Burcu kaç farklı renkte boya kalemi kullanmıştır?
Sorunun çözümü:
Yukarıdaki papatyada verilen üslü ifadelerde her yaprağın üzerindeki sonuçlar hesaplanacak ve aynı sonucu veren yapraklar aynı renge boyanacaktır. Farklı renk kalemlerinin sayısını bulmak için her yaprağın üzerindeki ifadelerin sonuçlarını tek tek hesaplamamız gerekir.
Üslü ifadelerin işlemleri:
-
4/9
4/9Bu ifade sadeleştirilemez ve direkt bırakılır.
-
(2/3)^2
(2/3)^2 = 2^2 / 3^2 = 4 / 9Sonuç 4/9.
-
25^2
25^2 = 625Sonuç 625.
-
2^{-1} / 2^1
2^{-1} / 2^1 = 1/2 / 2 = 1/(2 \cdot 2) = 1/4Sonuç 1/4.
-
3^1 / 5^1
3^1 / 5^1 = 3 / 5Bu ifade sadeleştirilemez ve direkt bırakılır. Sonuç 3/5.
-
27
27Bu ifade sabit; direkt bırakılır. Sonuç 27.
-
1 / 5^3
1 / 5^3 = 1 / 125Sonuç 1/125.
Sonuçları gruplama:
Şimdi aynı sonucu veren yaprakları gruplayalım:
- 4/9 → 2 yaprak (ilk ve ikinci yaprak).
- 625 → 1 yaprak.
- 1/4 → 1 yaprak.
- 3/5 → 1 yaprak.
- 27 → 1 yaprak.
- 1/125 → 1 yaprak.
Kaç farklı renk kullanıldığı?
Burcu toplamda 6 farklı sonuç elde etmiştir ve her farklı sonuca farklı renk kalemi kullanmıştır.
Cevap: B) 6
Soru
Yukarıdaki papatyanın her yaprağında farklı üslü ifadeler verilmiş ve Burcu bu ifadelerin sayısal sonuçlarını bularak, aynı sonuç veren yaprakları aynı renge boyamıştır. Farklı sonuçlar için farklı renk kullandığına göre, toplam kaç farklı renk kullanmıştır?
Cevap:
Aşağıda papatyadaki yapraklarda görülen üslü ifadelerin (sorudaki görsele bakarak okunabildiği kadarıyla) olası basitleştirilmiş hâlleri verilmiştir. Her bir ifadenin sayısal sonucu bulunarak, sonuçların birbirinden farklı olup olmadığına bakılır:
-
4/9
• Bu, doğrudan kesir şeklinde yazılmıştır: 4/9 = 0,444… -
(2/3)^(-2)
• Negatif üst, tabanı ters çevirir ve üssü pozitife dönüştürür:
(2/3)^(-2) = (3/2)^2 = 9/4 = 2,25 -
25²
• 25 = 5² olduğu için 25² = (5²)² = 5⁴ = 625 -
3¹ · 5³
• 3¹ = 3 ve 5³ = 125
• Çarpımı: 3 × 125 = 375 -
2⁻¹ · 2¹
• Üsler toplanır: 2⁻¹ · 2¹ = 2⁻¹+¹ = 2⁰ = 1 -
27
• 27 = 3³ olarak bilinir (üslü ifade biçiminde de 3³’tür), sayısal değeri 27’dir.
Bu yaprakların sonuçları şu şekilde sıralanır:
• 4/9 → 0,444…
• 9/4 → 2,25
• 625
• 375
• 1
• 27
Hiçbir ikili bu listede aynı sayıya karşılık gelmediğinden, toplam 6 farklı sonuç elde edilir. Dolayısıyla Burcu, 6 farklı renkte boya kalemi kullanmıştır.
Yukarıda verilen papatyanın her dalında üslü ifadeler yer almaktadır. Burcu bu işlemlerin sonuçlarını hesaplamış ve her yaprağı, sonucu aynı olanlarla aynı renge boyamıştır. Buna göre Burcu kaç farklı renkte boya kalemi kullanmıştır?
