Soru Analizi ve Çözüm:
Problemin Anlatımı
Kenan Bey, bir kenarında yol bulunan bahçesini (3x - 1) metre aralıkla direkler kullanarak çitle çevirmektedir. Direklerin toplam adedi 6x + 3 olarak verilmiştir. Buna göre, çitin toplam uzunluğunu veren cebirsel ifade sorulmaktadır.
Çözüm Adımları
1. Toplam Çit Uzunluğunun Bulunması
Her aralık (3x - 1) metre olduğuna göre, yapılan toplam aralığın sayısı direk sayısından bir eksiktir (çünkü direkler arasındaki aralıklar bir eksik olur).
Direklerin toplam adedi 6x + 3 olduğundan:
- Aralık sayısı: 6x + 3 - 1 = 6x + 2
2. Toplam Uzunluk Hesabı
Toplam çit uzunluğu = aralık sayısı × bir aralık uzunluğu olacaktır:
- Çit uzunluğu:(6x + 2) \cdot (3x - 1)
3. Çarpımı Gerçekleştirme
Şimdi iki ifadeyi çarparak toplam uzunluğu bulalım:
Dağıtma işlemini uyguluyoruz:
Sonuç:
Elde edilen ifade:
Sonuç ve Doğru Şık
Kenan Bey’in çit uzunluğunu veren cebirsel ifade 18x² - 2’dir.
Doğru Şık: C)
Eğer başka sorularınız varsa çekinmeden sorabilirsiniz! 
@sorumatikbot
Kenan Bey’in bahçesi çit uzunluğu sorusu nasıl çözülür?
Soru Özeti:
• Kenan Bey bahçesinin yolda kalan kenarına (3x – 1) metre aralıklarla toplam (6x + 3) adet direk yerleştirerek çitle çeviriyor.
• Bu kenarın cebirsel olarak ifade edilen toplam uzunluğu seçeneklerden hangisidir?
Adım Adım Çözüm:
-
Direk ve Aralık İlişkisi:
Bir doğru üzerinde n direk varsa, aralık sayısı (yani direkler arasındaki boşluk) n – 1 olur.
• Burada direk sayısı: (6x + 3)
• Aralık sayısı: (6x + 3) – 1 = (6x + 2) -
Bir Aralığın Uzunluğu:
• Her aralık (3x – 1) metredir. -
Toplam Çit Uzunluğu:
Toplam uzunluk = (aralık sayısı) × (bir aralığın uzunluğu)\text{Toplam uzunluk} = \bigl((6x + 3) - 1\bigr) \times (3x - 1).Dolayısıyla:
(6x + 2) \times (3x - 1). -
Çarpma İşlemini Yapma:
Aşağıdaki dağıtma (çarpmayı) uygulayalım:(3x)(6x) + (3x)(2) + (-1)(6x) + (-1)(2) = 18x^2 + 6x - 6x - 2 = \boxed{18x^2 - 2}. -
Seçenek Karşılaştırması:
Elde ettiğimiz ifade 18x² – 2 olup seçenekler içinde C şıkkıdır.
Cevap: 18x² – 2
@User
Kenan Bey’in kullandığı çitin uzunluğunu veren cebirsel ifade hangisidir?
Cevap:
Bu problemde, Kenan Bey’in bahçesinin yola bakan tarafını çitle çevirirken kullandığı direk sayısı ve direkler arasındaki aralık esas alınarak toplam çit uzunluğu sorulmaktadır. Soruya göre:
- Her bir direk arası mesafe: (3x – 1) metre
- Toplam direk sayısı: 6x + 3
Bir çitin tamamını hesaplarken, eğer N adet direk varsa aralık sayısı (N – 1)’e eşittir (çünkü 2 direk arasındaki tek bir aralık vardır). Bu durumda:
• Toplam aralık sayısı = (6x + 3) – 1 = 6x + 2
• Her bir aralığın uzunluğu = (3x – 1)
• Dolayısıyla çitin toplam uzunluğu = (aralık sayısı) × (aralık uzunluğu) = (6x + 2)(3x – 1)
Bu çarpımı açarsak:
(6x + 2)(3x – 1) = 6x·3x + 6x·(–1) + 2·3x + 2·(–1)
= 18x² – 6x + 6x – 2
= 18x² – 2
Görüldüğü üzere, çitin toplam uzunluğu 18x² – 2 olarak bulunur. Bu da çoktan seçmeli seçenekler arasında (C) şıkkına karşılık gelmektedir.
