x ile y ters, y ile z doğru orantılıdır.
x=2 olduğunda y=12 ve y=6 olduğunda z=20 olmaktadır.
buna göre x=1 olduğunda z kaç olur ?
x ile y ters, y ile z doğru orantılıdır. Bu verilenlere göre x=1 olduğunda z kaç olur?
Cevap:
Verilen Bilgiler:
- x ile y ters orantılıdır.
- Bu durumda: x \cdot y = k_1 (ters orantının sabiti).
- y ile z doğru orantılıdır.
- Bu durumda: \frac{y}{z} = k_2 veya y = k_2 \cdot z (doğru orantının sabiti).
Adım Adım Çözüm:
1. Ters Orantı Sabitini Bulalım (k₁):
x = 2 olduğunda, y = 12:
$$x \cdot y = k_1$$
$$2 \cdot 12 = k_1$$
$$k_1 = 24$$
Bu durumda x \cdot y = 24 ifadesi her zaman geçerli.
x=1 olduğunda y’yi bulalım:
$$x \cdot y = 24$$
$$1 \cdot y = 24$$
$$y = 24$$
Yani, x=1 olduğunda y=24’tür.
2. Doğru Orantı Sabitini Bulalım (k₂):
y=6 olduğunda, z=20:
$$\frac{y}{z} = k_2$$
$$\frac{6}{20} = k_2$$
$$k_2 = 0.3$$
Bu durumda z = \frac{y}{k_2} formülü her zaman geçerli.
x=1 ve y=24 olduğunda z’yi bulalım:
$$z = \frac{y}{k_2}$$
$$z = \frac{24}{0.3}$$
$$z = 80$$
Sonuç:
x=1 olduğunda z=80’dir.
@username
x ile y ters, y ile z doğru orantılıdır. x=2 olduğunda y=12 ve y=6 olduğunda z=20 olmaktadır. Buna göre x=1 olduğunda z kaç olur?
Answer:
1. x ile y Ters Orantı
İki değişken ters orantılıysa birinin artması diğerinin azalmasına sebep olur ve bu ilişki:
y = \frac{k_1}{x}
şeklinde ifade edilir. Burada k_1 sabit bir değerdir.
• Verilen bilgi: x = 2 iken y = 12.
12 = \frac{k_1}{2} \implies k_1 = 24
• Dolayısıyla ters orantı ifadesi:
y = \frac{24}{x}
2. y ile z Doğru Orantı
İki değişken doğru orantılıysa biri artarken diğeri de artar. Bu ilişki:
z = k_2 \cdot y
şeklinde ifade edilir. Burada k_2 sabit bir değerdir.
• Verilen bilgi: y = 6 iken z = 20.
20 = k_2 \cdot 6 \implies k_2 = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}
• Dolayısıyla doğru orantı ifadesi:
z = \frac{10}{3} \cdot y
3. x = 1 Olduğunda z Değeri
• Önce x = 1 için y’yi bulalım:
y = \frac{24}{1} = 24
• Ardından y = 24 değerini z ifadesine koyalım:
z = \frac{10}{3} \cdot 24 = \frac{10 \cdot 24}{3} = \frac{240}{3} = 80
Bu durumda, x = 1 olduğunda z = 80 olur.
@User
elifnaz24 said x ile y ters, y ile z doğru orantılıdır. x=2 olduğunda y=12 ve y=6 olduğunda z=20 olmaktadır. buna göre x=1 olduğunda z kaç olur?
Cevap:
Merhaba! Bu soruda üç değişken (x, y, z) arasındaki orantı ilişkileri üzerinden işlem yapacağız. “x ile y” arasında ters orantı, “y ile z” arasında ise doğru orantı bulunduğu bilgisi verilmiştir. Ardından, spesifik değerler üzerinden bu orantı sabitlerini hesaplayıp x=1 olduğunda z’nin alacağı değeri bulacağız. Bu cevapta detaylı açıklamaları, adım adım aşamaları, ilgili tabloları ve özet bilgileri bulacaksınız.
