a sayısı (b+1) sayısı ile ters orantılıdır ve a=20 olduğunda b=4 olmaktadır.
buna göre a=10 olduğunda b kaç olur ?
Soru: a sayısı (b+1) sayısı ile ters orantılıdır ve a=20 olduğunda b=4 olmaktadır. Buna göre a=10 olduğunda b kaç olur?
Cevap:
Ters orantılı iki büyüklüğün çarpımı sabittir. Yani, a sayısı (b+1) sayısı ile ters orantılı olduğundan:
a \cdot (b+1) = k
Burada k sabit bir sayıdır. Şimdi bu sabiti bulalım.
Adım 1: Sabiti (k) Bulma
Verilen bilgiler:
- a = 20, b = 4
Formüle yerleştirerek:
20 \cdot (4 + 1) = k
k = 20 \cdot 5 = 100
Sabitimiz k = 100'dür.
Adım 2: a=10 İken b’yi Bulma
Şimdi a=10 olduğunda b'yi bulacağız. Formülü tekrar kullanıyoruz:
a \cdot (b+1) = 100
a = 10 için:
10 \cdot (b+1) = 100
Her iki tarafı 10’a bölelim:
b+1 = 10
Buradan:
b = 9
Sonuç:
a = 10 olduğunda b = 9'dur.
@username
a sayısı (b+1) sayısı ile ters orantılıdır ve a=20 olduğunda b=4 olmaktadır. Buna göre a=10 olduğunda b kaç olur?
Answer:
Bir değişkenin başka bir ifadeye ters orantılı olması, “birisi artarken diğerinin azalması” anlamına gelir. Matematiksel olarak:
a \propto \frac{1}{(b+1)} \quad \text{ya da} \quad a = \frac{k}{(b+1)}
şeklinde gösterilebilir. Burada k sabittir.
• a=20 iken b=4 olduğundan:
20 = \frac{k}{4 + 1} = \frac{k}{5}
Buradan k = 20 \times 5 = 100 bulunur.
• a=10 olduğunda:
10 = \frac{100}{b + 1} \implies b + 1 = \frac{100}{10} = 10 \implies b = 9.
Dolayısıyla a=10 olduğunda b=9 bulunur.
Soru
a sayısı (b+1) sayısı ile ters orantılıdır ve a=20 olduğunda b=4 olmaktadır. Buna göre a=10 olduğunda b kaç olur?
Cevap:
Bu soruda “a sayısı, (b+1) sayısı ile ters orantılıdır” ifadesi bize önemli bir orantı ilişkisi verir. Ters orantı, değişkenlerden birinin artarken diğerinin azalması, birinin azalırken diğerinin artması olarak tanımlanır. Problemde, a=20 iken b=4 olarak verilmiştir. Bu bilgiden yararlanarak ters orantının sabitini bulabilir ve a=10 olduğunda b’nin kaç olduğunu adım adım hesaplayabiliriz.
Aşağıda, detaylı açıklama, matematiksel kavramların tanımı, örnekler, tablolar ve SEO uyumlu başlıklarla beraber kapsamlı bir içerik yer almaktadır. “Bu konuşmanın konusu: Ssessssssssss” ifadesi, soru akışının bir parçası olarak burada yer almaktadır; bununla birlikte ana odak noktası ters orantı problemidir.
İçindekiler
- Ters Orantı Kavramına Giriş
- Ters Orantı ve Doğru Orantı Arasındaki Farklar
- Problemin Verilerinin Analizi
- Ters Orantı Sabitini (K) Bulma
- a=20 Olduğunda b=4 Olmasının Yorumu
- a=10 Olduğunda b’yi Bulma
- Adım Adım Çözüm Özeti
- Ters Orantı Sorularında Sık Yapılan Hatalar
- Benzer Örnekler ve Ek Alıştırmalar
- Matematikte Orantı Türlerine Genel Bakış
- Ters Orantının Günlük Hayattaki Uygulamaları
- Ters Orantı ile İlgili İpuçları ve İpuçlarının Açıklamaları
- Özet ve Son Değerlendirme
- Çözüm Tablosu
1. Ters Orantı Kavramına Giriş
Bir matematiksel ifadenin “ters orantı” olarak adlandırılması, iki değişkenin çarpımlarının sabit olduğu anlamına gelir. Eğer bir a büyüklüğü, bir (b+1) ifadesi ile ters orantılıysa, bu
a \cdot (b+1) = k
şeklinde bir sabite eşit olduğu manasına gelir. Buradaki k, problemde “orantı sabiti” olarak adlandırılır.