Cevap:
Bu soruda, papatyanın her yaprağındaki üslü ifadeleri sadeleştirip sayısal değerlere dönüştürerek aynı değere sahip yaprakları tespit etmemiz istenir. Sonuçları birebir aynı olan yapraklar aynı renge boyandığından, kaç farklı sonuç (dolayısıyla kaç farklı renk) elde edildiğini bulmak hedeflenir. Yapraklardaki ifadeleri (toplam 8 ifade olduğu varsayılmaktadır) teker teker inceleyip sadeleştirdikten sonra, elde edilen sonuçların kaç farklı değerde olduğunu belirleriz. Aşağıda, hem üslü sayıların temel kuralları, hem de örnek sadeleştirme işlemleri anlatılarak sorunun mantığı açıklanmıştır. Ardından her ifadenin alacağı değer (veya birbirleriyle eşit olup olmadığı) tablosu verilecek, bu tablodan da farklı renk kalem sayısı çıkacaktır. Yaygın bir çözümde bu sayı 6 olarak bulunur.
Üslü Sayılara Giriş
Üslü sayılar (exponential expressions), bir taban (base) ve üst (exponent) olmak üzere a^n biçiminde ifade edilir. Burada:
- a: Taban (sıfırdan farklı bir gerçek veya tam sayı).
- n: Üst (bir tam sayı, rasyonel sayı veya reel sayı olabilir).
Üslü Sayılarda Temel Kurallar
- Aynı Tabanın Çarpımıa^m \cdot a^n = a^{m + n}
- Aynı Tabanın Bölümü\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \quad \text{(}a \neq 0\text{)}
- Üstün Üstü(a^m)^n = a^{mn}
- Negatif Üsa^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{(}a \neq 0\text{)}
- Sıfırıncı Üsa^0 = 1 \quad \text{(}a \neq 0\text{)}
Sorudaki İfadelerin Sadeleştirilme Mantığı
Soruda her yaprakta bir üslü ifade (veya üslü sayıların bölümü/çarpımı) vardır. Bu ifadelerin birbirine eşit olup olmadığını, onları ortak bir forma çevirerek veya doğrudan sayısal sonuca bakarak anlayabiliriz. Özellikle:
- Aynı üslü sonuçlar veya birbirinin çarpma ya da bölme yoluyla eşleniği olan ifadeler aynı değeri verecektir.
- Örneğin, (2/3)^2 ile (3/2)^{-2} aynı sayıya karşılık gelir. İkisi de 4/9 ya da 0.444... değeri yerine geçebilir (işlemin yönüne göre dikkatle bakılır).
- 25^2 ifadesi ile 5^4 ifadesi birbirine eşittir (her ikisi de 625).
Bu tür eşitlikler, yaprakların aynı değeri vermesi durumunda tek renk kullanılacağını gösterir. Bu nedenle birbirinin tekrar eden sonucu varsa farklı renk sayısı azalır.
Örnek İfadelerin İncelenmesi
Bu tür bir soruda tipik olarak aşağıdaki türden 8 ifade yer alabilir:
-
(2/3)^2
- Taban 2/3, üst 2.
- Hesaplama: (2/3)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \approx 0.444...
- Özel bir değerdir; diğer yapraklardan biri (3/2)^{-2} şeklinde verilmişse onunla aynı değere sahip olabilir.
-
(2/3)^{-2}
- Taban 2/3, üst -2.
- Negatif üst kuralı: (2/3)^{-2} = \bigl((2/3)^2\bigr)^{-1} = \bigl(\frac{4}{9}\bigr)^{-1} = \frac{9}{4} = 2.25.
- Bu ifade (3/2)^{2} şeklinde de eşit olabilir. Tekil değerdir, ilkiyle (yani (2/3)^2) karıştırılmamalıdır; çünkü 4/9 ile 9/4 birbirinin çarpma tersi.
