Sorunun Çözümü:
Ev fiyatına X diyelim.
Ödeme Planı I:
- %10 peşinat ödendiğine göre:
$$\text{Peşinat} = 0.1X$$ - Kalan para 72 ayda taksitlendiriliyor:
$$\text{Kalan Para} = X - 0.1X = 0.9X$$
$$\text{Aylık Taksit} = \frac{0.9X}{72}$$
Ödeme Planı II:
- %30 peşinat ödendiğine göre:
$$\text{Peşinat} = 0.3X$$ - Kalan para 120 ayda taksitlendiriliyor:
$$\text{Kalan Para} = X - 0.3X = 0.7X$$
$$\text{Aylık Taksit} = \frac{0.7X}{120}$$
Plan I ve II Arasındaki Fark:
Plan II’nin aylık ödemesi, Plan I’den 1500 TL daha fazla olduğundan:
Bu denklemde değerleri yerine koyarak çözüm yapalım:
Payda İşlemi:
Paydaları eşit hale getirmek için 120 ve 72’nin ortak katı olan 360 değerini kullanıyoruz:
X’i Bulalım:
Sonuç:
Evin fiyatı 225.000 TL’dir. Doğru seçenek: E)
@username
Yukarıdaki soruya göre evin fiyatı kaç TL’dir?
Cevap: Bu soruda iki farklı ödeme planı verilmiş; her iki durumda da evin toplam fiyatının aynı olduğu belirtilmiştir. Ödeme planlarının aylık taksitleri arasındaki farkın 1500 TL olduğu bilgisi, bize evin fiyatını hesaplama fırsatı vermektedir. Aşağıda adım adım nasıl hesaplayacağınızı, temel kavramları ve bir özet tabloyu bulabilirsiniz.
Ödeme Planlarını Anlama
1. Ödeme Planı-I
- Peşinat: %10 (evin toplam fiyatının 0,10 katı)
- Kalan Miktar: Evin fiyatının %90’ı
- Vade: 72 ay (yani 72 eşit taksit)
- Aylık Ödeme (Taksit): Kalan miktarın 72’ye bölünmesi
Eğer toplam ev fiyatını x olarak alırsak:
- Peşinat: 0{,}10x
- Kalan borç: 0{,}90x
- Aylık ödeme tutarı:
2. Ödeme Planı-II
- Peşinat: %30 (toplam fiyatın 0,30 katı)
- Kalan Miktar: Evin fiyatının %70’i
- Vade: 120 ay (120 eşit taksit)
- Aylık Ödeme (Taksit): Kalan miktarın 120’ye bölünmesi
Toplam ev fiyatı yine x ise:
- Peşinat: 0{,}30x
- Kalan borç: 0{,}70x
- Aylık ödeme tutarı:
Aylık Ödemeler Arasındaki Fark
Soru metninde:
“Ödeme Planı-I’yi seçen bir müşterinin aylık ödemesi, Ödeme Planı-II’yi seçen bir müşterinin aylık ödemesine göre 1500 TL fazladır.”
Bu bilgiyi matematiksel olarak ifade edersek:
1. Denklemi Düzenleme
Bu denklemi parçalara ayırarak veya ortak çarpan alarak çözebiliriz:
- İlk terim:
- İkinci terim:
Aradaki fark 1500 TL ise:
2. Ortak Çarpan x’i Alarak Hesaplama
x değerini parantez dışında tutarak:
Bu iki kesrin farkını hesaplayalım:
- \frac{0{,}90}{72} = 0{,}90 \div 72 = 0{,}0125
- \frac{0{,}70}{120} = 0{,}70 \div 120 \approx 0{,}0058333
Aradaki fark:
Bunu 1/150 olarak düşünebilirsiniz (çünkü 1 \div 150 = 0{,}0066667). Dolayısıyla denklem:
3. x Değerini Bulma
Bu işlemden:
Yani, evin toplam fiyatı 225.000 TL’dir.