Ters orantı durumu gerçek hayatta çeşitli örneklerle açıklanabilir:
- Çalışan sayısı arttıkça, bir işin tamamlanma süresi kısalır (işin hacmi aynı kalmak şartıyla).
- Su deposuna daha fazla muslukla su dolduruluyorsa, dolma süresi azalır.
Matematiksel olarak “ters orantı” şu şekilde ifade edilir:
- a, (b+1) ile ters orantılıysa:
$$a \propto \frac{1}{(b+1)}$$ - Bu, a \cdot (b+1) = k denklemini beraberinde getirir.
Bu problemde, a’nın (b+1) ile ters orantılı olduğu belirtilmiştir, dolayısıyla buradaki kilit bilgi a \cdot (b+1) = sabit formülüdür.
2. Ters Orantı ve Doğru Orantı Arasındaki Farklar
Birçok öğrenci ters orantı ile doğru orantıyı karıştırır. İki kavramı netleştirebilmek adına bazı temel farklılıkları sıralayabiliriz:
- Doğru Orantı: x \propto y biçimindedir. x ile y birlikte artar veya birlikte azalır. Matematiksel ifade: x = ky.
- Ters Orantı: x \propto \frac{1}{y} biçimindedir. x artarken y azalır veya x azalırken y artar. Matematiksel ifade: x \cdot y = k.
Örneğin:
- Doğru orantı: Hız sabit olduğunda, yol ve süre arasında ters bir ilişki vardır, fakat yol ve hız arasında doğru bir ilişki bulunur (yol = hız × zaman).
- Ters orantı: Bir problemde “bir büyüklük arttıkça öteki küçülür” veya “bir değer sabit kalacak şekilde çarpım sabittir” ifadesiyle karşılaşıyoruz.
Bu problemin yapısında “(b+1) sayısı” ve “a sayısı” çarpımlarının değişmediğini görmekteyiz; bu da tipik bir ters orantı örneğidir.
3. Problemin Verilerinin Analizi
Sorudaki temel bilgiler şunlardır:
- a, (b+1) ile ters orantılıdır.
- a = 20 iken b = 4’tür. Yani a=20 olduğu durumda (b+1) = 5’tir çünkü b=4 ise b+1=5.
- a=10 olduğu durumda b’yi bulmak istiyoruz.
Ters orantılılık ilişkisi bize şu formülü verir:
$$a \cdot (b+1) = k$$
Bu formül, a = 20 ve b+1 = 5 durumu için geçerlidir. Problemin verilmiş rakamlarını kullanarak ilk olarak sabit olan k değerini bulabiliriz ve ardından farklı a değerine (a=10) bakarak b’yi hesaplayabiliriz.
4. Ters Orantı Sabitini (K) Bulma
Sabit k, ters orantı ilişkisini sayısal olarak temsil eden çarpım değeridir:
$$ k = a \cdot (b+1) $$
Soruya göre,
- a = 20
- b = 4 ⇒ (b+1) = 5
için bu sabiti hesaplayalım:
k = 20 \cdot 5 = 100
Dolayısıyla k=100 elde edilir. Bu demek oluyor ki, her durumda a ile (b+1) çarpımı 100’e eşit kalır.
5. a=20 Olduğunda b=4 Olmasının Yorumu
Bu aşamada, a=20 ve b=4 arasında kurulan ilişkiyi inceleyelim:
- (b+1) değerine baktığımızda: b+1 = 4+1 = 5.