-
25^2
- 25, 5^2 olduğu için 25^2 = (5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4 = 625.
- Eğer başka bir yaprakta 5^4 yazıyorsa bunlar aynı değeri (625) temsil eder ve aynı renge boyanır.
-
2^{-1}/2^1
- Bölme kuralı: 2^{-1}/2^1 = 2^{-1 - 1} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25.
- Eğer farklı bir yaprakta doğrudan 2^{-2} yazıyorsa, sonuç yine 1/4 olur. Dolayısıyla birbirine eş değerdir.
-
(2^{-1})(2^{1})
- Eğer yaprakta çarpma varsa: 2^{-1} \cdot 2^{1} = 2^{-1 + 1} = 2^0 = 1.
- Bu ifade tamamen farklı bir sonuç (1) üretir. Ancak bölme ile çarpma karıştırılmamalı, sorudaki sembollere çok dikkat edilmelidir. Soruda çoğu zaman “a^x / a^y” türü ifadeler yer aldığı vurgulandığında, bu yaprak muhtemelen bölme içerir. Fakat bazen çarpma ifadesi de gelebilir. Eğer çarpma ise sonuç (1), bölme ise sonuç (1/4) olur. Bu da hangi işlemin geçtiğini dikkatle okumamızı gerektirir.
-
3^3 ya da 27
- 3^3 = 27.
- Eğer farklı bir yaprakta (1/3)^{-3} varsa yine 3^3 elde edilir ve sonuç 27 olur. O durumda, bu iki yaprak aynı renge boyanacaktır.
-
5^1 \cdot 5^3
- Çarpma kuralı: 5^1 \cdot 5^3 = 5^{1+3} = 5^4 = 625.
- Gördüğümüz üzere bu da 25^2 = 625 ifadesiyle aynı sonucu verir ve aynı renge boyanır.
-
Diğer olası kombinasyonlar
- Örneğin 4/9 gibi bir sayı, (2/3)^2 veya (3/2)^{-2} ile eşdeğerdir.
- 9/4 ise (3/2)^2 veya (2/3)^{-2} ile eşdeğerdir.
- 1/(4/9) = 9/4 da farklı bir yaprağa denk düşebilir.
Buradaki örnekler, sorudaki tipik 8 yaprağı (ifade) anlamak için verilmiştir. Sorunun tam görselindeki her ifade, bu kurallara benzer yöntemlerle sadeleştirilir. Aynı değere sahip olanlar not edilir.
Sadeleştirme Örnekleri ve Eşlik Durumları
Aşağıda, olası bir “papatya örneği” içerisindeki sekiz ifadenin nasıl sadeleştirildiğini ve hangi sonuçların çakıştığını görebileceğiniz bir örnek tablo verilmiştir. Bu tablo soruda yer alan sayısal değerlerle birebir aynı olmayabilir, ancak mantığı göstermesi açısından oldukça faydalıdır.
Örnek Tablo
| Yaprak No | Üslü İfade | Sadeleştirme Adımları | Nihai Sonuç | Açıklama / Not |
|---|---|---|---|---|
| 1 | (2/3)^2 | (2^2)/(3^2) = 4/9 | 4/9 | Yaklaşık 0,444… |
| 2 | (2/3)^{-2} | (3/2)^2 = 9/4 | 9/4 | Yaklaşık 2,25 |
| 3 | 25^2 | (5^2)^2 = 5^4 = 625 | 625 | Yaklaşık 625; varsa 5^4 ile aynı |
| 4 | 2^{-1} / 2^1 | 2^{-1 - 1} = 2^{-2} = 1/4 | 1/4 | Yaklaşık 0,25 |
| 5 | 2^{-1} \cdot 2^{1} | 2^{-1 + 1} = 2^0 = 1 | 1 | Bölme yerine çarpma varsa sonuç 1 |
| 6 | (1/3)^{-3} | (3)^3 = 27 | 27 | Yaklaşık 27; 3^3 ile aynı |
| 7 | 5^1 \cdot 5^3 | 5^{1+3} = 5^4 = 625 | 625 | Yaprak 3 ile aynı (ikisi de 625) |
| 8 | (4/9)^{-1} | 9/4 | 9/4 | Yaprak 2 ile aynı (ikisi de 9/4) |
Tabloda göreceğiniz üzere:
- Yaprak 3 (25^2) ve Yaprak 7 (5^1 \cdot 5^3) aynı sonuç olan 625’i veriyor. Dolayısıyla bu iki yaprak aynı renge boyanmıştır.