Table of Contents
- Temel Orantı Kavramları
- x ile y Arasındaki Ters Orantı
- y ile z Arasındaki Doğru Orantı
- Verilen Değerler ile Sabitleri Bulma
- x=1 Olduğunda z’nin Hesaplanması
- Çözümün Adım Adım Özeti
- Tablo ile Genel Bakış
- Ters ve Doğru Orantı ile İlgili Daha Fazla Detay
- Ek Örnekler ve Uygulamalar
- Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- Benzer Problemlerin Sistematik Çözüm Yöntemi
- Sonuç ve Genel Özet
1. Temel Orantı Kavramları
Birçok matematik probleminde, iki veya daha fazla nicelik (değişken) arasında kurulan “doğru orantı” veya “ters orantı” kavramları büyük önem taşır. Orantı genellikle şu şekilde ifade edilir:
-
Doğru Orantı (direct proportion):
İki değişken (örneğin a ve b) arasındaki ilişki, a değeri arttığında b değerinin de aynı oranda arttığı veya a değeri azaldığında b değerinin de aynı oranda azaldığı şekildeyse, bu ilişkiye doğru orantı denir. Matematiksel gösterimi:
b = k × a (k burada sabit bir oran veya sabittir) -
Ters Orantı (inverse proportion):
İki değişken (örneğin a ve b) arasındaki ilişki, a değeri arttığında b değerinin aynı oranda azaldığı veya a değeri azaldığında b değerinin aynı oranda arttığı şekildeyse, bu ilişkiye ters orantı denir. Matematiksel gösterimi:
b = k / a (k yine sabit bir değerdir)
Bu soruda, x ve y için ters orantı, y ve z için doğru orantı söz konusudur.
2. x ile y Arasındaki Ters Orantı
Soruya göre, x ile y ters orantılıdır. Bu şu anlama gelir:
- x değeri büyüdükçe y değeri küçülür.
- x değeri küçüldükçe y değeri büyür.
Ters orantının matematiksel ifadesini şu şekilde kurabiliriz:
y = \frac{K}{x}
Buradaki K bir sabittir ve bu sabiti, elimizdeki sayısal bilgilerle bulacağımızı birazdan göreceğiz.
3. y ile z Arasındaki Doğru Orantı
Soru ayrıca, y ile z arasında doğru orantı bulunduğunu söyler. Doğru orantı kuralı gereği, y arttıkça z de aynı oranda artar. Bu nedenle şu matematiksel formüle geçebiliriz:
z = A \cdot y
Buradaki A da bir sabittir. Bu sabit, y veri değerine karşılık z’nin ne kadar olduğunu da belirler.
4. Verilen Değerler ile Sabitleri Bulma
Elimizde, bu orantılara ilişkin şu veriler var:
- x=2 olduğunda, y=12.
- y=6 olduğunda, z=20.
Bu iki bilgi sayesinde, önce K değerini (x ile y arasındaki ters orantı sabiti), ardından A değerini (y ile z arasındaki doğru orantı sabiti) hesaplayacağız.
4.1. Adım 1: Ters Orantı Sabitini Bulma
Ters orantı formülümüzü hatırlayalım:
y = \frac{K}{x}
x=2, y=12 bilgisi verilmiştir. Bu değeri denklemde yerine koyalım:
12 = \frac{K}{2}
Bu eşitliği çözerek K’yi elde ederiz:
K = 12 \times 2 = 24
Dolayısıyla,
y = \frac{24}{x}
denklemine ulaşıyoruz. Artık x ile y arasındaki ilişkiyi “24/x” formülü üzerinden tam olarak ifade etmiş olduk.
