Soru: 94 şeker, 3, 4 ve 5 yaşlarındaki üç çocuğa yaşları ile ters orantılı olarak paylaştırılacaktır. Buna göre, payı en az olan çocuk kaç şeker alır?
Cevap: Ters orantı, iki büyüklükten birinin artması durumunda diğerinin azalması anlamına gelir. Yaşları ile ters orantılı paylaştırma yaparken, yaş arttıkça alınan şeker miktarı azalacaktır.
Adımlar:
-
Yaşlar ve Ters Orantılı Paylar:
- Yaşlar: 3, 4, 5
- Ters orantılı paylar: \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}
-
Payların Ortak Çarpanı:
- Payların oranını hesaplamak için ortak bir payda bulmak gerekir: LCM(3, 4, 5) = 60
- Orantılı paylar: \frac{60}{3} = 20, \frac{60}{4} = 15, \frac{60}{5} = 12
-
Toplam Payın Dağıtımı:
- Toplam pay: 20 + 15 + 12 = 47
-
Şekerlerin Dağıtımı:
- Her birim pay başına düşen şeker: \frac{94}{47} = 2
- Çocuklar arasındaki şeker dağılımı:
- 3 yaşındaki çocuk: 20 \times 2 = 40
- 4 yaşındaki çocuk: 15 \times 2 = 30
- 5 yaşındaki çocuk: 12 \times 2 = 24
Sonuç: Payı en az olan çocuk, 5 yaşındaki çocuk ve 24 şeker alır.
Neden 1/5 şeklinde yazdık
Neden \frac{1}{5} Şeklinde Yazdık?
Cevap:
Ters orantılı paylaştırma yaparken, yaşlar arasında ters orantı kurduğumuz için yaşın tersi kullanılmalıdır. Yani, bir çocuğun yaşı arttıkça, alacağı miktar azalır. Bu nedenle:
- 3 yaşındaki çocuğun payı \frac{1}{3} şeklindedir.
- 4 yaşındaki çocuğun payı \frac{1}{4} şeklindedir.
- 5 yaşındaki çocuğun payı \frac{1}{5} şeklindedir.
Özet: Ters orantılarda, büyüklüklerin tersleri üzerinden orantı kurulur. Bu yüzden yaş ne kadar büyükse, aldığı pay \frac{1}{\text{yaş}} formülüyle küçülmüş olur.
Bunu 1/5 şeklinde değilde k/5 şeklinde yazanlarda var orantı sabiti olduğu için sen neden orantı sabitini kullanmadın
Orantı Sabitini Kullanmak
Cevap:
Ters orantılı paylaşımda, her bir oran için ortak bir orantı sabiti (k) bulunur. Bu sabiti, dağıtılacak miktarı bulmak için kullanabiliriz:
Adımlar:
-
Orantılar:
- Yaşlar ve tersleri: \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}
-
Orantı Sabiti (k):
- Ters orantı: k \times \frac{1}{3}, k \times \frac{1}{4}, k \times \frac{1}{5}
- Toplam: k(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = 94
-
Ortak Payda:
- \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{20 + 15 + 12}{60} = \frac{47}{60}
-
Orantı Sabitini Bulma:
- k \times \frac{47}{60} = 94
- k = 94 \times \frac{60}{47}
-
Her Çocuğun Payı:
- 3 yaşındaki çocuk: k \times \frac{1}{3}
- 4 yaşındaki çocuk: k \times \frac{1}{4}
- 5 yaşındaki çocuk: k \times \frac{1}{5}
Bu yöntemle, orantı sabitini (k) kullanarak her çocuğun alacağı miktarı daha sistematik bir şekilde hesaplayabilirsiniz.
Özet: Orantı sabiti (k) hem daha formel bir yaklaşım sunar hem de her adımı açıkça gösterir; bu yüzden bazı insanlar bu yöntemi tercih eder.
Daha anlaşılır bir açıklama sunar mısın
Tabii, daha anlaşılır bir şekilde açıklayayım:
Ters Orantının Mantığı:
Ters orantı, birinin artması durumunda diğerinin azalması demektir. Yaş ile ters orantılı bir dağıtım yaparken, çocukların yaşı arttıkça alacakları şeker miktarı azalır. Bu yüzden yaşları ters çeviriyoruz.
Örneğin:
- 3 yaşındaki çocuğa ters orantılı pay: \frac{1}{3}
- 4 yaşındaki çocuğa ters orantılı pay: \frac{1}{4}
- 5 yaşındaki çocuğa ters orantılı pay: \frac{1}{5}
Nasıl Çalışır:
- Bu oranlar, yaşları gösterir.
- Yaşın tersini kullanarak alacakları şeker miktarını belirtiyoruz. Daha büyük yaşlar daha az pay alır.
- Her çocuğun alacağı payı belirlemek için bu ters oranları toplarız ve paylaştırmayı bu oranlara göre yaparız.
Bu şekilde ters orantı ile şekerleri paylaştırırız.
Mala anlatır gibi anlatır mısın gerekirse konun en yapı taşına in
Ters Orantının Temel Mantığını Anlamak:
Tamamen basitleştirerek anlatayım:
Hayal edelim ki bir çocuk grubumuz var ve bu çocuklara şeker dağıtmak istiyoruz. Şekerleri çocukların yaşlarına göre dağıtacağız ama çocukların yaşı büyüdükçe alacakları şeker azalacak. İşte bu ters orantıdır.
Nasıl Çalışır?
1. Ters Çevirme:
- Yaşları tersine çeviriyoruz. Yani 3 yaşındaki çocuk \frac{1}{3} kadar pay alır.
2. Neden Ters?
- Çünkü yaş ne kadar büyükse, alacağı şeker o kadar az olacak.
3. Toplama:
- Ortak bir ölçüm yapmak için tüm ters oranları toplarız.
4. Paylaştırma:
- Her çocuğun payı, toplam ters oran içindeki kendi yaşıyla ters orantılı payıdır.
Örnekle:
- Çocuk A (3 yaş): Alır \frac{1}{3}
- Çocuk B (4 yaş): Alır \frac{1}{4}
- Çocuk C (5 yaş): Alır \frac{1}{5}
Sonuçta, ters orantıda yaş büyüdükçe pay azalır ve bu oranla şekerleri dağıtırız.
Bu şekilde düşündüğümüzde, büyük yaş küçülen pay demektir.