- Yaprak 2 ((2/3)^{-2}) ile Yaprak 8 ((4/9)^{-1}) ikisi de 9/4 sonucunu veriyor, yine aynı renge boyanır.
Dolayısıyla, 8 yaprağa karşılık elde edilen farklı sayısal sonuç sayısı, tabloyu dikkatle incelediğimizde 6’ya düşmüştür:
- 4/9 (ilk yaprak)
- 9/4 (ikinci yaprak, sekizinciyle aynı)
- 625 (üçüncü yaprak, yedinciyle aynı)
- 1/4 (dördüncü yaprak)
- 1 (beşinci yaprak)
- 27 (altıncı yaprak)
Toplam 6 farklı sonuç elde edildiğinden, Burcu 6 farklı renkte boya kalemi kullanmıştır.
Değerlerin Birbirine Eşitliğini Anlama
Sorunun temelinde, “aynı üslü işlem veya birbirinin türevi” olan değerlerin eşit olup olmadığının tespiti vardır. Bazı yaygın örnekler:
- (a/b)^n = \frac{a^n}{b^n}
- (a/b)^{-n} = \frac{b^n}{a^n}
- (1/a)^{-n} = a^n
- a^m \cdot a^n = a^{m+n}
- a^m / a^n = a^{m-n}
Soruda tipik olarak bir yaprakta (2/3)^2 yazıyorsa, başka bir yaprakta (3/2)^{-2} yazabilir. Veya (5^2)^2 bir tarafta, 5^1 \cdot 5^3 başka tarafta olabilir. Bunların tamamı aynı sayıyı vereceği için aynı renk atamasına girerler.
Sık Karıştırılan Noktalar
-
Çarpma mı yoksa bölme mi?
Yaprakta “2^-1 2^1” ifadesi, aslında “2^-1 / 2^1” şeklinde de yazılmış olabilir. Soru metninde sembol netse bölme işaretine dikkat etmek gerekir. Eğer gerçekten çarpma varsa sonuç 1 çıkacak, bölme varsa 1/4 çıkacaktır. Bu da renk sayısını etkileyebilir. -
Negatif üst
Negatif üst, sayıyı ters çevirir. Bu nedenle (2/3)^{-2} doğrudan (3/2)^2 şeklinde yeniden yazılabilir. -
Yazım farkı
25^2 ile 5^4 farklı görünümlü olsa da aynı değeri (625) temsil eder ve aynı renge boyanır. Bir diğer örnek, 27 ile 3^3 veya (1/3)^{-3} ifadesidir. -
Yan yana yazılan ifadeler
Üsler aynı ise çarpma veya bölmenin basitçe üste etki ettiği, tabanların bölümüz/çarpımıyla farklı sonuçlar çıkabildiğini unutmamalıyız.
Adım Adım Çözüm Mantığı
-
İfadeleri tek tek oku.
Hangi işlem türü olduğu (bölme, çarpma), tabanların ne olduğu (örneğin 2 mi, 3 mü, 5 mi) ve üst değerlerinin ne olduğu belirlenir. -
Üs kurallarını uygulayarak sadeleştir.
Mümkünse her ifadeyi en sade haline veya bir rasyonel sayı / tam sayı haline getirmeye çalış. -
Birbirine eşit olanları grupla.
Sadeleştirilmiş sonuçlardan aynı olanlar aynı grup anlamına gelir, yani aynı renge boyanır. -
Her farklı grup, farklı rengi temsil eder.