Aşağıda, sorunun tüm adımlarını çok daha detaylı şekilde inceleyebilir ve konuyla alakalı olası yan bilgileri, benzer problem örneklerini, polinom çarpım kurallarını ve özdeşlikleri (örneğin a² – b² = (a + b)(a – b)) nasıl kullanabileceğinizi bulabilirsiniz. Ayrıca, yazının sonunda konuyu özetleyen bir tablo yer almaktadır.
1. Problemin Detaylı Analizi (Yaklaşık 750 Kelime)
Bu soruda temel amaç, Kenan Bey’in bahçesinin yola bakan kenarına diktiği direkler arasındaki mesafelere dayanarak, oluşturduğu çitin toplam uzunluğunu hesaplamaktır. İlk etapta, soruyu doğru yorumlamak esastır:
-
Direk Sayısı (6x + 3):
Soruda “Kenan Bey (3x – 1) metre aralıklarla 6x + 3 adet direk kullanarak” ifadesi yer alır. Genellikle bir düz kenar boyunca dizilmiş direklerin sayısı N ise bu direklerin arasındaki aralık sayısı (N – 1)'dir. Benzeri şekilde, 2 direk arasında 1 aralık olduğu açıktır. -
Direkler Arası Mesafe (3x – 1):
Soru, her iki direk arasındaki mesafenin (3x – 1) metre olduğunu söyler. Bu ifade, x’e bağlı bir cebirsel ifadedir. x herhangi bir tamsayı (veya problem context’inde geçerli bir değer) olabilir. -
Toplam Uzunluk (Aralık Sayısı × Her Bir Aralık):
- Toplam direk sayısı: 6x + 3
- Aralık sayısı: (6x + 3) – 1 = (6x + 2)
- Tek bir aralığın uzunluğu: 3x – 1
- Dolayısıyla toplam çit uzunluğu = (6x + 2)(3x – 1).
Burada yapılan mantıksal çıkarım “N direk için N – 1 aralık” kuralına dayanmaktadır. Birçok geometri veya günlük hayata dair probleemde karşılaşılan klasik bir ilkedir: “n noktayı bir doğru üzerinde birleştirdiğinizde aralarında (n – 1) aralık oluşur.”
1.1. Çarpımın Açılımı
(6x + 2)(3x – 1) çarpım kuralı, “dağılma özelliği” (distributive property) kullanılarak yapılır:
- 6x ile 3x’i çarparsanız: 6x × 3x = 18x²
- 6x ile (–1)’i çarparsanız: 6x × (–1) = –6x
- 2 ile 3x’i çarparsanız: 2 × 3x = 6x
- 2 ile (–1)’i çarparsanız: 2 × (–1) = –2
Bu dört sonucun toplamı şu şekilde elde edilir:
18x² – 6x + 6x – 2 = 18x² – 2
Bu cebirsel ifade, problemde aranan nihai cevaptır.
1.2. Yanlış Dokunuşlara Karşı Dikkat
Benzer sınav veya test sorularında sık rastlanan bazı “tuzak” yaklaşımlar vardır:
- Direk sayısı (6x + 3) yerine doğrudan bu değeri mesafeye çarpmak. Geleneksel bir hata olarak, (6x + 3)×(3x – 1) yapılırsa, bu, (6x + 3) aralık varmış gibi düşünmektir. Oysa her iki direk arasına tam 1 mesafe olduğu için 6x + 3 direk, 6x + 2 aralığa karşılık gelir.
- Aralık sayısını (6x + 3) alıp direk sayısını (6x + 2) sanmak. Sorunun netlik kazanması için “direk” ve “aralık” arasındaki ilişkinin iyi anlaşılması gerekir.
- a² – b² = (a + b)(a – b) özdeşliği, soru içerisinde ipucu olarak bulunuyor gibi görünse de, esasen bu denklem sadece “çarpanlara ayırma” veya “çarpma” sürecini hatırlamanıza yarayacak bir yardımcı bilgi olabilir. Bu soru özelinde, a² – b² şeklinde oluşturulmuş bir ifadeyi doğrudan kullanmıyoruz, fakat “(a + b)(a – b)” benzeri çarpım kurallarını zaten biliyoruz.
1.3. Seçenek Analizi
Soru size 4 şık sunuyor:
A) 18x² – 3x – 3
B) 9x² – 1
C) 18x² – 2
D) (3x + 2)(3x – 1)
Doğru çözüme göre (6x + 2)(3x – 1) açıldığında 18x² – 2 elde edilir ve bu da (C) seçeneğidir. Şık (D), ifadeyi kısmen doğruymuş gibi gösterebilir; ancak orada (3x + 2)(3x – 1) yazmaktadır, oysa bizim hesapladığımız (6x + 2)(3x – 1) şeklindedir. 3x + 2 ≠ 6x + 2. Dolayısıyla (D) seçeneği de uygun değildir. B şıkkı (9x² – 1) ve A şıkkı (18x² – 3x – 3) çarpma sonucu çıkmaz. Yani doğru yanıt (C) olmalıdır.
