Her birinin genişliği x cm olan çıtalar (3x+10) cm aralıklarla çakılarak A ve B noktaları arasına aşağıdaki gibi bir çit oluşturulmuştur. Bu çite dikey olarak kullanılan çıta sayısı 11’dir. Buna göre, A ve B noktalarının arasındaki uzaklığı santimetre cinsinden veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Bu soruda, dikey kullanılan 11 adet çıtanın her birinin genişliği x cm’dir. Ayrıca bu çıtalar, aralarında (3x + 10) cm boşluk kalacak şekilde yerleştirilmiştir. A ve B noktaları arasındaki toplam uzaklığı bulmak için:
-
Toplam çıta genişlikleri: 11 dikey çıtanın her biri x cm olduğuna göre toplam genişlik:
$$ 11 \times x = 11x $$ -
Toplam aralık (boşluk) uzunluğu: 11 çıta arasında 10 adet aralık vardır (n tane dikey çita kullanıldığında aralık sayısı daima n-1 olur). Her aralık (3x + 10) cm olduğuna göre:
$$ 10 \times (3x + 10) = 30x + 100 $$ -
Toplam uzaklık: Çıta genişlikleri + Boşluklar:
11x + (30x + 100) = 41x + 100
Dolayısıyla A ile B arasındaki uzaklık 41x + 100 cm’dir. Bu da seçeneklerden (B) şıkkına karşılık gelir.
Ayrıntılı Açıklama
Bu soruda temelde iki ana bileşeni toplayarak sonuca ulaşıyoruz:
-
Dikey Çıtaların Sayısı ve Toplam Genişliği
- Her bir dikey çita x cm genişliğindedir.
- Toplam dikey çıta sayısı 11 ise, tüm dikey çıtaların toplam genişliği:
$$ \text{Toplam Dikey Çıta Genişliği} = 11 \cdot x = 11x. $$ - Bu kısım, çitin A noktası ile B noktası arasında “katı” kısımların oluşturduğu uzunluk payıdır.
-
Dikey Çıtalar Arasındaki Aralıklar (3x+10) cm
- 11 dikey çita kullanırsak, bu dikey çıtalar arasında 10 tane boşluk (aralık) olur:
$$ \text{Aralık Sayısı} = 11 - 1 = 10. $$ - Her bir aralık (3x + 10) cm olduğundan, tüm aralıkların toplam uzunluğu:
$$ 10 \times (3x + 10) = 30x + 100. $$
- 11 dikey çita kullanırsak, bu dikey çıtalar arasında 10 tane boşluk (aralık) olur:
-
Toplam Uzaklığın Hesabı
- A ile B noktası arasındaki uzaklık, dikey çıtaların kapladığı genişlikle bu çıtalar arası boşlukların toplamından oluşur:
$$ (11x) + (30x + 100) = 41x + 100. $$
- A ile B noktası arasındaki uzaklık, dikey çıtaların kapladığı genişlikle bu çıtalar arası boşlukların toplamından oluşur:
Neden 11 Çıta İçin 10 Aralık Var?
Dikey çıta sayısı n olduğunda (örneğin n=11), bu dikey çıtaların arasındaki boşluk sayısı daima n-1 olur. Bunu küçük bir örnekle şu şekilde anlayabiliriz:
- 2 dikey çıta varsa (örneğin en solda bir çıta ve en sağda ikinci çıta), ikisinin arasında 1 boşluk bulunur.
- 3 dikey çıta varsa, 2 boşluk,
- 4 dikey çıta varsa, 3 boşluk,
- …
- 11 dikey çıta varsa, 10 boşluk.
Dolayısıyla her dikey çıtanın kendi genişliği artı aralıklar toplanarak tüm çitin uzunluğu elde edilir.
Cebirsel İfade Seçenekleri ve Değerlendirme
Soruda verilen şıklar şunlardır (örneğin):
A) 44x + 110
B) 41x + 100
C) 41x + 300
D) 44x – 100
Yukarıdaki adımlarla “41x + 100” sonucuna ulaştığımız için doğru cevap 41x + 100 olmalıdır.
Adım Adım Çözüm Örneği
Aşağıdaki tabloda, adım adım çözümü özet halinde görebilirsiniz:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Dik Çıta Sayısı | 11 | - |
| 2. Bir Dik Çıtanın Genişliği | x cm | - |
| 3. Çıtalar Arasındaki Aralık | 3x + 10 cm | - |
| 4. Aralık Sayısı | 10 (çünkü aralık sayısı: 11 - 1) | - |
| 5. Toplam Çıta Genişlikleri | 11 × x = 11x | 11x |
| 6. Toplam Aralık Uzunluğu | 10 × (3x + 10) = 30x + 100 | 30x + 100 |
| 7. A ile B Arasındaki Toplam Uzaklık (Çit Uzunluğu) | 11x + (30x + 100) = 41x + 100 | 41x + 100 |
| 8. Cevap Seçeneği | B şıkkı | 41x + 100 |
Konuya İlişkin Ek Açıklamalar
- Cebirsel İfade Kurmak: Bu tip sorularda istenen uzunluk veya mesafe, genellikle “dikey parçaların toplam genişliği” + “bu parçalar arasındaki boşlukların toplamı” şeklinde hesaplanır.
- Dikkat Gerektiren Nokta: Bazen öğrenci dikey çıta sayısı ile aralık sayısını karıştırabilir. 11 dikey çıta olduğunda 11 aralık varmış gibi düşünebilir, ancak gerçek aralık sayısı 10’dur.
- Alıştırma: Aynı mantığı, örneğin 5 çıta ve aralarındaki boşluk 2x + 3 cm olsa, kaç cm olurdu gibi farklı sayılarla tekrarlayarak pekiştirebilirsiniz.
Basit Bir Örnekle Pekiştirme
Varsayalım daha basit bir örnekte 3 dikey çıta, her biri x cm genişliğinde, aralarında da (2x+5) cm bırakılmış olsun.
- Dik çıtalar toplam genişliği:
$$ 3 \times x = 3x. $$ - Aralık sayısı: 2 (3 parelel çıta = 2 aralık)
- Aralıkların toplam genişliği:
$$ 2 \times (2x + 5) = 4x + 10. $$ - Toplam uzunluk:
$$ 3x + (4x + 10) = 7x + 10. $$
Bu basit örnek, sorudaki yaklaşımın temelde nasıl uygulandığını göstermek açısından yararlıdır.
Soruya Yönelik Özet ve Sonuç
- Soru: 7. sınıf düzeyinde çok sık karşılaşılan, dikey çıta ve aralık kavramına dayalı geometri-cebir karışımı bir problem.
- Gerekli Bilgiler:
- 11 dikey çıta (her biri x cm),
- Aralıklar (3x + 10) cm,
- Aralık sayısı = (11 - 1) = 10,
- İstenen: A ile B noktaları arasındaki toplam uzunluk (çitin toplam uzunluğu).
- Hesap:11x + [10 \times (3x + 10)] = 11x + (30x + 100) = 41x + 100.
- Doğru Seçenek: Sorudaki şıklara göre 41x + 100.
Böylece sorunun cevabı, seçenekler arasından (B) 41x + 100 olarak işaretlenmelidir.