Sorunuzu anladım, şimdi birlikte çözmeye çalışalım.
1. Soru: ((A = {-1, 0, 1})) ve ((B = {0, 1, 2})) kümeleri için verilen fonksiyonlar
Bu soruda, A’dan B’ye tanımlı fonksiyonlardan hangilerinin içine fonksiyon olduğunu belirlememiz isteniyor:
- (\text{I. } f(x) = x + 1)
- (\text{II. } f(x) = x^2)
- (\text{III. } f(x) = 1)
İçine fonksiyon tanımı: İçine fonksiyon, tanım kümesindeki farklı iki eleman için görüntü kümesinde farklı elemanlar elde edilmesi durumunda olur.
-
I. Fonksiyon: (f(x) = x + 1)
- (f(-1) = 0), (f(0) = 1), (f(1) = 2)
- B’nin tüm elemanları kapsandığı için içine değil, örten fonksiyon olur.
-
II. Fonksiyon: (f(x) = x^2)
- (f(-1) = 1), (f(0) = 0), (f(1) = 1)
- ((f(-1) = f(1))) olduğu için içine değildir.
-
III. Fonksiyon: (f(x) = 1)
- (f(-1) = 1), (f(0) = 1), (f(1) = 1)
- Tüm görüntüler 1 olduğundan içine fonksiyon değildir.
Cevap: Hiçbiri içine fonksiyon değil.
2. Soru: Fonksiyonlardan hangileri örten?
Fonksiyonlardan örten olanları belirleyelim:
-
(\text{I. } f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, f(x) = x + 1)
- Tanım kümesindeki her (n) için (f(n) = n+1), her doğal sayı için bir görüntü olduğundan örten değildir çünkü 0’ı kapsamaz.
-
(\text{II. } f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x) = |x|)
- Mutlak değer fonksiyonu, negatif sayıları görüntü kümesine taşıyamaz. Örten değildir, içine olabilir.
-
(\text{III. } f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x + 1)
- Her (y \in \mathbb{R}) için (x = y - 1) bulunabilir. Bu nedenle örten bir fonksiyondur.
Cevap: III. fonksiyonu örten fonksiyondur.
3. Soru: ((s(A) = 5, s(B) = n)) olduğuna göre A’dan B’ye tanımsız olan bir içine fonksiyon için (n) en az kaçtır?
İçine bir fonksiyonun tanımlanabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın farklı bir görüntüsü olmalı, yani (s(A) \leq s(B)).
- (s(A) = 5) verildiğine göre, içine olabilmesi için (s(B) \ge 5) olmalı.
Bu durumda, en az (n = 5) olur. Çünkü (s(B) = n) olup, (n) en az 5 olmalıdır.
Cevap: (n) en az 5 olmalıdır.
Sorular hakkında başka yardıma ihtiyacınız olursa sormaktan çekinmeyin!