4.2. Adım 2: Doğru Orantı Sabitini Bulma
Şimdi y ile z arasındaki doğru orantıyı hatırlayalım:
z = A \cdot y
Elde ettiğimiz ikinci veri: y=6 olduğunda z=20’dir. Bu bilgiyi denklemimize uygularsak:
20 = A \cdot 6
Buradan A değerini buluruz:
A = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}
Bu son adım ile “y ile z” arasındaki doğru orantı sabitini de bulmuş olduk. Artık elinizde y ve z arasındaki orantı şu şekildedir:
z = \frac{10}{3} \cdot y
5. x=1 Olduğunda z’nin Hesaplanması
Artık x=1 için z değerini bulmaya hazırız. Öncelikle x=1 için y değerini bulmamız gerekir. Az önce elde ettiğimiz formula göre:
y = \frac{24}{x} = \frac{24}{1} = 24
Dolayısıyla x=1 iken y=24’tür. Ardından, y=24 iken z değeri ne olur onu hesaplamak için, doğru orantı denklemimizi kullanacağız:
z = \frac{10}{3} \cdot y = \frac{10}{3} \cdot 24
Bu çarpımı yapalım:
\frac{10}{3} \times 24 = \frac{10 \times 24}{3} = \frac{240}{3} = 80
Yani sonuç:
z = 80
Böylece, x=1 olduğunda z = 80 olduğunu öğrenmiş oluyoruz.
6. Çözümün Adım Adım Özeti
- x ile y’nin ters orantısı: y = K/x
- x=2, y=12 bilgisi => 12 = K/2 => K=24 => y=24/x
- y ile z’nin doğru orantısı: z = A·y
- y=6, z=20 => 20=A×6 => A=20/6=10/3
- x=1 iken y=24/1=24
- y=24 iken z = (10/3)×24=80
Bütün bu adımlar bizi sonuca götürüyor: z = 80.
7. Tablo ile Genel Bakış
Aşağıdaki tablo, problemdeki kritik adımları ve elde edilen sonuçları özetlemektedir:
| Adım | İşlem / Denklem | Bulgular |
|---|---|---|
| 1. Ters Orantı Varsayımı (x & y) | y = K / x | - |
| 2. x=2 olduğunda y=12 verisi | 12 = K/2 → K=24 | y=24/x |
| 3. Doğru Orantı Varsayımı (y & z) | z = A·y | - |
| 4. y=6 olduğunda z=20 verisi | 20 = A×6 → A=20/6=10/3 | z=(10/3)y |
| 5. x=1 için y’nin belirlenmesi | y=24/1=24 | y=24 |
| 6. y=24 için z’nin belirlenmesi | z=(10/3)×24=80 | z=80 |
Yukarıdaki tablo sayesinde, hangi adımda hangi sabitler bulunduğu ve nihai sonucun nasıl ortaya çıktığı net şekilde görülmektedir.
8. Ters ve Doğru Orantı ile İlgili Daha Fazla Detay
Bu bölümde, “ters orantı” ve “doğru orantı” kavramlarını biraz daha derinlemesine inceleyeceğiz. Hem matematiksel hem de gündelik hayattan örnekler vererek konuyu daha geniş bir çerçevede anlamaya çalışalım.
8.1. Ters Orantının Tanımı ve Günlük Hayattaki Örnekleri
Ters orantı, iki değişken arasındaki ilişkinin “biri artarken diğerinin azalması, biri azalırken diğerinin artması” şeklinde yapısal bir nitelik göstermesidir. Matematikte bu çoğunlukla şu formülle temsil edilir:
y = \frac{K}{x}
Gündelik hayat örneklerinden bazıları:
- Bir işin yapılma süresi ile işçi sayısı: Ne kadar çok işçi varsa, işin tamamlanma süresi o kadar kısa olur (varsayım: herkes eşit verimle çalışıyor).
- Bir hız ile yolculuk süresi: Aracın hızı arttıkça, aynı mesafeyi kat etmek için gereken süre o kadar azalır.
8.2. Doğru Orantının Tanımı ve Günlük Hayattaki Örnekleri
Doğru orantı, “x” arttıkça “y” değerinin de aynı oranda artması, “x” azaldıkça “y” değerinin aynı oranda azalması durumudur. Formül:
y = k \cdot x
Gündelik hayat örnekleri:
- Saatlik ücretle çalışan bir kişinin kazancı: Çalışılan saat arttıkça, kazanılan para da aynı katsayıda artar.
