Soru: Bir yemek firmasına satılan A ve B ürünlerinin uygun saklama sıcaklıkları santigrat derece (°C) türünden sırasıyla (S_A) ve (S_B) olmak üzere şu eşitsizlikleri sağlamaktadır:
[
|S_A + 1| < 5 \quad \text{ve} \quad |S_B - 13| < 7.
]
Uygun saklama sıcaklığı sağlanmadığında ürünler bozulmaktadır. Buna göre, aşağıda santigrat derece (°C) cinsinden verilen sıcaklıklardan hangisinde bu iki ürün de bozulur?
A) -1
B) 0
C) 3
D) 5
E) 7
Cevap:
Aşağıdaki çözümde önce her bir ürünün uygun saklama sıcaklığı aralığını belirleyeceğiz. Ardından soruda verilen seçeneklerdeki sıcaklıklar için bu aralıkların dışında kalıp kalmadığına bakarak, hangi sıcaklıkta her iki ürünün de bozulacağını adım adım göstereceğiz.
1. Ürün A İçin Uygun Saklama Sıcaklık Aralığı
Verilen ilk eşitsizlik:
[
|S_A + 1| < 5
]
Bu eşitsizliği çözmek için mutlak değerin tanımına başvururuz:
- (-5 < S_A + 1 < 5)
Bu ikili eşitsizliği ikiye ayırıp çözeriz:
- (-5 < S_A + 1) ifadesi (-6 < S_A) şeklinde düzenlenir.
- (S_A + 1 < 5) ifadesi (S_A < 4) şeklinde düzenlenir.
Dolayısıyla A ürünü için uygun sıcaklık aralığı:
[
-6 < S_A < 4
]
Bu aralığın dışında kalan sıcaklıklarda A ürünü bozulur.
2. Ürün B İçin Uygun Saklama Sıcaklık Aralığı
Verilen ikinci eşitsizlik:
[
|S_B - 13| < 7
]
Aynı şekilde mutlak değerin tanımını uygularız:
- (-7 < S_B - 13 < 7)
Bunu iki ayrı eşitsizlik halinde çözelim:
- (-7 < S_B - 13 \implies S_B > 6)
- (S_B - 13 < 7 \implies S_B < 20)
Dolayısıyla B ürünü için uygun sıcaklık aralığı:
[
6 < S_B < 20
]
Bu aralığın dışında kalan sıcaklıklarda B ürünü bozulur.
3. Ortak Sıcaklık Durumu ve “Her İki Ürünün de Bozulması”
Soruda, aynı santigrat derece (S) için hem A’nın hem de B’nin bozulduğu durumu arıyoruz. “Her iki ürün de bozulur” ifadesi, (,S) değerinin:
- A için geçerli aralığı sağlamaması ((S \le -6) veya (S \ge 4))
- B için geçerli aralığı sağlamaması ((S \le 6) veya (S \ge 20))
anlamına gelir. Bunu birleştirdiğimizde, her iki ürünün bozulduğu koşullar şu şekilde ortaya çıkar:
-
(S \le -6) olursa:
- A bozulur çünkü A’nın aralığı (-6) ile (4) arasındadır. (-6) veya daha küçük değerler A’yı bozar.
- B bozulur çünkü B’nin aralığı (6) ile (20) arasındadır. (-6) bu aralığın çok dışındadır.
Yani (S\le -6) değerlerinde her iki ürün de bozulur.
-
(S \ge 4) durumda:
Aşağıdaki alt durumlara bakalım:- 4 ≤ S ≤ 6:
- A bozulur çünkü A’nın uygun aralığı (-6 < S < 4) idi. (S=4) veya üzeri değerlerde A bozulacaktır.
- B bozulur mu? B’nin uygun aralığı (6 < S < 20). Dolayısıyla (S=4) veya (S=5) veya (S=6) bu aralığın dışındadır (çünkü 6’dan küçük olması gerekir, 6 dâhil değil). Bu değerlerde B de bozulur.
Sonuç olarak (S=4, 5, 6) değerlerinde her iki ürün de bozulur.
- (S \ge 20):
- A bozulur ((S \ge 4) olduğu için aralığı ihlal eder).
- B bozulur ((S \ge 20) olduğu için (6 < S < 20) aralığından çıkar).
Yani (20) ve üzeri değerler de her iki ürünü bozacaktır.
- 4 ≤ S ≤ 6:
Sorudaki seçenekler ise (-1), 0, 3, 5, 7 olarak veriliyor. Bu değerlerden hangisi bahsedilen “her iki ürünün de bozulması” koşulunu sağlar? Gelin tablodaki verilerle tek tek inceleyelim.
4. Seçeneklerin İncelemesi
Aşağıdaki tabloda her seçenek için A ve B ürünlerinin bozulup bozulmadığı görülmektedir:
| Seçenek (S) | A Ürünü Aralığı (-6 < S < 4) | B Ürünü Aralığı (6 < S < 20) | A Bozulur mu? | B Bozulur mu? | İkisi de Bozulur mu? |
|---|---|---|---|---|---|
| -1 | -6 < -1 < 4 → Uygun | 6 < -1 < 20 → Uygun değil | Hayır (bozulmaz) | Evet (bozulur) | Hayır |
| 0 | -6 < 0 < 4 → Uygun | 6 < 0 < 20 → Uygun değil | Hayır | Evet | Hayır |
| 3 | -6 < 3 < 4 → Uygun | 6 < 3 < 20 → Uygun değil | Hayır | Evet | Hayır |
| 5 | -6 < 5 < 4 → Uygun değil | 6 < 5 < 20 → Uygun değil | Evet | Evet | Evet |
| 7 | -6 < 7 < 4 → Uygun değil | 6 < 7 < 20 → Uygun | Evet | Hayır | Hayır |
Yukarıdaki tabloda görüldüğü üzere:
- (-1) seçeneğinde A bozulmazken B bozulmaktadır.
- (0) ve (3) seçenekleri için de A bozulmaz, B bozulur.
- 5 seçeneğinde hem A bozulur hem de B bozulur.
- (7) seçeneğinde ise A bozulurken B bozulmaz.
Dolayısıyla her iki ürünün de bozulduğu tek seçenek 5°C olmaktadır.
5. Sonuç
- Ürün A’nın bozulmaması için sıcaklığın (-6) ile (4) arasında olması gerekir.
- Ürün B’nin bozulmaması için sıcaklığın (6) ile (20) arasında olması gerekir.
- Soru, verilen seçeneklerden hangisinde her iki ürünün birden bozulduğunu sorar. Tablodan ve eşitsizliklerin incelenmesinden gördüğümüz üzere, 5 hem A’nın hem de B’nin aralığı dışında kalır. Bu nedenle iki ürün de bozulur.
Doğru cevap: 5 (D)