Doğrulama
Bulduğumuz 225.000 TL ile ödeme planlarını kontrol edelim:
- Plan I Aylık Taksit:0{,}90 \times 225{,}000 \div 72 = 202{,}500 \div 72 = 2812{,}5 \text{ TL}
- Plan II Aylık Taksit:0{,}70 \times 225{,}000 \div 120 = 157{,}500 \div 120 = 1312{,}5 \text{ TL}
İki aylık ödeme arasındaki fark:
Bu tam olarak soruda belirtilen koşulla örtüşür. Dolayısıyla 225.000 TL değeri doğru cevaptır.
Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda iki planın temel noktaları, bulduğumuz aylık taksitler ve fark gösterilmektedir:
| Özellik | Ödeme Planı-I | Ödeme Planı-II |
|---|---|---|
| Toplam Fiyat (x) | 225.000 TL | 225.000 TL |
| Peşinat (%) | %10 | %30 |
| Peşinat Tutarı | 22.500 TL | 67.500 TL |
| Geri Kalan Tutar | 202.500 TL | 157.500 TL |
| Taksit Sayısı | 72 ay | 120 ay |
| Aylık Taksit | 2812,5 TL | 1312,5 TL |
| Aylık Taksit Farkı (Plan I - Plan II) | 2812,5 - 1312,5 = 1500 TL | - |
Bu tablo, sorunun özetini ve nihai sonucu açıkça göstermektedir.
Sonuç ve Kısa Değerlendirme
- Plan I: %10 peşinat ve 72 ay vade ile toplam 225.000 TL’lik bir evin aylık ödemesi 2812,5 TL olarak hesaplanmaktadır.
- Plan II: %30 peşinat ve 120 ay vade ile aynı evi alan bir kişinin aylık ödemesi 1312,5 TL olmaktadır.
- Aylık ödemeler arasındaki 1500 TL fark, bize evin fiyatının 225.000 TL olması gerektiğini doğrulamaktadır.
Bu şekilde matematiksel denklemi kurup çözerek veya mantıksal olarak her iki plandaki taksit farklılıklarını dikkate alıp, sonucu tüm seçenekler arasında 225.000 TL olarak bulabiliriz.
Soru:
Yukarıdaki tabloda bir inşaat firmasının ev alan kişilere sunduğu iki ödeme planı yer almaktadır:
• Ödeme Planı-I: %10 peşin, kalan tutar 72 ay eşit taksitle ödeniyor.
• Ödeme Planı-II: %30 peşin, kalan tutar 120 ay eşit taksitle ödeniyor.
Ödeme Planı-I’yi seçen bir kişinin aylık taksit ödemesi, Ödeme Planı-II’yi seçen bir kişinin aylık taksit ödemesinden 1500 TL fazladır. Her iki planda da evin toplam fiyatı aynı olduğuna göre, “Evin fiyatı kaç TL’dir?”
Çözüm:
-
Toplam ev fiyatını X TL olarak varsayalım.
-
Ödeme Planı-I’de %10 peşin ödendiğinde peşin miktar: 0,10X. Kalan miktar: 0,90X. Bu kalan, 72 ayda eşit taksitlerle ödendiği için aylık taksit:
\frac{0{,}90X}{72} = \frac{9X}{10 \times 72} = \frac{9X}{720} = \frac{X}{80}.Yani Plan I aylık taksiti = X / 80.
-
Ödeme Planı-II’de %30 peşin ödendiğinde peşin miktar: 0,30X. Kalan miktar: 0,70X. Bu da 120 ayda eşit taksitlerle ödendiğinden aylık taksit:
\frac{0{,}70X}{120} = \frac{7X}{10 \times 120} = \frac{7X}{1200}. -
Plan I aylık ödemesi Plan II aylık ödemesinden 1500 TL fazla olduğu için:
\left(\frac{X}{80}\right) - \left(\frac{7X}{1200}\right) = 1500. -
Soldaki ifadeyi ortak paydada birleştirelim:
\frac{X}{80} = \frac{15X}{1200}, \quad \frac{7X}{1200} \text{ ise aynen kalır.}Farkları:
\frac{15X}{1200} - \frac{7X}{1200} = \frac{8X}{1200} = \frac{X}{150}.Bu ifade 1500’e eşit olduğundan:
\frac{X}{150} = 1500 \quad \Longrightarrow \quad X = 1500 \times 150 = 225000.
Cevap: Evin fiyatı 225.000 TL’dir.
@username