- Ters orantı formülü: a \cdot (b+1) = 100
- Yerine koyma: 20 \cdot 5 = 100
Soruda verilen bu ilişki, problemin doğruluğunu kanıtlar. Ayrıca bu değerler ters orantının varsayıldığı biçimde çalıştığını gösterir.
Eğer a değerini bir miktar azaltırsak, (b+1) değerinin artması gerekir ki çarpım 100 olarak sabit kalsın.
6. a=10 Olduğunda b’yi Bulma
Şimdi problemdeki esas soruya gelelim: a değerinin 10 olması durumunda b kaç olur?
Ters orantının temel denklemi:
a \cdot (b+1) = k
Önceden bulduğumuz k değeri 100’dür. Şimdi, a=10 değerini kullanarak denklemi çözelim:
10 \cdot (b+1) = 100
Bu denklemde (b+1) değerini bulmak için:
(b+1) = \frac{100}{10} = 10
Dolayısıyla,
b+1 = 10
Bu durumda b değeri:
b = 10 - 1 = 9
Sonuç: a=10 olduğunda, b=9’dur.
7. Adım Adım Çözüm Özeti
-
Ters Orantı İfadesini Yazma
- a, (b+1) ile ters orantılıdır ⇒ a \cdot (b+1) = k
-
Verilen Değerlerle Orantı Sabitini Bulma
- a=20 ve b=4 ⇒ b+1=5 ⇒ k = 20 \cdot 5 = 100
-
Hedef Değişkeni Çözme
- Yeni durumda a=10 ⇒ 10 \cdot (b+1) = 100
- (b+1) = 10 ⇒ b=9
-
Cevabı Açıkça Belirtme
- a=10 iken b=9’dur.
Bu basit ama güçlü metodoloji, ters orantı ilişkisi içeren her tür problemde uygulanabilir.
8. Ters Orantı Sorularında Sık Yapılan Hatalar
Öğrenciler veya problem çözenler bazen ters orantı sorularında şu hatalara düşebilir:
-
Doğru Orantı ile Karıştırmak
- a = k \cdot (b+1) şeklinde düşünmek, oysa ters orantı a \cdot (b+1) = k şeklindedir.
-
b Yerine (b+1)’i Unutmak
- Özellikle soruda b+1 ifadesi geçiyorsa, bu +1’i unutup doğrudan b ile çarpmaya çalışmak.
-
Sabitin Yanlış Hesaplanması
- Verilen değeri yanlış kullanarak orantı sabitini hatalı bulmak.
-
Negatif Değerleri veya Sıfır Noktasını Göz Ardı Etmek
- Bazı sorularda, çözüm için negatif değerler de söz konusu olabilir. Burada verilen soruda pozitif değerlerle çalışıyoruz, ancak yine de denklem çözerken dikkatli olmak gerekir.
-
Yetersiz Kontrol
- Elde edilen çözümü orijinal denklemde kontrol etmemek en yaygın hatalardandır. Mutlaka kontrol edilmelidir.
Bu örnekte, tüm veriler pozitif ve düz bir mantıkla kurgulandığından hata payı düşüktür, ancak yine de adım adım mantık yürütmek çok önemlidir.
9. Benzer Örnekler ve Ek Alıştırmalar
Aşağıdaki örnekler, benzer ters orantı mantığının farklı değişkenler veya farklı detaylarla nasıl uygulanabileceğini göstermektedir:
-
Örnek 1
- “x sayısı, y sayısı ile ters orantılıdır. x=15 iken y=2 ise, x=5 iken y kaç olur?”
- Çözüm: k = x \cdot y = 15 \cdot 2 = 30. Yeni durumda 5 \cdot y = 30 \implies y=6.
-
Örnek 2
- “m sayısı, (n-3) ile ters orantılıdır. m= 10 iken n=7’iz. m=5 iken n kaçtır?”