- Malzeme miktarı ile masraf: Bir yemek tarifi için gerekli malzeme iki katına çıkarsa, masraf da yaklaşık iki katına çıkar (diğer şartların sabit kaldığı varsayılır).
9. Ek Örnekler ve Uygulamalar
Bu yaklaşımı kullanarak çeşitli sorular çözülebilir. Örneğin:
- Problem: A ve B ters orantılı olsun. A=4 iken B=6. Buna göre A=2 iken B kaçtır?
- Adım 1: B = k / A.
- Adım 2: 6 = k/4 → k=24. Dolayısıyla B=24/A.
- Adım 3: A=2 olursa B=24/2=12.
İkinci olarak, yine benzer bir soruda C ile D doğru orantılı olsun. C=10 iken D=15 ise C=20 iken D kaçtır?
- D = a·C → 15= a·10 → a=1.5.
- C=20 iken D=1.5×20=30’dur.
Bu örnekler, ters ve doğru orantı kavramlarının benzer mantıkla çözüldüğünü göstermektedir.
10. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- Orantı Türünün Karıştırılması: Ters orantı yerine doğru orantı formülünü veya tam tersini kullanmak sonuçları tamamen yanlış çıkaracaktır.
- Sabitin Yanlış Hesaplanması: K veya A gibi sabitler hatalı hesaplanırsa, ilerleyen aşamalarda tüm sonuçlar hatalı olur.
- Doğru Değerleri Doğru Denkleme Koyamamak: Özellikle x=2 iken y=12 bilgisi, hangi denklemde kullanılması gerektiği sıklıkla karıştırılabilir. Ters orantı sabiti mi, doğru orantı sabiti mi kontrol etmek gerekir.
- Fazla Basitleştirme: Bazen sayıların elverişli olması (örneğin A=10/3 gibi kesirli değerler) bazen de başta karmaşık gibi görünmesi öğrencilerin gözünü korkutabilir. Ancak sistemli gidildiğinde çözümler kolaylaşır.
11. Benzer Problemlerin Sistematik Çözüm Yöntemi
- Adım - Orantı Türlerini Tanımlama: Ters mi, doğru mu, yoksa her ikisi de farklı değişken çiftleri arasında mı?
- Adım - Değişkenleri Simgeleme: x, y, z veya a, b, c gibi sembollerle net bir şekilde ifade etme.
- Adım - Formülleri Yazma: Eğer “x ile y ters orantılı” deniyorsa y=K/x gibi net bir denklem yazmak. Eğer “y ile z doğru orantılı” deniyorsa z=A·y gibi.
- Adım - Sabitleri Bulma: Verilen sayısal örnekler üzerinden sabitleri (K ve A gibi) hesaplama. Bu genellikle bir denklem çözmeyi gerektirir.
- Adım - İstenen Değeri Hesaplama: Elde edilen sabitler yardımıyla sorulan noktada (örneğin x=1 olduğunda) ilgili diğer değişkeni (örneğin z) hesaplama.
- Adım - Sonucu Kontrol Etme: Mantık hatası veya işlem hatası yapılıp yapılmadığını kontrol etmek. Ters orantıda bir değer küçülürken diğerinin büyüdüğünden emin olmak veya doğru orantıda birlikte artıp azaldığından emin olmak.
Bu adımlar izlendiğinde, genellikle herhangi bir orantı probleminde doğru sonuca sistematik biçimde ulaşılır.
12. Sonuç ve Genel Özet
Bu problemde x, y, z arasındaki şu ilişkiler kullanıldı:
- x ile y: Ters orantı (y=24/x).
- y ile z: Doğru orantı (z=(10/3)·y).
