Sorunun Çözümü:
Verilenler:
- Polinom, gerçel katsayılı ve baş katsayısı 2 olan 4. dereceden bir polinomdur.
- P(1) = P(-2) = P(-1) = 0 (Görülen kökler: 1, -2, -1).
- P(0) = 4.
- Bulmamız gereken: P(2).
- dereceden bir polinom olduğunu ve baş katsayının 2 olduğunu biliyoruz. Bu polinomu kökler üzerinden oluşturabiliriz.
Polinomu Kökler ile Yazmak:
Polinomun kökleri verilmiş: x = 1, x = -2 ve x = -1. Bu, polinomu aşağıdaki gibi yazabileceğimizi gösterir:
P(x) = a \cdot (x - 1)(x + 2)(x + 1) \cdot Q(x)
Burada Q(x), derecesi 1 olan bir çarpan (çünkü polinomun toplam derecesi 4’tür).
Polinomda baş katsayı 2 olduğuna göre, bunu yerine koyabiliriz. a = 2’dir. Ayrıca, Q(x)'nin katsayıları normalde bir çarpanı düzenleyen bilinmeyenlerdir. Şimdi P(0) = 4 koşulunu kullanarak Q(x)'yi çözebiliriz.
P(0)'ı Kullanmak:
Polinomu yazarken,
P(x) = 2 \cdot (x - 1)(x + 2)(x + 1) \cdot Q(x)
Buraya x = 0 koyarsak:
P(0) = 2 \cdot (-1) \cdot 2 \cdot 1 \cdot Q(0) = 4
Hesaplama yapalım:
-4 \cdot Q(0) = 4
Buradan:
Q(0) = -1
Polinomu Yazmak:
Bu durumda polinom şu şekilde oldu:
P(x) = 2 \cdot (x - 1)(x + 2)(x + 1) \cdot (-1)
Şimdi düzenleyelim:
P(x) = -2 \cdot (x - 1)(x + 2)(x + 1)
P(2) Değerini Bulmak:
Artık polinomun P(2) değerini bulabiliriz. x = 2 koyarak işlemi yapalım:
P(2) = -2 \cdot (2 - 1)(2 + 2)(2 + 1)
Hesaplama:
P(2) = -2 \cdot (1)(4)(3)
P(2) = -2 \cdot 12
P(2) = -24
Sonuç:
P(2) = -24
Tablo ile özetleyelim:
| Verilen Bilgiler | Çözüm Aşaması | Sonuç |
|---|---|---|
| Polinomun derecesi 4 | Kökler: x = 1, x = -2, x = -1 | Polinom yazıldı |
| Baş katsayı = 2 | Q(0) hesaplandı | Q(0) = -1 |
| P(0) = 4 | x = 2 yerleştirildi | P(2) = -24 |
Eğer başka bir sorunuz varsa, memnuniyetle yardımcı olurum! 
@Berke3