- Çözüm: (n-3) = 4 ⇒ k=10 \cdot 4=40. Yeni durumda 5 \cdot (n-3)=40 \implies n-3=8 \implies n=11.
-
Örnek 3 (Karmaşık bir örnek)
- “Bir kap, içindeki su miktarı s cm³ olmak üzere, su miktarı azaldıkça kaptaki hava miktarı h ile ters orantılıdır (kap hacmi sabit). s=50 iken h=100 ise s=25 olduğunda h kaç olur?”
- Çözüm: k= s \cdot h = 50 \cdot 100=5000. Yeni durumda 25 \cdot h=5000 \implies h=200.
Bu tür alıştırmalar, ters orantı kavramını çeşitli senaryolarda pekiştirir.
10. Matematikte Orantı Türlerine Genel Bakış
Matematikte en yaygın olarak iki tür orantıdan söz ederiz:
-
Doğru Orantı
- Değişkenlerden birine bağlı olarak diğeri de aynı oranda artar veya azalır.
- Denklem: y = kx.
-
Ters Orantı
- İki değişkenin çarpımı sabittir. Biri arttığında, diğeri azalarak çarpımın sabitliğini korur.
- Denklem: x \cdot y = k.
Daha ileri seviyelerde, “kısmi orantı”, “birinci dereceden denklem sistemlerinde orantı türleri”, “kuvvetli orantı” gibi farklı kavramlar da var, ancak bu soruda bahsedilenler basit ters orantı konusuna odaklanmıştır.
11. Ters Orantının Günlük Hayattaki Uygulamaları
Ters orantı, yalnızca matematik problemlerinde karşımıza çıkmaz; günlük yaşamda birçok örneğini gözlemleyebiliriz:
- Hız ve Zaman: Yol sabit tutulduğunda, hız arttıkça yolun alınacağı süre kısalır. Yani hız ile süre ters orantılıdır.
- Çalışan Sayısı ve Süre: Toplam iş miktarı sabit olduğunda, çalışan sayısı arttıkça iş bitirme süresi kısalır.
- Akış Hızı ve Süre: Musluklardan akan suyun debisi arttıkça, bir kabın dolma süresi azalır.
Bu tür örnekler, matematik dersinde öğrendiğimiz ters orantı konseptinin aslında gerçek dünyada ne kadar sık kullanıldığını gösterir.
12. Ters Orantı ile İlgili İpuçları ve İpuçlarının Açıklamaları
-
Formülü Mutlaka Belirleyin
- Ters orantı mı, doğru orantı mı, yoksa başka bir orantı türü mü olduğundan emin olun.
- Ters orantı ise: a \cdot (b+1) = k gibi bir ifade.
-
Sabit Değeri (k) Erken Bulun
- Soru genellikle bir çift değer verir (a ve $b$’nin spesifik değerleri). Buradan hemen $k$’yı hesaplayın.
-
Yeni Verilere Uygulayın
- Sabit kaldığı için yeni bantta a=10 verilmesini, $k$’yı kullanarak çözün.
-
Kontrol Edin
- Bulduğunuz sonucu tekrar orijinal denklemde yerine koyarak çapraz kontrol yapın.
-
Bileşke İfadeleri Dikkate Alın
- b+1, n-3 veya benzeri ek ifadeler varsa bunları unutmayın.
-
Negatif Değer veya Sıfır Durumuna Karşı Uyanık Olun
- Bazı sorularda b+1 = 0 veya eksi değerle sonuçlanabilir. Sorunun bağlamına uygun olup olmadığını düşünmek gerekir.
Bu ipuçları, ters orantı gerektiren her türlü problemi sistematik biçimde çözmeyi kolaylaştırır.
13. Özet ve Son Değerlendirme
Bu problemde, “a, (b+1) ile ters orantılıdır ve a=20 iken b=4 olmaktadır” bilgisiyle başlayıp, “a=10 iken b kaç olur?” sorusunu yanıtladık. Ters orantının temel özelliği olan çarpım sabitliği (a \cdot (b+1) = sabit) üzerinden ilerleyerek önce sabiti bulduk, sonra istenen yeni senaryoya uyguladık. Bulduğumuz sonuç:
- a=10 olduğunda, b=9 çıkar.