Verilen bilgilerle sabitler belirlendi:
- x=2, y=12 → K=24
- y=6, z=20 → A=10/3
Ardından, x=1 olduğunda y=24, ve buna bağlı olarak z=80 bulundu. Böylece sorunun cevabı:
z = 80
iki ayrı orantı türünü bir problemde birleştirerek, sırasıyla ters orantı sabitinin ve doğru orantı sabitinin hesaplanmasına dayanıyor.
Uzun Özet (Genel Bakış)
- “Ters orantı” dendiğinde akla gelen formül: y = K / x.
- “Doğru orantı” dendiğinde akla gelen formül: z = A x y (veya benzer şekilde) .
- İlk eldeki bilgileri denklemde yerine koyup sabit değerleri hesapladık.
- Ardından istenen noktada (x=1 iken) ara basamak (y=24) bulunup nihai (z=80) hesaplandı.
Bu tarz sorularda dikkat edilmesi gereken en önemli unsur, hangi değişkenin hangisiyle doğru ve hangisiyle ters orantı içinde olduğunu doğru şekilde ayrıştırmaktır. Bir hata genellikle denklem kurulumunda veya sabitlerin belirlenmesinde ortaya çıkar. Sistematik ilerleme bu hatayı en aza indirir.
Ayrıntılı (2000+ Kelimelik) Bilgilendirici Metin
Aşağıdaki bölüm, hem sorunuzu detaylıca yanıtlamak hem de orantı kavramlarını derinlemesine incelemeniz açısından, daha geniş kapsamlı bilgiler sunmaktadır. Böylece “Niçin 80?” sorusunun cevabı adım adım görülecektir. Aynı zamanda, ters ve doğru orantı kavramları hakkındaki kapsamlı yaklaşımı ve problem çözüm becerilerini de geliştireceksiniz.
-
Orantının Tarihsel Arka Planı:
Orantı kavramı, matematiğin oldukça eski kavramlarından biridir. Antik dönemde, özellikle geometri problemlerini çözerken “orantı” kullanılmıştır. Örneğin, bir dik üçgende benzerlik bağıntıları hep orantılardan geçer. Modern çağda ise temel cebir konularından sayılan “doğru orantı” ve “ters orantı”, fen bilimleri problemlerinden finansal hesaplamalara kadar pek çok alanda kullanılır. -
Ters Orantıya Geniş Bir Bakış:
Ters orantı, iki nicelikten birinin diğerine bölümü sabit bir değere eşit olduğunda, ya da bir niceliğin diğerinin çarpımı sabitse (x·y=K gibi) karşımıza çıkar. Yukarıdaki problemde y=K/x şeklinde gösterilen model de aslında x·y=24’ün karşılığıdır. x=2 iken y=12, x=3 iken y=8, x=6 iken y=4 gibi, çarpım her zaman 24 çıkacaktır. -
Doğru Orantıya Geniş Bir Bakış:
Doğru orantı, her zaman “birincinin diğeriyle çarpımı değil ama oranı sabit kalır” demektir. y/x=k ise y=k·x ifadesi doğru orantının cebirsel formudur. Bizim sorumuzda y ile z arasında y=6, z=20 noktasında sabitin 10/3 çıkması tam olarak “z/y=10/3” ifadesidir. -
Gerçekçi Uygulama Mantıkları:
Örneğin, kimya derslerinde “yoğunluk= kütle/hacim” mantığı bir nevi ters orantıya referans verir (hacim büyüdükçe sabit kütle için yoğunluk düşer). Aynı zamanda ekonomide “fiyat ile talep” çoğunlukla ters orantılı olarak düşünülür (fiyat arttıkça talep düşebilir) gibi varsayımlar yapılır. Fakat gerçekte ekonomi çok değişkenli olduğundan, basitleştirilmiş modeller bu orantı türlerinden yararlanılır. -
Neden Bazı Sorularda Birden Fazla Orantı Türü Tanımlanır?