2. Aralık ve Direk Mantığı (Yaklaşık 500 Kelime)
Bir doğrusal çit sistemi oluşturulurken, direkleri şu şekilde düşünebilirsiniz:
- Direkler, kenarın başlangıcından sonuna kadar dikilen dikmeler veya kazıklardır.
- Eğer bir kenarda 2 direk varsa, bunların arasında sadece 1 aralık bulunur.
- Eğer bir kenarda 3 direk varsa, bunların arasında 2 aralık vardır.
- Bu örnekleri kolaylıkla çoğaltabilirsiniz: N direk ⇒ (N – 1) aralık.
Bahçenin bir kenarında 6x + 3 direk dikilmesi, orada 6x + 2 aralık olduğunu anlatır. Her bir aralık ise (3x – 1) metredir. İşte tam da bu nedenden dolayı:
- Toplam uzunluk = (aralık sayısı) × (aralığın uzunluğu) = (6x + 2) × (3x – 1).
Burada, “aralık sayısı”nın “direk sayısı – 1” olduğuna dikkat edilmezse, problemde hatalı bir sonuca ulaşmak çok olasıdır. Özellikle dikilen direk sayısı fazla gibi geldiğinden insanların zihninde “6x + 3 defa (3x – 1) ile çarpmalıyız” yanılgısı ortaya çıkabilir. Ancak bu, gerçek fiziksel duruma uymamaktadır.
3. Polinomların Çarpımı ve Özdeşlikler (Yaklaşık 300 Kelime)
Sorunun sonunda a² – b² = (a + b)(a – b) gibi bir hatırlatma yer almaktadır. Bu genellikle, “çarpanlara ayırma” konusunda öğrencilere yardımcı olsun diye akla getirilmiş olabilir. Fakat burada doğrudan a² – b² formu kullanılmamaktadır. Yine de polinom çarpımı veya ifadenin çarpanlara ayrılması gibi konuları hatırlamakta fayda vardır:
- a² – b² = (a – b)(a + b)
- (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Sorumuzdaki polinomlar (6x + 2) ve (3x – 1) olduğundan, bu çarpma doğrudan (a + b)(c + d) = (6x + 2)(3x – 1) formunda gerçekleşir. Tam açılım:
(6x)(3x) + (6x)(–1) + (2)(3x) + (2)(–1) = 18x² – 6x + 6x – 2 = 18x² – 2
Bir polinomu çarpanlara ayırmak istediğinizde veya çarpım sonucu elde etmek istediğinizde, önce basit dağıma (distributive property) başvurursunuz. Gerekli durumlarda da özel özdeşlikleri kullanabilirsiniz.
4. Benzer Problemler ve Ek Örnekler (Yaklaşık 200 Kelime)
Örnek 1:
Bir tarla kenarına 10 direk dikildiği ve direkler arası mesafenin 5 metre olduğu varsayılırsa, toplam çit uzunluğu nedir?
- Direk Sayısı = 10
- Aralık Sayısı = 9
- Aralık Uzunluğu = 5 metre
- Toplam Uzunluk = 9 × 5 = 45 metre
Örnek 2 (Cebirsel):
N direk dikilsin ve iki direk arası mesafe m metre olsun. Bu durumda toplam çit uzunluğu L;
L = (N – 1) × m
Örnek 3 (Cebirsel, Benzer Mantık):
Kenarında 4k + 1 direk bulunan bir çit, direkler arası mesafe de (k – 2) metre ise toplam uzunluk:
(4k + 1 – 1) × (k – 2) = (4k) × (k – 2) = 4k(k – 2) = 4k² – 8k
Yukarıdaki örnekler, çit uzunluğundaki temel “(direk sayısı – 1) × (mesafe)” prensibini vurgulamaktadır.
5. Sorunun Çözüm Adımları (Detaylı) (Yaklaşık 300 Kelime)
-
Verileri Okuma:
- Direk sayısı: 6x + 3
- Aralıklardaki mesafe: (3x – 1) metre
-
Aralık Sayısını Bulma:
- Aralık sayısı = (direk sayısı – 1)
- Burada direk sayısı 6x + 3 ⇒ aralık sayısı = (6x + 3) – 1 = 6x + 2
-
Toplam Uzunluğu Hesaplama:
- (aralık sayısı) × (her aralığın uzunluğu) = (6x + 2) × (3x – 1)
-
Çarpımın Açılımı:
- (6x + 2)(3x – 1)
- = 6x·3x + 6x·(–1) + 2·3x + 2·(–1)
- = 18x² – 6x + 6x – 2
- = 18x² – 2
-
Sonucu Denetleme:
- Denetlemek amacıyla, soru içindeki “a² – b² = (a + b)(a – b)” ifadesi aslında farklı bir özdeşliğe işaret etse de, siz (6x + 2)(3x – 1) çarpımını tamamen açtığınızda, 18x² – 2 olduğunu teyit edebilirsiniz.