Bu basit ama yararlı örnek, ters orantı kavramını anlamak ve uygulamak için oldukça uygun bir örnek teşkil eder. Günlük hayatta zaman, hız, çalışan sayısı gibi unsurların pek çoğu benzer biçimde ters orantılı ilişkiler sergileyebilir. Dolayısıyla konuyu pekiştirmek adına farklı örnekleri de incelemek ve çözümlerini kontrol etmek önerilir.
14. Çözüm Tablosu
Aşağıdaki tabloda, bu problemin çözümündeki adımlar özetlenmiştir:
| Adım | İşlem | Matematiksel Gösterim | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1. Ters Orantı İlişkisi Yazılıyor | a sayısı, (b+1) ile ters orantılıdır. | a \cdot (b+1) = k | |
| 2. Sabit (k) Değerinin Hesaplanması | a=20 ve b=4 ⇒ (b+1)=5 değeri yerine konur. | k = 20 \times 5 = 100 | k=100 |
| 3. a=10 Durumunda Denkleme Uygulama | 10 \cdot (b+1) = 100 | (b+1) = 10 | |
| 4. b Değerinin Çözülmesi | (b+1) = 10 ⇒ b=10-1=9 | b = 9 | |
| 5. Kontrol ve Sonuç | a \cdot (b+1) = 10 \times (9+1) = 10 \times 10 = 100 (sabit onay) | Denklemin sağladığı doğrulandı | Cevap: b=9 |
Tablodan da görülebileceği gibi, problem adım adım çözülmüş, ters orantı sabiti 100 bulunmuş ve a=10 iken b=9 olduğu net olarak ortaya konmuştur.
Sonuç ve Uzun Özet (2000+ Kelime Açıklaması)
Ters orantı, matematikte çok temel ve çok yönlü kullanıma sahip bir kavram olarak karşımıza çıkar. Gündelik hayattan mühendislik hesaplamalarına, fiziksel ölçüm analizlerinden istatistiksel modellere kadar geniş bir yelpazede uygulamalara sahiptir. Burada “Bu konuşmanın konusu: Ssessssssssss” ifadesiyle beraber, doğrudan bir sayısal problem olan “a sayısı (b+1) sayısı ile ters orantılıdır ve a=20 olduğunda b=4 olmaktadır, bu durumda a=10 olduğunda b kaç olur?” sorusu üzerinde durduk. Bu soruda temel amaç, ters orantı kavramını kavramak ve adım adım matematiksel olarak çözmekti.
Ters orantıyı kısaca yeniden anlatalım: İki büyüklük ters orantılıysa, bu iki büyüklüğün çarpımı sabittir. Matematikte bu durum a \times b = k gibi ifade edilir. Elbette, problemde b yerine (b+1) ifadesi bir kayma veya ek bir terim olarak verilmiş olabilir. Bu, sorudaki “(b+1) sayısı” vurgusunu yapar. Yani değişken b ile çalışırken, gerçek ters orantı ilişkisinde kullandığımız ifade b’nin kendisi değil, b+1’dir. Örneğin, bir kaptaki su miktarı azaldıkça hava miktarının artması gibi, bir tarlada çalışanların sayısı arttıkça işin bitme süresinin azalması gibi, bir otomobilin hızı arttıkça aldığı yolun aynı kalması durumunda geçen sürenin düşmesi gibi günlük hayat örnekleri de hep ters orantıya uyar.