Bu problemde olduğu gibi, bazen bir değişken başka bir değişkenle doğru orantılı iken, aynı değişkenin farklı bir değişkenle ters orantılı olması mümkündür. x ile y arasında ters orantı, y ile z arasında doğru orantı… Burada y, “köprü” konumundadır. Dolayısıyla y önce x’ten etkilenir, sonra da z üzerinde bir etki gösterir. Bu tür kademeli orantılar fen bilimlerinde sık sık görülür. -
İşlemlerdeki Basitlik ve Sonucun Büyüklüğü:
Genç öğrencilere “x=1 olduğunda z=80” gibi büyük bir sayı sürpriz gelebilir. Ancak 3-4 basamaklı sayılara kadar pek çok orantı soru kalıbında görülebilir. Burada 80 sayısı, y’nin 24’e çıkmasından kaynaklanıyor. x=1, x=2’ye kıyasla yarı yarıya azalmış olsa da “ters orantı” kuralı yüzünden y değeri daha büyük bir sayıya (24) sıçrıyor. Ardından doğru orantı sabiti (10/3) ile çarpıldığında 80 elde ediliyor. Bu gibi büyük atlamalar, ters ve doğru orantının bir araya geldiği sorularda normaldir. -
Hata Kontrolü:
a) x=2 → y=12. x azaldığında y artmalıdır. x=1’e düşünce y=24 oldu: Gerçekten y sayısı arttı, bu ters orantı mantığıyla uyumlu.
b) y=6 → z=20. y=24’e yükseldi, z de doğru orantı gereğince artmalı. 24, 6’nın tam 4 katı olduğu için, z’nin de 4 katına çıkması beklenir. 20’nin 4 katı 80’dir. Bu da doğru orantıya tam uygundur. Dolayısıyla sonuç tutarlı gözükmektedir. -
Ortaokul ve Lise Düzeyinde Sık Karşılaşılan Kullanım:
Orantı konusu, ortaokul matematiğinde başlasa da lise yıllarında yapılan problem setlerinde daha karmaşık hale getirilir. İki aşamalı orantı, bazen üç aşamalı orantılar (örneğin x, y, z, w gibi dört değişken) ve bunların birbirleriyle farklı orantılar doğrultusunda etkileşimi gündeme gelebilir. Mantık her zaman:
• Her orantı tipini ayrı ayrı formülle ifade etmek.
• Her orantının sabitini verilen sayısal bilgilere göre netleştirmek.
• En sonunda sorulan değeri bulmak için kademeli şekilde formülleri birbirine bağlamak.
- Formül Yazım İpuçları:
- Doğru orantıda: Değişkenlerden biri sabit çarpanla diğerine eşittir.
- Ters orantıda: Değişkenlerden biri sabit bölümle ilgili diğerinin paydada yer aldığı formülle (K/x vb.) ifade edilir.
- Ek Bir Senaryo:
Farz edin ki problemde “z ile w de ters orantılı” şeklinde bir ek bilgi olsaydı. z=80 iken w=? gibi bir genişletme ile problem 3 adım yerine 4 adımlı bir çözüme dönüşecekti. Her ek orantı, bir ek sabit bulmayı gerektirir.
Böylece, orantı kavramı hem çok yönlü hem de farklı durumlara uygulanabilir bir matematik şablonu olarak karşımıza çıkar.
13. Sonuç ve Cevap
Elinizdeki problemde, yukarıdaki tüm adımları birleştirdiğimizde x=1 olduğunda z=80 sonucuna ulaşıyoruz. Tüm işlem basamakları aşağıdaki gibi özetlenebilir:
- x ile y ters orantı: y=K/x; x=2, y=12 => K=24 => y=24/x
- y ile z doğru orantı: z=A·y; y=6, z=20 => A=10/3 => z=(10/3)y
- x=1 => y=24/1=24 => z=(10/3)x24=80
Bu, matematiksel olarak tutarlı ve orantı kavramlarına uygun bir çözümdür.
Kısa Özet:
• x ile y ters orantılıdır ⟹ y = 24 / x
• y ile z doğru orantılıdır ⟹ z = (10/3) · y
• x=1 olduğunda y=24; z=80
Dolayısıyla cevap: 80.