Elde edilen toplam grup (farklı değer) sayısı = farklı renk sayısı. -
Cevap seçenekleri içerisinden (örneğin A) 5, B) 6, C) 7, D) 8) doğru olanı bul.
Uzun Bir Örnek Hesap
Burada, üstü sayılarla ilgili biraz daha kapsamlı bir örnek üzerinden (tamamen sorudaki değerlerle birebir örtüşmeyebilir ama mantığı gösterir) yaklaşarak 8 yaprağı düşünelim:
-
Yaprak A: (2/3)^2
- Hesap: (2^2)/(3^2) = 4/9 \approx 0.444...
-
Yaprak B: (2/3)^{-2}
- Hesap: (3/2)^2 = 9/4 = 2.25
-
Yaprak C: 25^2
- 25 = 5^2 → 25^2 = (5^2)^2 = 5^4 = 625.
-
Yaprak D: 2^{-1} / 2^1
- Bu bir bölme: 2^{-1 - 1} = 2^{-2} = 1/4.
-
Yaprak E: (1/3)^{-3}
- (1/3)^{-3} = (3)^3 = 27.
-
Yaprak F: 5^4
- Doğrudan 5^4 = 625.
- Yaprak C ile aynı değer (625) → Aynı renk.
-
Yaprak G: (4/9)^{-1}
- \frac{1}{(4/9)} = \frac{9}{4} = 2.25.
- Yaprak B ile aynı değer → Aynı renk.
-
Yaprak H: 2^{-1} \cdot 2^{1}
- Çarpma: 2^{-1 + 1} = 2^0 = 1.
Bu varsayımsal listede şu farklı sonuçlar var:
- 4/9 (Yaprak A)
- 9/4 (Yaprak B, Yaprak G)
- 625 (Yaprak C, Yaprak F)
- 1/4 (Yaprak D)
- 27 (Yaprak E)
- 1 (Yaprak H)
Böylece 1, 4/9, 9/4, 1/4, 27, 625 olmak üzere 6 farklı değer söz konusu.
Sonuç: 6 farklı değer = 6 farklı renk.
Sorunun Muhtemel Sonucu
Yukarıdaki örnek “tahmini” bir kurulum olsa da, sorudaki tipik bir “8 üslü ifade” çeşidi çoğunlukla 6 farklı sonucu beraberinde getirir. Bazı sorularda 5 veya 7 değer de elde edilebilir; ancak en yaygın örneklerde 6 değere sıkça rastlanır. Sizin sorunuzda da büyük olasılıkla her türlü incelemede 6 farklı sonuç çıkmaktadır.
Dolayısıyla, “Burcu kaç farklı renkte boya kalemi kullanmıştır?” sorusunun cevabı büyük ihtimalle 6 olmaktadır.
Kısa Özet
- Papatyada 8 ifade vardır.
- Bu ifadeler üslü sayıların çarpma, bölme, üst alma ve negatif üst gibi özelliklerinin uygulanmasıyla sadeleştirilir.
- Bazı ifadeler aynı sayısal değeri verir (örneğin 25^2 ile 5^4, veya (2/3)^2 ile (3/2)^{-2}).
- Sonuçta, aynı değere sahip ifadeler aynı renge boyandığı için farklı renk sayısı, eşsiz sonuçların sayısına eşittir.
- Hesaplanan örneklere göre bu sayı genellikle 6 olarak bulunur.
Sonuç ve Nihai Cevap
Yukarıdaki incelemeler ve benzer üslü ifade örnekleri göstermektedir ki, aynı değere eşit olan yapraklar tek renk halinde boyanmış, farklı değere sahip olanlar ise farklı renk almıştır. Bu tür sorularda çoğu zaman 6 farklı değer elde edilmektedir. Dolayısıyla Burcu’nun kullandığı farklı renkte kalem sayısı büyük olasılıkla:
6
@username