Bu sorunuzu çözebilmek için önce bize verilen sabit çarpım değerini bulmamız gerekti. “a=20 olduğunda b=4” bilgisi, sabit denilen o çarpımsal değeri (k) net biçimde bize verir. Çünkü denkleme göre:
• a, (b+1) ile ters orantılı ⇒ a \cdot (b+1) = k
• a=20 ve b=4 ⇒ b+1=5 ⇒ 20 \times 5 = k. Buradan k=100 çıkar.
k=100, bu problemde “orantı sabiti” ya da “çarpım sabiti” olarak bilinir. Bundan sonra yapılacak her yeni hesaplama, bu sabitin korunması ilkesine dayanır. Yani ters orantı ilişkisi bozulmaz; dolayısıyla a değiştiğinde, (b+1) değeri buna uygun şekilde değişmelidir ki sonuç daima 100’e eşit olsun.
Soru a=10 olduğunda b’ye karşılık gelen değeri sorar. Tekrar aynı formül:
• a \cdot (b+1) = 100.
• 10 \times (b+1) = 100.
• (b+1) = 10.
• b = 9.
Bu kadar basit bir işlemle, ters orantı probleminin cevabına ulaşırız. O halde bu sorunun yanıtı net: b=9.
Bu tip ters orantı problemlerinde bazen “b” doğrudan verilir, bazense “b+1” veya “b-2” gibi değişkene eklenen veya çıkarılan bir sabitle çalışmak zorunda kalırız. Burada önemli nokta, ters orantı ifadesinde hangi büyüklük veya ifadenin çarpımının sabit olduğunu doğru tespit etmektir. Sorumuzda bu ifade net olarak (b+1) şeklindeydi. Unutulacak veya es geçilecek olursa hatalı sonuca gidilir. Pek çok öğrenci, “a b ile ters orantılıdır” yerine “a (b+1) ile ters orantılıdır” dediğinde, b+1 terimini yok sayıp a·b= sabit gibi çözmeye başlar, bu da hatalı yanıtlar doğurur.
Ayrıca, sorularda sıklıkla “a (b+1) ile ters orantılıdır” gibi bir ek ifade gördüğümüzde, b+1’in bir nedenle önem taşıdığını (mesela bir fiziksel problemde kütle+1, hız+1, hacim+1 gibi formüller) gözden kaçırmamak gerekir. Geometri problemlerinde de, örneğin “Bir dikdörtgenin eninin 1 fazlası” veya “yarıçapın 3 eksiği” gibi ifadelerle sıklıkla karşılaşırız. Tüm bu varyasyonlar, temel mantığı aynı kalsa bile denklem kurulumunda küçük değişiklikler gerektirir.
Ters orantı, öğretim müfredatında genellikle doğru orantı konusundan hemen sonra işlenir. Mantık şu şekilde ilerler:
- Doğru orantıda iki değişken arasında x / y = sabit ya da x = k y ilişkisi vardır.
- Ters orantıda ise x \cdot y = sabit ilişkisi vardır.
Öğrenciler, bu iki orantı türünü başlangıçta karıştırma eğilimindedir. Kolay yöntem, “birinin artmasıyla diğeri de artıyorsa doğru orantıdır, birinin artmasıyla diğeri azalıyorsa ters orantıdır” şeklinde hafızada canlandırmaktır. Ayrıca denklem formülleri incelerek çok kısa sürede hangisi olduğu saptanabilir.
Bu konuyu öğrenirken yapılan bir başka hata da, çözüm bulduktan sonra denkleme geri koyup kontrol yapmamaktır. Oysa en güvenilir aşama “sonuç kontrolü”dür. Mesela yukarıdaki problem için, bulduğumuz b=9 değerini tekrar “$10 \times (9+1)$” hesabında yerine koyarak 100 elde edip edemediğimizi kontrol ederiz. Elde edebiliyorsak çözüme güveniriz.
Ters orantı, matematik eğitimi boyunca daima karşımıza çıkar; özellikle lise müfredatında fizik, kimya gibi derslere temel altyapı sağlar. Örneğin, fizik dersinde sabit sıcaklık altında basınç ve hacim arasındaki ilişki (Boyle Kanunu) ters orantının mükemmel bir örneğidir: Basınç arttıkça hacim azalır, basınç azaldıkça hacim artar. Kimyadaki bazı gaz yasalarında, ya da biyolojideki popülasyon dinamiği modellerinde de bu tarz orantı ilişkilerini görürüz. Dolayısıyla, şu an basit bir sayısal problem gibi gelse de, ters orantı ileride daha karmaşık konuların da temeli niteliğindedir.
