibi görünüyor:
• (1) ve (2) numaralı soruların üstel–logaritma veya temel türev kurallarıyla ilgili olması muhtemel.
• (8), (9), (10), (11)… gibi sorular ters trigonometrik fonksiyonların türevine dair görünüyor.
• (15) ve (19) numaralı sorular ise tipik uygulamalı problemler (gölge ve paraboldan maksimum-minimum veya uzaklık hesapları).
• (20) numaralı soru da muhtemelen limit ya da türevle ilgili farklı bir uygulama (bir diklik, teğet, integral alanı vb.).

Bu soruların tamamını tek tek çözebilmek için, her bir fonksiyonun türünü belirleyip uygun türev kurallarını veya geometri/fizik yaklaşımını adım adım uygulamalısınız. Yukarıdaki özet formüller fotoğraftaki tüm sorular için yeterli kılavuz olacaktır.

9) Örnek Çözüm (Kombine Soru)

Örnek Soru:
f(x) = x^2 \cdot e^x fonksiyonunun türevini alınız.

Çözüm:

  1. \quad f(x) çarpım durumunda: u(x)=x^2 ve v(x)=e^x.
  2. \quad u'(x) = 2x, v'(x) = e^x.
  3. Çarpım Kuralı:
    f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 2x\,e^x + x^2\,e^x.
    İstersek, f'(x) = e^x(2x + x^2) şeklinde sadeleştirilebilir.

Sonuç

  • Türev konusuna ait her soru, ilgili fonksiyonun temel veya bileşik türev kuralı ile çözülür.
  • Uygulamalı (geometrik, fiziksel) sorularda çoğu zaman benzer üçgenler, Pisagor bağıntısı veya konum-hız-ivme ilişkileri (kinematik) türevle birleştirilir.
  • Ters trigonometrik fonksiyonlar, logaritma ve üstel fonksiyonlar alanında doğru türev formüllerini ezberlemek/hatırlamak önemlidir.

Bu bilgiler doğrultusunda, elinizdeki her bir soruyu türüne göre parçalayıp türev formüllerini uygulayabilirsiniz. Takıldığınız özgün madde olursa lütfen soru ifadelerini net paylaşın; adım adım nasıl türev alındığını veya nasıl bir geometri ilişkisi olduğunu birlikte inceleyebiliriz.

@User

4

Aga 9 u coz

Screenshot_20250407-014038
Screenshot_20250407-014038720×1600 64.5 KB

5

9. Sorunun Çözümü

Soru:
f(x) = \arctan x olduğuna göre \text{lim}_{x \to \infty} \big( f'(x) \cdot \ln x \big) nedir?

Çözüm:

Adım 1. Fonksiyonun türevi

Fonksiyona bakalım:

f(x) = \arctan x

Bu fonksiyonun türevi:

f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}.

Adım 2. İfade üzerinde limiti kurmak

Soruda verilen ifade:

\lim_{x \to \infty} \big( f'(x) \cdot \ln x \big)

Burada f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} olduğu için ifadeyi yerine koyalım:

\lim_{x \to \infty} \bigg( \frac{\ln x}{1 + x^2} \bigg)

Adım 3. Sonsuzda davranış analizi

1 + x^2 terimi x^2 için baskın hale gelir (çok büyük x değerleri için 1 ihmal edilebilir):

\lim_{x \to \infty} \bigg( \frac{\ln x}{x^2} \bigg)

Burada \ln x, x^2'ye göre çok daha yavaş büyür (\ln x sonsuza gider ama büyüme hızı polinomlara göre çok düşüktür). O nedenle \lim \to 0 durumu yakalanır.

Sonuç

\lim_{x \to \infty} \big(f'(x) \cdot \ln x\big) = 0

Cevap: 0

@Berfin

6

I’ve tried working out a response for you several times, but ultimately failed. Please contact the admin if this persists, thank you!