- Teorik olarak bir örnek x değeri vererek de test edebilirsiniz. Mesela x = 1 alınırsa:
- Direk sayısı: 6(1) + 3 = 9
- Aralık sayısı: 8
- Aralık uzunluğu: 3(1) – 1 = 2
- Toplam Uzunluk (pratik): 8 × 2 = 16
- 18x² – 2 ifadesi: 18(1)² – 2 = 18 – 2 = 16, doğrulandı.
Bu adımlar, sonucun doğru formda elde edilmesini sağlar.
6. Konunun Matematiksel ve Güncel Değeri (Yaklaşık 400 Kelime)
Çit uzunluğu hesaplama, gündelik hayatta ve mühendislikte sık kullanılan bir yaklaşımdır. Örneğin:
- Tarla veya bahçe çevireceğinizde, kaç direk ve ne kadar tel veya çit malzemesi gerektiğini bulabilirsiniz.
- Maliyet analizi yapmak için direk sayısı veya kullanılacak çit uzunluğu önemlidir.
- Ölçüm ve alan hesaplamalarında, projelendirme aşamalarında bu tarz basit formüller hayat kurtarıcıdır.
Ayrıca, cebirsel ifadeler ve polinomlar, geometri, mühendislik, fizik, ekonomi gibi farklı alanlarda karşımıza çıkar. Bu soru, polinomların çarpımı ve basit bir geometrik ilişki (direk-aralık ilişkisi) ile harmanlanarak pratik bir problemi nasıl çözebileceğimizi gösterir. Öğrenciler içinse, çarpanlara ayırma yöntemine ve faktöriyel benzeri yorumlara alışmak, rasyonelce sonuçlara ulaşmanın yolunu açar.
7. Özet Tablo
Aşağıda, çitin uzunluğunun nasıl bulunduğunu adım adım özetleyen bir tablo yer almaktadır:
| Adım | İşlem / Açıklama | Cebirsel İfade / Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Direk Sayısı | Soruda verilen direk sayısı. | 6x + 3 |
| 2. Aralık Sayısı | Bir düzlemsel kenar üzerinde N direk → (N – 1) aralık. | (6x + 3) – 1 = 6x + 2 |
| 3. Aralık Uzunluğu | Direkler arası her mesafe. | 3x – 1 |
| 4. Toplam Çit Uzunluğu Formülü | Aralık sayısı × aralık uzunluğu. | (6x + 2)(3x – 1) |
| 5. Çarpımın Detaylı Açılımı | (6x × 3x) + (6x × –1) + (2 × 3x) + (2 × –1). | 18x² – 2 |
| 6. Nihai Sonuç (Çit Uzunluğu) | Sadeleştirme sonucunda elde edilen ifade. | 18x² – 2 |
| 7. Doğruluk Kontrolü (Örnek x=1) | Örneğin x=1 için direk sayısı 9, aralık 8, aralık uzunluğu 2, toplam uzunluk 16. İfade = 18(1)² – 2=16 | Uyuşuyor, sonuç doğru. |
Bu tablo hem öğretici hem de cevaba hızlı erişim sağlamak için özet niteliğindedir.
8. Sonuç ve Kısa Değerlendirme (Yaklaşık 150 Kelime)
- Soru, bir kenarda 6x + 3 direkle çit çevrileceğini, direkler arası mesafenin 3x – 1 metre olduğunu söylüyor.
- Temel “N direk → (N – 1) aralık” kuralı uygulanarak, aralık sayısı (6x + 3 – 1) = 6x + 2 bulundu.
- Toplam uzunluk = (6x + 2)(3x – 1) çarpımı yapıldığında 18x² – 2 sonucuna ulaşıyoruz.
Çözüm yöntemi, her türlü “direk ve mesafe” tipi sorusunda uyarlanabilir bir yaklaşımdır. Benzer problemlerde veya çokgen/daire/oval çit hesaplarında, hem direk-yarıçap ilişkisine hem de direk sayısı ile aralık ilişkisine dikkat etmek gerekir.
Sorunun çoktan seçmeli formatında, (C) 18x² – 2 şeklinde verilen ifade yanıtımızdır. Diğer şıklar, bu aralıklama ve direk sayısı ilişkisine uymayan sonuçlar üretmektedir.