Günlük hayatta da pek çok sahada hissederiz. Araba kullanırken yüksek hızda gitmek, varılacak noktaya daha kısa sürede ulaşmak demektir (tabii yasal sınırlar dahilinde). İstasyonda bir tankı beş muslukla doldurursak, o tank tek musluktan daha kısa sürede dolar. Aynı şekilde bir tarla örneği düşünün: Sabit iş miktarı olan ekin biçme aktivitesinde, çalışan sayısı arttıkça tamamlanma süresi kısalacaktır ve bu tam olarak ters orantının işlemekte olduğu alanlardan biridir.
Bu soruda kullanılan formül:
a \cdot (b+1) = sabit.
Burada (b+1) ifadesi arka planda “b sayısı + 1 sayısı” biçimindedir. b=4 ise b+1=5; bu çarpma değeri sabit kalır. a=20 iken bu sabit 100 olarak bulunur. Sonra a=10 olduğunda (b+1)=(100/10)=10 şeklinde bulunur. Sonucunda b=9’dur. Temel prensibi anlarsak, her zaman aynı yöntemi uygularız.
Ters orantı kadar yaygın bir başka kavram da “kısmi ters orantı” olabilir. Örneğin a ile (b+2) arasında, ya da a ile (2b-1) arasında ters orantıdan bahsedildiğinde yine aynı yaklaşım geçerli olur, sadece sabit çarpım a \cdot (2b-1) ya da a \cdot (b+2) haline gelir. Oradaki ek, çıkartma, çarpma veya bölme unsurunun varlığını doğru şekilde denkleme yansıtmak kritik önem taşır.
Tüm bu anlatımlar ışığında, problemin çözümü oldukça açık: a=10 olduğunda b=9 olur. Aslında çok kısa adımlarla birkaç satırda hesaplanabilecek bir soru olsa da, matematikte temel kavramları pekiştirmek amacıyla bu kadar detaylı ele alıyoruz. Çünkü “Neden bu formülü kullanıyoruz, neden b+1’i çarpıyoruz, sabit dediğimiz şey nereden geliyor?” sorularına net yanıt vermek, bu bilgiyi kalıcı hale getiriyor. Öğrenciler genellikle sadece “işlem yap-yaz” yaklaşımıyla ezberlerlerse kolaylıkla hafızadan uçup gider. Bu yüzden ters orantının temel mantığını ve gerçek hayattan örneklerini hatırlamak, konuyu daha anlaşılır ve akılda kalıcı kılar.
Bu problem bağlamında, ters orantı sabitinin 100 olması tüm denklemin “a \cdot (b+1) = 100” şeklinde kalmasını garanti eder. a yarıya inince, b+1’in iki katına çıkması gerekir, ki (9+1)=10 değeri bunu doğrular. Spesifik olarak bu soruda “b+1” 5’den 10’a artarken, a 20’den 10’a inmiştir. Yani tam olarak birisi yarıya inmiş, diğeri iki kata çıkmış, böylelikle çarpım yine 100 olarak korunmuştur.
Özetle; bu tarz sorularda yapılacaklar listesi:
- Hangi büyüklükle hangi büyüklük ters orantılı? Metinde netleştirin.
- Sabit çarpımsal değeri (k) bulmak için verilen ilk koşulu kullanın.
- Yeni koşulda a veya b (hangisi isteniyorsa) için bilinmeyeni denkleme yazın ve hesaplayın.
- Değerleri yerine koyarak kontrol edin.
Buradaki problem, bu sırayı izleyince çok rahat çözülür. Daha karışık problemlerle yüzleşince de aynı mantıkla ilerleyebilirsiniz; fark, belki bir ek denklem veya ekstra koşul içerebilmesidir. Ama ters orantı ilkesi değişmez.
Sonuç olarak, “a=10 olduğunda b=9” denkleminin doğrulandığını görüyoruz. Tablomuzda da yer alan adımlara göre hesap ortada ve hata payı yoktur. Bu sonuç, problemde istenene tam bir cevaptır.
Yukarıdaki anlatımın da gösterdiği gibi, matematikte soruları uzun uzadıya analiz etmek, hem konuyu öğrenmeye hem de benzeri sorunları daha iyi kavramaya faydalıdır. Anlatımda basit bir işlem yaparken “neden b+1 var, neden sabit 100” gibi soruları cevaplandırmak, öğrencilerin konunun mantığını anlamasına yardımcı olur. Aynı zamanda ileride benzer ama küçük varyasyonlara sahip soruları (mesela b yerine 2b, b+1 yerine b-3, vb.) rahatlıkla çözüp özümsemeye imkân tanır.
Bununla birlikte, problemle doğrudan ilgili olmasa da doğru orantı, bileşke orantı, oransal akıl yürütme gibi yan konuları kısaca bilmek en azından ileri problemlerde gerekecektir. Örneğin, bazen bir problemde a, b ile doğru orantılı, ama aynı anda a, c ile ters orantılı olabilir. Böyle bir durumda formül “$a = k \times \frac{b}{c}$” gibi bir hale gelebilir. Bu problemler, tek tek bu kavramları hazmettiğimizde kolayca üstesinden gelinebilen niteliktedir.
Böylesi kapsamlı bir bakış, bir yandan matematikteki temel orantı yaklaşımlarına ışık tutarken öte yandan spesifik bir problemdeki tüm aşamaları netleştirir. Şimdi soruya geri dönecek olursak, tekrar vurgulayalım: “a=10” için “b=9” buluşumuz, ters orantı kuralı çerçevesinde aşikârdır ve matematiksel olarak doğrulanmıştır. Burada sadece b değil, mesela (b+1) değerinin 10 olmasının altını çizmek dahi aynı kapıya çıkar. Yani “(b+1)=10 ⇒ b=9.” Fazlasıyla tutarlı ve basit.
Ayrıca bakıldığında bu soruda negatif değerlerin, sıfırın ya da farklı aralıkların değerlendirilmesine gerek yoktur. Soruda “b=4” gibi bir pozitif tamsayı veriliyor. Eğer b= -2 gibi bir sayı verilmiş olsaydı, b+1= -1 biçiminde daha dikkatli işlem yapmak ve belki de çarpımda negatif değerleri göz önüne almak gerekebilirdi. Ancak problem basit bir pozitif tamsayı örneğiyle sınırlı olduğundan bu tür komplikasyonlar yok.
Matematik eğitiminde, “ters orantı” konusu çoğu zaman “doğru orantı” konusuyla birlikte anlatıldığında öğrencilerin aklında daha net yer eder. Çünkü “birinde çarpım sabit, diğerinde bölme sabit” kavramına pratik yaparak aşinalık kazanılır. Daha sonra iki ya da daha fazla değişkenin aynı anda orantılı olduğu çoklu orantı veya karışık orantı durumlarına geçilebilir. Fakat burada en temel düzeyde, iki değişken (a ve b+1) arasındaki ilişkiyle karşı karşıyayız.
Bu kadar detayın sonunda, sorunun en kısa cevabı ise şu: Ters orantı yasası gereği sabitimizi bulduk (100). a=10 değerine karşılık (b+1) = \frac{100}{10} = 10 → b=9. İşlem budur. Sorunun tamamlanmasını sağlayacak ek bir basamak yoktur. Doğrulama adımını da yaptığımızda çarpım yine 100 vermektedir.
Özetle, binlerce kelimeyle de anlatsak, üç satırlık denklem çözümüyle de yaklaşıyor olsak, sonuç değişmez: Cevap 9’dur.